中考数学二轮复习题型训练压轴几何证明题及相关辅助线做法（原卷版）

压轴几何证明题及相关辅助线做法 复杂几何证明题作为压轴题出现难度较大，通常有三个小问，前两问中等难度，第三问较难。综合考查几何相关定义性质和初中阶段涉及的几何辅助线做法，题型灵活多变，需要学生有一定的几何基础，掌握中线倍长、一线三等角、角含半角等几何模型。【知识点1-手拉手】手拉手模型的识别：顶角相等的两个等腰三角形，共顶点；方法：等边等角证明全等；结论：（1）两个等腰三角形的腰分别与拉手线相连组成的三角形全等（2）拉手线相等 （3）拉手线交角的度数等于等腰三角形顶角的度数 （4）等腰三角形的顶点与拉手线交点的连线平分这个交角的邻补角1、等边三角形共顶点等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH为等边三角形．2、等腰直角三角形共顶点等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE3、等腰三角形共顶点等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连结BD，AE交于点F，则结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．例题1、已知，∆ACB和∆DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE,BD交于点O，AE与DC交于点O，AE与DC交于点M。BD与AC交于点N，求证AE=BD变式练习1、如图，△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE、BD、CD,∠BDC=60°，（1）求证BD=CE;（2）求∠DCE的度数； 变式练习2、如图，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的点C重合，且使∠BCA=∠DCE=α，连接BE，AD交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）求∠BMD的度数（用含α的式子表示）.【知识点2-角含半角】1．等腰直角三角形角含半角

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°

（1）△BAE∽△ADE∽△CDA

（2）BD2＋CE2＝DE2．证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，

所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，

所以△ADE∽△FAE（SAS）．

所以DE＝EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．（旋转只是思想，辅助线：做AD垂直AM且AD=AM，连接DC）

方法二（翻折法）：如图2，作点B

关于AD

的对称点F，连结AF，DF，EF．因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，

又因为∠BAD＝∠DAF，

则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，

所以△FAE∽△CAE（SAS）．

所以EF＝EC．

而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，

所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．例题1、已知△ABC为等腰三角形∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2.变式练习1、如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；变式练习2、阅读下面材料小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题．例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF；如图2，小明延长CB至G，使得BG=DF，则形成一组旋转三角形…（1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程；参考小明同学的解题思路解答下面两个问题：（2）如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之间的数量关系，并证明；图1 图2 图3【知识点3-“Y”形】如图，在三角形中形成“Y”形，可以利用旋转构造等边三角形来解题。如图，等边△ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A，则△BPP'是等边三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．（2）如图，正方形ABCD内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP'A，则△BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．注意：在做这类题时旋转是解题思路而不是辅助线做法，所以解题步骤可以写作角相等线段长度相等，通过构造一对全等三角形达到旋转的目的。例题1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。变式练习1、阅读下列材料:数学课上,老师出示了这样一个问题:如图1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°，点D、E在AB上,且AD=BE,DG⊥CE垂足为G,DG的延长线与BC相交于点F,探究线段AD、BD、DF之间的数量关系,并证明.某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量,发现∠BCE与∠BDF存在某种数量关系小强:“通过观察和度量,发现图1中有一条线段与CE相等”;小伟:“通过构造三角形,证明三角形全等,进而可以得到线段AD、BD、DF之间的数量关系”.……老师:“保留原题条件,再过点D作DH⊥BC,垂足为H,DH与CE相交于点M(如图2).如果给出DG和GF的数量关系，就可以求最后结果了图1 图2（1）在图1中找出与线段CE相等的线段,并证明;（2）探究线段AD、BD、DF之间的数量关系,并证明;（3）若DGGF＝n，求DM变式练习2、阅读下面材料，并解决问题：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数。（2）请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题。如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证EF²=BE²+CF²图1图2 变式练习3、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长度。【知识点4-一线三等角】方法：找角→定线→构相似一线穿直角：【结论】：若AB＝AC，则△ABE≌△CAD若AB＝ｋAC，则△ABE∼△CAD一般模型：同侧型 异侧型【结论】：①若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED例题1、直线CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°则BE_____________CF，EF_____________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立;（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）变式练习1、已知在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，且OA=1，OB=3.（1）如图1，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.求点C的坐标；（2）如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APQ，过点Q作QE⊥x轴于E，那么PO−QE的值会随着点P的运动而改变吗?如果改变，请说明理由，如果不变，请求出PO−QE的值是多少?变式练习2、在△ABC中,点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.（1）如图1，当DE=DF时，图中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以明;若不存在，请说明理由;（2）如图2,当DE=kDF(其中0＜k＜1)时,若∠A=90°,AF=m，求BD的长。(用含k,m的代数式表示 变式练习3、如图（1），在中，，直线经过点于于．

（1）求证：①；②．

（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想．（1）（2）1、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中22＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出AHHC的值．（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出AHHC的值（用含k2、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．3、如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．（1）填空：与∠CAG相等的角是；（2）用等式表示线段AD与B