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第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle：1652-1719)定理且存在定义：导数为0的点称为驻点（或稳定点、临界点）费马(1601–1665)注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.使2)

定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性（介值定理）2)唯一性（反证法+罗尔定理）二、拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使拉格朗日中值定理的有限增量公式:令则拉格朗日(1736–1813)推论:例2.证明等式例3.

证明不等式三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:柯西(1789–1857)柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率例4.设至少存在一点使证明例5.

试证至少存在一点使证1：辅助函数+Cauchy证2：辅助函数+Rolle内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习1.填空题函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2.设且在内可导,证明至少存在一点使3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.作业P1347,8,10,

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