人教A版高中数学必修第二册6.4.3.1课时评价作业（十三）含答案

A级基础巩固1.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2-a2-bA.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角三角形或直角三角形解析:由c2-a2-b所以cosC<0,所以C为钝角,即△ABC一定是钝角三角形.答案:C2.△ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C等于()A.π6B.π3C.π2D.2π解析:因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,整理,得b2+a2-c2=ab,所以cosC=b2+a2-c22答案:B3.(2024·广东模拟)已知在△ABC中,AB=2,AC=1,cosA=56,则BC=()A.1 5253D.15解析:由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=4+1-2×2×1×56=53,所以BC=答案:D4.已知△ABC的两边长a,b是方程x2-23x+2=0的两个实数根,且有2cos(A+B)=1,则第三边长c等于10.解析:易知cosC=-cos(A+B)=-12所以C=120°.因为a,b是方程x2-23x+2=0的两个实数根,所以a所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(23)2-2=10,即c=10.5.在△ABC中,已知sinC=12,a=23,b=2,求边解:因为sinC=12,且0<C<所以C=π6或5π当C=π6时,cosC=3此时,c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.当C=5π6时,cosC=-3此时,c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=27.B级能力提升6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32,且b<c,则b=()A.3 B.22 C.2 D.3解析:由a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-6b,解得b=2或4.因为b<c,所以b=2.答案:C7.如图所示,△ABC的内切圆O切边AC于点E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,则AB的长等于13-1.解析:由于2B=A+C,所以B=π3根据切线长定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.设BF=BD=x,则由余弦定理,得cosπ3=(x+1解得x=13-2,所以AB=AF+BF=1+13-2=13-1.8.在△ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,若AD为边BC上的高,则AD的长是3.解析:因为cosC=BC2+所以sinC=22,所以AD=ACsinC=39.(2023·全国乙卷,理)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.(1)求sin∠ABC;(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.解:(1)在△ABC中,由余弦定理可知BC2=22+12-2×1×2×cos120°=7,所以BC=7.所以由余弦定理可得cos∠ABC=7+4-12×又∠ABC∈(0°,60°),所以sin∠ABC=1-cos2∠(2)由(1)知cos∠ABC=5714,sin∠ABC=所以tan∠ABC=35.因为ADAB=tan∠ABC,所以12所以AD=235.因为∠所以△ADC的面积为12×AD×AC×sin∠DAC=12×235×1×C级挑战创新10.(2022·全国甲卷,理)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=3-1解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k×-12=k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k