2024-2025学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式练习含解析新人教A版选修4-5

PAGE1-二一般形式的柯西不等式一、选择题1.设a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最大值是()A.1 B. C.3 D.9解析:由柯西不等式得[()2+()2+()2](12+12+12)≥()2,∴()2≤3×1=3.当且仅当a=b=c=时等号成立.∴的最大值为.答案:B2.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1 B.n C.n2 D.解析:设n个正数为x1,x2,…,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+…+xn)≥=(1+1+…+1)2=n2.当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.答案:C3.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析:由柯西不等式,得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3≤x+2y+2z≤3.当且仅当x=时,右边等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.答案:C4.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A. B. C.6 D.3解析:由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]≥[x+y+(1-x-y)]2=1,即x2+y2+(1-x-y)2≥,当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.答案:B二、非选择题5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是.

解析:(a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥=(2+3+6)2=121.当且仅当时等号成立.答案:1216.设x,y,z∈R,若x2+y2+z2=4,则x-2y+2z的最小值为.

解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)·[12+(-2)2+22]≥(x-2y+2z)2,则(x-2y+2z)2≤4×9=36.当且仅当=k,k=±时,上式取得等号,故当k=-时,x-2y+2z取得最小值-6.答案:-67.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.

解析:2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2;即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.答案:98.设实数a,b,c,d,e满意a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.解:由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2 ≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12) =4(16-e2),化简,得5e2-16e≤0⇒0≤e≤,故emax=.9.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满意p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.10.(1)设三个正实数a,b,c满意(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4),求证:a,b,c肯定是某一个三角形的三条边的长;(2)设n个正实数a1,a2,…,an满意不等式(+…+)2>(n-1)(+…+)(其中n≥3),求证:a1,a2,…,an中任何三个数都是某一个三角形的三条边的长.解：证明:(1)由题意,得(a2+b2+c2)2-2(a4+b4+c4)>0,所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0,由于a,b,c>0,所以上面不等式左边至少有三项为正数,而四项之积为正,故这四项都是正数,从而推出a+b>c,b+c>a,c+a>b,即a,b,c必是某一个三角形的三条边的长.(2)设法把a1,a2,…,an中任何三个的关系转化为(1)的条件即可.由已知及柯西不等式,得 (n-1)(+…+) <(+…+)2 = ≤(n-1).所以,2()<()2.那么由(1)可知,a1,a2,a3是某个三角形三条边的长,再由对称性可知a1,a2,…,an中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长.三、备选习题1.已知a,b为正数,a+b=1,t1,t2为正数,求证:(at1+bt2)·(bt1+at2)≥t1t2.解：证明:(at1+bt2)(bt1+at2)=(at1+bt2)(at2+bt1)=[()2+()2][()2+()2]≥(a+b)2=t1t2(a+b)2=t1t2.∴原不等式成立.2.已知函数f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+(a,b,c∈R)的最小值为m.若a-b+2c=3,求m的最小值.解:因为f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+=3x2-2(a+b+c)x+a2+b2+c2+=3+a2+b2+c2,所以x=时,f(x)取最小值a2