人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步章末复习课检测含答案

章末复习课空间几何体的结构特征

1.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,先变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,再依据题意判定.2.通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.1.设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相等的直四棱柱是正方体;③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:底面是矩形的直平行六面体是长方体,①错误;棱长都相等的直四棱柱是正方体,②正确;侧棱垂直于底面两条相邻边的平行六面体是直平行六面体,③错误;任意侧面上两条对角线相等的平行六面体是直平行六面体,④错误.故真命题的个数是1.答案:A2.(2024·广东佛山顺德区模拟)多选题一个平面截正方体所得的截面图形可以是()A.等腰三角形 B.菱形C.梯形 D.正五边形答案:ABC空间几何体的表面积与体积

1.空间几何体表面积的求法:(1)解决以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题,应注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略:(1)若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解.1.(2023·全国乙卷,理)已知圆锥PO的底面半径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积为934,则该圆锥的体积为A.π B.6π C.3π D.36π解析:根据题意,设该圆锥的高为h,即PO=h,如图所示,取AB的中点E,连接PE,OE,由于圆锥PO的底面半径为3,即OA=OB=3,而∠AOB=120°,故AB=OA2+OB同时OE=OA×sin30°=32在△PAB中,PA=PB,E为AB的中点,则有PE⊥AB,又由△PAB的面积等于934,即12PE·解得PE=332,而在△POE中,PE=则有h2+34=274,解得h=故该圆锥的体积V=13π×(3)2×6=6π答案:B2.已知一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为12.解析:由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.设该六棱锥的高为h,则13×6×34×22×h=23,解得h=1.由题意,得底面正六边形的中心到其边的距离为3,所以侧面等腰三角形底边上的高为(3)2+1=2,所以该六棱锥的侧面积为6×123.(2024·广东韶关模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3,侧面展开图是半个圆环,则圆台的侧面积为()A.6π B.16π C.26π D.32π解析:把圆台补成圆锥,设上面小圆锥的母线长为l1,设大圆锥的母线长为l2,因为圆台的侧面展开图是半个圆环,所以小圆锥和大圆锥的侧面展开都是半圆.所以2π×1=12×2πl1,2π×3=12×2πl2.解得l1=2,l2=6,所以圆台的侧面积为两个半圆的面积之差,即π×l222-π×l答案:B4.如图所示,已知三棱柱ABC-A'B'C',侧面B'BCC'的面积是S,点A'到侧面B'BCC'的距离是a,求三棱柱ABC-A'B'C'的体积.解:连接A'B,A'C,如图所示,这样就把三棱柱ABC-A'B'C'分割成了两个棱锥,即三棱锥A'-ABC和四棱锥A'-BCC'B'.设所求体积为V,显然三棱锥A'-ABC的体积是13而四棱锥A'-BCC'B'的体积为13Sa故有13V+13Sa=V,所以V=与球有关的切、接问题

与球相关问题的解题策略:(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,则截面一要过球心,二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题.(2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决.1.(2024·广东汕头模拟)在母线长为4的圆锥PO中,其侧面展开图的圆心角为π2,则该圆锥的外接球的表面积为A.32π 64π3256π15D.256π解析:圆锥PO的母线长l=4,侧面展开图的圆心角为π2,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面周长为满足2πr=4×π2,解得r=1.设圆锥的外接球的球心为H,半径为R则该圆锥的高为h=l2-r2=16-1=15.在△AHO中,AH2=HO2+OA2,即(15-R)2+r2=R2⇒215R=16,解得R=815.所以S球答案:C2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是323π,那么这个正三棱柱的体积是()A.963 B.163C.243 D.483解析:由球的体积公式可求得球的半径R=2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a,高即侧棱长,为h,则h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,得a2×33=R=2,解得a=43.故这个正三棱柱的体积V=12×32×(43)2×4答案:D空间中的平行关系

1.平行问题的转化关系:2.直线与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.1.如图所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N分别为BB',A'C'的中点.求证:MN∥平面ABC'.证明:取B'C'的中点P,连接MP,NP(图略),则MP∥BC',NP∥A'B'.因为A'B'∥AB,所以NP∥AB.因为AB⊂平面ABC',NP⊄平面ABC',所以NP∥平面ABC'.同理MP∥平面ABC'.因为NP∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平面ABC'.2.如图所示,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,过点M作MH⊥AB于点H.求证:平面MNH∥平面BCE.证明:因为正方形ABCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,所以MH∥BC.因为BF=AC,AM=FN,所以FNBF=AM因为MH∥BC,所以AMAC=AH所以FNBF=AHAB,所以NH∥AF因为MH⊂平面MNH,NH⊂平面MNH,MH∩NH=H,BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,所以平面MNH∥平面BCE.空间中的垂直关系

1.空间中垂直关系的相互转化.2.判定线线垂直的方法:(1)平面几何中证明线线垂直的方法.(2)线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;a⊥α,b∥α⇒a⊥b.3.判定线面垂直的常用方法:(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质.4.判定面面垂直的方法:(1)利用定义.两个垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.(2)判定定理.a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.1.(2023·东莞期中)如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,∠BCD=60°,AB=2BC=2CD=4,AD⊥PB.求证:平面PBD⊥平面ABCD.证明:因为∠BCD=60°,AB=2BC=2CD=4,AD⊥PB,所以△BCD为等边三角形,所以BD=12AB=又四边形ABCD为梯形,AB∥CD,则∠ABD=60°.在△ABD中,根据余弦定理可知:AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD=42+22-2×4×2×12=12,所以AD2+BD2=AB2所以AD⊥BD.因为AD⊥PB,PB∩BD=B,PB,BD⊂平面PBD,所以AD⊥平面PBD.又AD⊂平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD.2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.(1)求证:BD⊥平面APC;(2)若G满足PC⊥平面BGD,求PGGC的值(1)证明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BD⊥AC.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为AC∩PA=A,AC⊂平面APC,PA⊂平面APC,所以BD⊥平面APC.(2)解:连接OG,如图所示.因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,所以PC⊥OG.在△ABC中,由余弦定理,得AC=22+22在Rt△PAC中,得PC=AC2+PA所以由△GOC∽△APC可得GC=AC·OCPC从而PG=3155,所以PGGC空间角的求解方法

1.找异面直线所成角的三种方法:(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.2.线面角.求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线段在平面内的射影所组成的直角三角形.3.求二面角的两种常用方法:(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,D,E分别是BC,AB的中点,AC>AD,设PC与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P-BC-A的平面角为γ,则α,β,γ的大小关系是α<β<γ.解析:因为D,E分别是BC,AB的中点,所以DE∥AC,所以PC与DE所成的角为∠PCA,即α.因为PA⊥平面ABC,所以PD与平面ABC所成的角为∠PDA,即β.如图所示,过点A作AH⊥BC,垂足为H,连接PH,易证BC⊥平面PAH,所以∠PHA是二面角P-BC-A的平面角,即γ.因为AB≠AC,所以AD>AH.因为AC>AD,所以AC>AD>AH,所以PAAC<PAAD<PAAH,所以tanα<tanβ<tanγ,所以2.(2023·全国甲卷,理)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)求证:AC=A1C;(2)若直线AA1与BB1的距离为2,求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明:如图,取CC1的中点O,连接A1O,因为A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以A1C⊥AC,所以A1C⊥A1C1.所以A1O=12C1C=12AA1=因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC,因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC.因为A1C∩AC=C,所以BC⊥平面A1C1CA.因为BC⊂平面BCC1B1,所以平面BCC1B1⊥平面A1C1CA.因为A1到平面BCC1B1的距离为1,所以A1到CC1的距离为1,所以A1O⊥CC1,所以A1C=A1C1=AC.(2)解:过A作AM∥A1O交C1C的延长线于M,连接MB1,取BB1的中点N,连接ON,所以四边形BCON为平行四边形.所以ON⊥平面A1C1CA,A1O∩ON=O,所以CC1⊥平面A1ON.因为A1N⊂平面A1ON,所以CC1⊥A1N,所以AA1⊥A1N.所以A1N为直线AA1与BB1的距离,所以A1N=2,所以ON=3,由(1)可知AM⊥平面BCC1B1.所以∠AB1M为直线AB1与平面BCC1B1所成角,易求得C1M=3,所以B1M=9+3=23.因为AM=1,所以AB1=1+12=13,所以sin∠AB1M=113=13所以直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为1313转化思想

转化思想是指在解决数学问题时,一个数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想.它包括从未知到已知的转化,从一般到特殊的转化等,折叠问题中体现了转化思想.解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些元素的位置没有变,基本思路是利用“不变求变”,一般步骤如下:(1)平面→空间.根据平面图形折出满足条件的空间图形,想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.(2)空间→平面.为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点分析元素的变与不变.1.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.若将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.因为AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.答案:D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点