2025年春八年级下册数学华师版教学课件 17.5 第3课时 建立反比例函数的模型解决实际问题

17.5实践与探索第17章函数及其图象3.建立反比例函数的模型解决实际问题

对于一个长方形，当它面积一定时，长

a是宽

b的反比例函数，其函数解析式可以写为(S＞0).请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式．实例：函数解析式：

．三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x

复习引入(S＞0)

的反比例函数

；例

1

市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)

有怎样的函数关系?解：根据圆柱的体积公式，得Sd=104，∴S关于d的函数解析式为典例精析实际问题与反比例函数(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工

队施工时应该向下掘进多深?解得d=20.答：施工时应向地下掘进20m深.解：把S=500代入，得(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司

临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，

储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?

≈

666.67.答：当储存室的深度为

15m时，底面积应改为约666.67m².解：根据题意，把d=15代入，得第(2)问和第(3)问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？

第(2)问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，第(3)问则是与第(2)问相反．

想一想：1.矩形面积为6，它的长y与宽x之间的函数关系用图象可表示为

()B练一练A.B.C.D.xyxyxyxyxy=6，且

x，y均大于0例2码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：

吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到v关于t的函数解析式.解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得

k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，若全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.解：把t=

5代入，得方法总结：在函数相关的实际问题中，若要求“至多”、“至少”，可以利用函数的增减性来解决.练一练

某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．(1)假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y

与x之间的函数关系式；解：(2)若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？解：x=12×5=60，代入函数解析式得答：若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用20天才能运完.(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？解：运了

8

天后剩余的垃圾有1200－8×60

=

720(立方米)，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运

720÷6

=

120(立方米)，所以需要的拖拉机数量是

120÷12

=

10(辆)，即至少需要增加拖拉机

10－5

=

5(辆).例3

小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F

与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为

1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?典例精析解：根据“杠杆原理”，得Fl

=1200×0.5，∴F关于

l的函数解析式为对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.反比例函数在物理中的应用(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂

l至少要加长多少?提示：对于函数，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量.解：当

F=400×=200时，由200=，得3－1.5=1.5(m).对于函数，当l＞0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m.

在物理学中，我们知道，当阻力和阻力臂一定时，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？想一想：

假定地球重量的近似值为6×1025

牛顿(即阻力)，阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？由已知得

F×l＝6×1025×2×106=1.2×1032，令F=

500N，得

l=2.4×1029米，解：2000千米=2×106米，练一练变形得故用

2.4×1029米长的动力臂的杠杆才能把地球撬动.例4某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力F一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)也随之变化变化.如果人和木板对湿地地面的压力F合计为600N，那么：(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？解：由，得p是S的反比例函数．(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？解：当S＝

0.2m2时，故当木板面积为

0.2m2

时，压强是

3000Pa．(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？解：当p

=6000时，由得对于函数，当S＞0时，S越大，p越小.因此，若要求压强不超过6000Pa，则木板面积至少要0.1m2.(4)在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象．20000.10.5O0.60.30.20.410003000400050006000S/m2p/Pa解：如图所示.某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人应站立在面积为多少的木板上才不会下陷(木板重量忽略不计)()A.至少2m2

B.至多2m2

C.大于2m2

D.小于2m2

练一练204060O602040S/m2p/(N/m2)A例5

一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110Ω～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?U~解：根据电学知识，当U=220时，得(2)这个用电器功率的范围是多少?解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入解析式，得到功率的最大值把电阻的最大值R=220代入解析式，得到功率的最小值因此用电器功率的范围为

220W

~

440W.1.在公式中，当电压U一定时，电流I与电阻

R之间的函数关系可用图象表示大致为()D练一练ABCDIRIRIRIROOOO2.在某一电路中，电压保持不变，电流I(A)和电阻

R(Ω)成反比例，当电阻R＝5Ω时，电流I＝2A．(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．

解：(1)设∵当R=5Ω时，I=2A，∴U=2×5=10．∴I与R之间的函数关系式为

(2)当

I=0.5A时，，解得R=20(Ω)．1.面积为2的直角三角形一直角边长为

x，另一直角边长为

y，则y与x的变化规律用图象可大致表示为()A.xy1O2xy4O4B.xy1O4C.xy1O414D.C

xy=2，xy=4，且

x，y均大于02.体积为20cm3的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高度y(单位：cm)与底面积S(单位：cm2)的函数关系为

，若要使做出来的圆柱体粗1cm2，则圆柱的高度是

cm.

203.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压为

120kPa时，气球的体积应为()A.B.C.D.CO60V/m3p/kPa1.64.受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有300牛顿的力量，他应该选择动力臂至少为

米的撬棍才能撬动这块大石头.25.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)是体积V(单位：m3)的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是

.21345V/m3ρ/(kg/m3)5O632411kg/m3

6.蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)

是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式；解：设，把

M(4，9)代入得

k=4×9=36.∴这个反比例函数的解析式

为

.O9I(A)4R(Ω)M(2)当R=10Ω时，电流可能是4A吗？为什么？解：当