2025年春八年级下册数学北师版教学课件 1.4 第1课时 角平分线的性质

新知一览等腰三角形三角形的证明线段的垂直平分线角平分线直角三角形三角形三条内角的平分线角平分线1.4角平分线第一章三角形的证明第1课时角平分线

如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点

M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库

P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMAB在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，

E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗?改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质1对此你能得出什么结论？动手证一证.CAOBCDE已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点

P在

OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D，E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).结论证明BADOPEC12∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1

=∠2.∵OP=OP，性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.定理的作用：证明线段相等.BADOPEC应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).知识要点例1如图，AM

是∠BAC

的平分线，点

P

在

AM

上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是

D、E，PD

=

4

cm，则

PE

=

______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段——直接应用典例精析定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定2类比探究它是真命题吗？你能证明吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.逆命题PAOBCDE已知：如图，点

P为是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D、E，且

PD=PE.求证：点

P在∠AOB的平分线上.∴

OP平分∠AOB.∵PD=PE

，OP=OP，证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D，E，∴∠ODP

=∠OEP

=90°.∴Rt△DOP≌Rt△EOP

(HL).∴∠1

=∠2(全等三角形的对应角相等).结论证明BADOPEC12判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：(1)位置关系：点在角的内部；(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点

P在∠AOB的平分线上.知识要点例2

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点

D

在

BC

上，AD

=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为

E，F，且DE

=DF，求

DE

的长.ABCDEF典例精析解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且

DE

=DF，∴AD

平分∠BAC

(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE

中，∠AED

=

90°，AD=

10，ABCDEF∴DE

=

AD

=

×10=5

(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).例3

如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点

F.求证：点

F在∠DAE的平分线上．

证明：过点

F作

FG⊥AE于

G，FH⊥AD于

H，FM⊥BC于

M.∵

点

F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴

FG＝FM.又∵点

F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH.∴FG＝FH.∴点

F在∠DAE的平分线上.

GHMABCFED┑┑┑ONMAB方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示.P.回顾导入图形已知条件结论PCPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E角的平分线的判定角的平分线的性质归纳总结角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段判定定理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到

AB的距离是

.ABCD31.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是

E，F，DE=DF，∠EDB

=60°，则∠EBF

=

°，BE