2025届上海市普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟数学试卷02（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市普通高校2025届春季招生统一文化考试数学仿真模拟卷02一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知，，，．若，则．【解析】，，，，，则．【答案】22．若，则．【解析】因为，所以．【答案】3．不等式的解集为．【解析】由可得，，所以，所以，即不等式的解集为，，【答案】，4．圆的半径是．【解析】根据题意，圆即圆，其半径，【答案】5．已知事件的对立事件为，若（A），则．【解析】事件的对立事件为，若（A），则．【答案】0.56．已知，，且，则的最小值为．【解析】因为，，且，所以；当且仅当，即，时，等号成立所以的最小值为．【答案】7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．【解析】极差为，组距为5，且第一组下限为153.5，，故组数为7组，【答案】78．已知，则（用数字作答）．【解析】令时，解得；令时，；①，令时，；②，故①②得：，故．【答案】9．定义符号函数，则方程的解集为．【解析】由方程，可得，，，当时，原式等价于，，；当时，原式等价于，即，，，【答案】，10．已知函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，则它在，上是增函数的概率为．【解析】函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，基本事件总数，记事件表示“在，上是增函数”，由已知可知开口一定向上，对称轴为，则，即，则事件包含的基本事件有：，，，共3个，所以（A），【答案】11．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为．【解析】设，由得，，，则，即，所以，若，则或，检验得，时，得（舍，当时，或，，当时，得或，当，时，此时不存在，当，时，，，此时，故．【答案】12．已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为．【解析】设，，，，不妨设，，，则，因为，所以，可得，，所以，解得，故．【答案】二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．设函数，则下列函数中为奇函数的是A． B． C． D．【解析】因为，所以为奇函数，符合题意．【答案】14．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下，则A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数 B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数 C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差 D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差【解析】甲的数据的平均数为，乙的数据的平均数为，故选项错误；甲的数据的中位数为100，乙的数据的中位数为100，故选项错误；甲的数据的方差为，乙的数据的方差为，故甲的数据的方差大于乙的数据的方差，即选项正确；甲的数据的极差为，乙的数据的极差为，故选项错误；【答案】15．如图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是A．，且与平行 B．，且与平行 C．，且与异面 D．，且与异面【解析】设正方体的棱长为，则，作点在平面内的射影点，连结，，所以，所以，故选项，错误；连结，因为为平面的中心，所以，又因为，分别为，的中点，所以，又因为，所以，且，所以与异面，故选项错误．【答案】16．已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的是A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列 B．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列 C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列 D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列【解析】如果数列成等差数列，设公差为，由，，成等差数列，可得，即，化为，由，，只有，才有，但，此时，，不为等比数列，故错误；如果数列成等比数列，设公比为，由，，成等差数列，可得，若，则，可得，不成立；所以不为1，则．化为，即，解得，因为，所以，可得，，为等差数列，故正确；若不成等差数列，无法判断，，不成等比数列，故错误；若不成等比数列，无法判断，，不成等差数列，故错误．【答案】三、解析题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．如图，在三棱锥中，平面，，，，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，，，，0，，的重心，，，设，，，则，，，平面，，，，，，，，，平面，且，，，，0，，，又由，得，解得，；（1），1，，，，，，，，，，直线与平面所成角的正弦值为；（2），1，，，0，，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，点到的距离．18．在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值及的面积．解：（Ⅰ）在中，，由余弦定理，可得，整理可得，解得或（舍去）；（Ⅱ）由题意可得，由正弦定理，可得，所以的面积．19．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，现菌落覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系有两个函数模型与可供选择．（参考数据：，，，，，．（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（计算结果保留到整数）解：（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，根据题意应选，于是，解得：，，（2）根据函数模型，可得不等式，解得，故至少经过培养基中菌落面积能超过．20．椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设的横坐标为，当时，求面积的最大值．解：（1）设，由，知，即，由，知，即，则，故椭圆的标准方程为；（2）直线的方程为与联立，可得，且△，有，即，直线的方程为，令，可得，，，即，，而，当，即时取等号，且，故面积的最大值为．21．设函数，，其中，、，若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数取最小值定义为．（1）若，，试问是否为的“控制函数”；（2）若，使得直线是曲线在处的切线，求证：函数是为函数的“控制函数”，并求的值；（3）若曲线在处的切线过点，且，，求证：当且仅当或时，（c）（c）．（1）解：，设，，当，时，易知，即单调减，，即，是的“控制函数“；（2）证明：，，，即为函数的“控制函数“，又，且，；（3）证明：，，在处的切线为，，，（1）（1），，，，，恒成立，函数必是函数的“控制函数“，是函数的“控制函数“，此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，所以曲线在处的切线过点，且，，当且仅当或时，．上海市普通高校2025届春季招生统一文化考试数学仿真模拟卷02一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知，，，．若，则．【解析】，，，，，则．【答案】22．若，则．【解析】因为，所以．【答案】3．不等式的解集为．【解析】由可得，，所以，所以，即不等式的解集为，，【答案】，4．圆的半径是．【解析】根据题意，圆即圆，其半径，【答案】5．已知事件的对立事件为，若（A），则．【解析】事件的对立事件为，若（A），则．【答案】0.56．已知，，且，则的最小值为．【解析】因为，，且，所以；当且仅当，即，时，等号成立所以的最小值为．【答案】7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．【解析】极差为，组距为5，且第一组下限为153.5，，故组数为7组，【答案】78．已知，则（用数字作答）．【解析】令时，解得；令时，；①，令时，；②，故①②得：，故．【答案】9．定义符号函数，则方程的解集为．【解析】由方程，可得，，，当时，原式等价于，，；当时，原式等价于，即，，，【答案】，10．已知函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，则它在，上是增函数的概率为．【解析】函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，基本事件总数，记事件表示“在，上是增函数”，由已知可知开口一定向上，对称轴为，则，即，则事件包含的基本事件有：，，，共3个，所以（A），【答案】11．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为．【解析】设，由得，，，则，即，所以，若，则或，检验得，时，得（舍，当时，或，，当时，得或，当，时，此时不存在，当，时，，，此时，故．【答案】12．已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为．【解析】设，，，，不妨设，，，则，因为，所以，可得，，所以，解得，故．【答案】二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．设函数，则下列函数中为奇函数的是A． B． C． D．【解析】因为，所以为奇函数，符合题意．【答案】14．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下，则A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数 B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数 C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差 D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差【解析】甲的数据的平均数为，乙的数据的平均数为，故选项错误；甲的数据的中位数为100，乙的数据的中位数为100，故选项错误；甲的数据的方差为，乙的数据的方差为，故甲的数据的方差大于乙的数据的方差，即选项正确；甲的数据的极差为，乙的数据的极差为，故选项错误；【答案】15．如图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是A．，且与平行 B．，且与平行 C．，且与异面 D．，且与异面【解析】设正方体的棱长为，则，作点在平面内的射影点，连结，，所以，所以，故选项，错误；连结，因为为平面的中心，所以，又因为，分别为，的中点，所以，又因为，所以，且，所以与异面，故选项错误．【答案】16．已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的是A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列 B．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列 C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列 D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列【解析】如果数列成等差数列，设公差为，由，，成等差数列，可得，即，化为，由，，只有，才有，但，此时，，不为等比数列，故错误；如果数列成等比数列，设公比为，由，，成等差数列，可得，若，则，可得，不成立；所以不为1，则．化为，即，解得，因为，所以，可得，，为等差数列，故正确；若不成等差数列，无法判断，，不成等比数列，故错误；若不成等比数列，无法判断，，不成等差数列，故错误．【答案】三、解析题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．如图，在三棱锥中，平面，，，，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，，，，0，，的重心，，，设，，，则，，，平面，，，，，，，，，平面，且，，，，0，，，又由，得，解得，；（1），1，，，，，，，，，，直线与平面所成角的正弦值为；（2），1，，，0，，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，点到的距离．18．在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值及的面积．解：（Ⅰ）在中，，由余弦定理，可得，整理可得，解得或（舍去）；（Ⅱ）由题意可得，由正弦定理，可得，所以的面积．19．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，现菌落覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系有两个函数模型与可供选择．（参考数据：，，，，，．（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（计算结果保留到整数）解：（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，根据题意应选，于是，解得：，，（2）根据函数模型，可得不等式，解得，故至少经过培养基中菌落面积能超过．20．椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设的横坐标为，当时，求面积的最大值．解：（1）设，由，知，即，由，知，即，则，故椭圆的标准方程为；（2）直线的方程为与联立，可得，且△，有，即，直线的方程为，令，可得，，，即，，而，当，即时取等号，且，故面积的最大值为．21．设函数，，其中，、，若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且