数学-江苏省南京市六校联合体2025届高三下学期2月学情调研试卷含答案

12024-2025学年第二学期六校联合体2月学情调研测试高三数学1．复数z满足＝i（i为虚数单位则复数z的共轭复数=A．1－iB1－iC．1＋iD1＋iA2B1C．1D．23．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?A．8B．124．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝63＋S3，a3＋a12＝12，则{an}的公差为5．已知函数＝sin－cosx在区间[0，t]上的最小值为则t的最大值为6．已知点P为直线l：x＋y－2＝0上的一点，过点P作圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为7．定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式4x＋12x＋4≥0的解集为A．(－21]∪(2，+∞)B．(-∞,-2)∪[－1，0)∪[1，2)C．(－21]∪{0}∪(2，+∞)D．(－21]∪[0，1]∪(2，+∞)8．已知双曲线a＞0)，O为坐标原点，直线l与双曲线交于A，B两点，且OA⊥OB，若点O到直线l的距离不小于b，则离心率的取值范围是9．一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则210．在棱长为2V3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，下列选项中正确的是A．直线EF与A1B所成的角为B．平面AEF截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为C．若点P满足＝cos2θ+sin2θB→B1，其中θ∈R，则三棱锥D—A1C1P的体积为定值D．以B1为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥B1—ABC表面相交的交线长为3π11．定义在(0，+∞)上的函数满足f－x，当0＜x≤1时，f－x＋1，则B．对任意正实数k，f(x)在区间(k，k＋1)内恰有一个极大值点C．当n为正整数时D．若f(x)在区间(0，k]内有4个极大值点，则k的取值范围是[，)12．在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为13．已知等比数列{an}中，a2024＝1，a2025＝2，能使不等式成立最小正整数m=▲.14．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|FB|．直线l1，l2分别过点A，B，且与y轴平行，在直线l1，l2上分别取点M，N（M，N均在点A，B的上方若∠ABN和∠BAM的角平分线相交于P点，则△PAB的周长为▲.15满分13分） 在△ABC中，BC＝3V2，∠BAC=. （1）若AC＝2v3，求sinC；（2）若D为边BC上的点且AD平分∠BAC，AD＝\3，求△ABC的面积.316满分15分）梯形ABCD中，AD∥BC，E为AD上的一点且有BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC＝ED，将△ABE沿BE翻折到△PEB使得二面角P—BE—C的平面角为θ,连接PC，PD，F为棱PD的中点.（1）求证：FC∥面PBE；（2）当θ=,PD=·i7时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值.EADBCPDEDEBC17满分15分）某运动会有两种不同价格的开幕式门票，某人花a元预定该运动会开幕式门票一张，另外还花若干元预定乒乓球、羽毛球比赛门票各一张．根据相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票．另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的a元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定．假设获得a元开幕式门票的概率是0.2，若未成功，仍有0.3的概率获得b元开幕式门票的机会，获得乒乓球、羽毛球门票概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响.（1）求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率；（2）假设这个人获得门票总张数是X，求X的分布列及数学期望E(X).418满分17分）已知f(x)＝3x－2sinx－k·lnx.（1）当k＝0时，求曲线f(x)在x＝处的切线方程；（2）当k＝1时，讨论函数f(x)的极值点个数；（3）若存在t1，t2∈R(t1＜t2)，f(et1)＝f(et2)，证明：t1＋t2＜2lnk.19满分17分）已知P为圆O：x2＋y2＝4上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得|MQ|＝2，点Q的轨迹记为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT，kAT＋kBT证明：直线l过定点；（3）若过右焦点F2的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且2B=λ2，当λ∈[2，3]时，求直线l在y轴上的截距的取值范围.2024-2025学年第二学期六校联合体2月学情调研测试高三数学1.复数z满足=i（i为虚数单位则复数z的共轭复数z=()zA．1－iB1－iC．1＋iD1＋i【答案】CA.2B.1C.1D.2【答案】C3．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法？()A．8B．12C．16D．10【答案】B【答案】B5.已知函数=sincosx在区间[0，t]上的最小值为，则t的最大值为()兀【答案】D3D.3B.C.D.【答案】A7.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则不等式的A.C.【答案】D8.双曲线为双曲线焦点，O为坐标原点，若直线l交双曲线于两点A、B，满足OA丄OB，若点O到直线l的距离不小于b，则离心率取值范围是()A．【答案】C9．一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则A．B．P(|A)=C．P(A|B)＝D．A，B相互独立【答案】AC10．在棱长为2·\3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，下列结论正确A．直线EF与A1B所成的角为B．经过A，E，F三点的截面面积为C．若点P满足＝cos2θ·+sin2θ·B→BD．以B1为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥B1—ABC表面相交的交线长为3π【答案】BCDB.对任意正实数k,f(x)在区间(k,k+1)内恰有一个极大值点C.当n为正整数时D.若f(x)在区间(0,k]内有4个极大值点，则k的取值范围是【答案】ACD∈N*的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 立最小正整数m=．【答案】404814.已知抛物线x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A,B两点，且AF=4FB．直线l1、l2分别过点A,B，且与y轴平行，在直线l1、l2上分别取点M、N（M、N均在点A,B的上方分别作上ABN 15满分13分） 在△ABC中，BC＝3V2，∠BAC=. （1）若AC＝2v3，求sinC；（2）D为边BC上的点且满足AD平分∠BAC，AD＝-\3，求△ABC的面积.解析： 222π 222π3 :c=3+3由正弦定理知，sinC=---------------------------------6分:AC<BC,:B<A=，:B=-------------------4分22b.c，1823b.c①-----------------8分:SΔABC=SΔABD+SΔACD:bc=b+c②--------------------10分由①②得:bc=6--------------------12分:SΔABC=bcsinA=.6.=-------------16满分15分）梯形ABCD中，AD∥BC，E为AD上的一点且有BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC＝ED，将△ABE沿BE翻折到△PEB使得二面角P—BE—C的平面角为θ,连接PC，PD，F为棱PD的中点.（1）求证：FC∥面PBE；（2）当θ=,PD=·i7时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值.PzEADDQBCEzEADDQBCEBCyx解析：（1）取PE中点G,连接GB,GF)ED-----------------2分)ED-----------------2分=ED,GFFC丈面PBE)→四边形BCFG为平行四边形→→FC//面PB(2)BE面BCDE)在平面PDE内，过点E作EQ丄ED交PD于点Q，DE=面PDE∩面BCDE:EQ丄面BCDE,,----------------7分EBED,,----------------7分,----------------10分设n=(x,y,z)为面BCF的法向量ln.BF=0l- →n=(·3,0,4)----------------12分:sinθ=----------------15分17满分15分）某运动会有两种不同价格的开幕式门票，某人花a元预定该运动会开幕式门票一张，另外还预定了乒乓球、羽毛球比赛门票各一张，根据相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的a元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.2，若未成功，仍有0.3的概率获得b元开幕式门票的机会，获得乒乓球、羽毛球门票概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响.（1）求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率；（2）假设这个人获得门票总张数是X，求X的分布列及数学期望E(X).17．解1）记“获得a元开幕式门票”为事件A，“获得b元开幕式门票”为事件B，“获得开幕式门票”为事件C……1分则P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P()＝0.8P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B)＝0.2＋0.8×0.3＝0.44＝……3分∴这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率为0.44（2）X∈{0，1，2，3}P(X＝0)＝(1－0.44)×0.5×0.5＝0.14=P(X＝1)＝(1－0.44)×0.5×0.5×2＋0.44×0.5×0.5＝0.39=P(X＝2)＝(1－0.44)×0.5×0.5＋0.44×0.5×0.5×2＝0.36=P(X＝3)＝0.44×0.5×0.5＝0.11＝……12分∴X的分布为X0123P0.390.36……13分E(X)＝0×0.14＋1×0.39＋2×0.36＋3×0.11＝1.44＝……15分18满分17分）已知f(x)=3x-2sinx-k.lnx.（1）当k=0时，求曲线处的切线方程；（2）当k=1时，讨论函数f(x)的极值点个数；（3）若存在t1，t2∈R(t1<t2)，f(et1)=f(et2)，求证：t1+t2<2lnk.【答案】【小问1详解】所以切线的斜率为..........................................................2分又因为切点为所以曲线处的切线方程为y=3x-2......................................3分【小问2详解】当k=1时，f=3x-2sinx-lnx，则f’=3-2cosx-故f(x)在[1,+∞)上单调递增，不存在极值点；......................................4分所以存在唯一x0∈,使得f故在(0,1)上存在唯一极小值点，综上，当k=1时，函数f(x)的极值点有且仅有一个．......................................8分【小问3详解】由f(x1)=f(x2)知3x1-2sinx1-klnx1=3x2-2sinx2-klnx2，......................................9分整理得，3(x1-x2)-2(sinx1-sinx2)=k(lnx1-lnx2)（*2时，有g(x1)<g(x2)，即x1-sinx1<x2-sinx2，因此*）即转化为......................................11分即所以不妨令则φ(m)在(0,1)上单调递减，......................................13分得证，......................................15分由不等式的传递性知·<k，即x1x2<k2，即e<2lnk.