高中数学(人教B版)必修二同步讲义第6章第05讲平面向量线性运算的应用(学生版+解析)

第05讲平面向量线性运算的应用课程标准学习目标1．会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题．2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模核心素养．2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素养.知识点01向量在平面几何中的应用(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔bλa⇔x1y2x2y1[a(x1，y1)，b(x2，y2)]．(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|eq\r(x2＋y2).(3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))λeq\o(AC,\s\up6(→))，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ1)，使eq\o(OC,\s\up6(→))λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)).（4）用向量运算解决平面几何问题的“三步法”第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.【即学即练1】在四边形中，若，则四边形为（

）A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形知识点02向量在物理中的应用(1)力向量力向量包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．【即学即练2】已知三个力f1(－2，－1)，f2(－3,2)，f3(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)题型01利用平面向量判断几何图形形状【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（

）A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形【变式1】在ΔABC中,,则ΔABC是A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【变式2】若且，则四边形的形状为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【变式3】在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（

）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形题型02利用平面向量证明平行关系【典例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：.【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.【变式2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．题型03利用平面向量求线段的长【典例3】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.【变式1】在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.【变式2】用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？题型04利用平面向量求面积比【典例2】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则.【变式2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－，则△ABM与△ABC的面积之比为（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5题型05利用平面向量解决力的问题【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为40N，方向向东，的大小为30N，方向向北，求它们的合力．

【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上，，.求物体平衡时，A和B处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计，）【变式3】若向量分别表示两个力，则（

）A． B．2 C． D．题型06利用平面向量解决运动的问题【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟米；②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要分钟.【变式1】一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为km/h.【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（

）A． B． C． D．【变式3】）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（

）A． B． C． D．1.已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为80°，那么的大小为（）A．NB．5NC．10ND．N2.一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是70m/s，则鹰的飞行速度为（）A．B．C．D．3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（）A．船垂直到达对岸所用时间最少B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样D．船垂直到达对岸时航行的距离最短4..若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为.5.如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.6.如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.7.如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．8飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东80°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．第05讲平面向量线性运算的应用课程标准学习目标1．会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题．2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模核心素养．2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素养.知识点01向量在平面几何中的应用(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔bλa⇔x1y2x2y1[a(x1，y1)，b(x2，y2)]．(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|eq\r(x2＋y2).(3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))λeq\o(AC,\s\up6(→))，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ1)，使eq\o(OC,\s\up6(→))λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)).（4）用向量运算解决平面几何问题的“三步法”第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.【即学即练1】在四边形中，若，则四边形为（

）A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形【答案】C【分析】根据向量共线即可判断.【详解】四边形ABCD中，若，则，且，所以四边形是梯形.知识点02向量在物理中的应用(1)力向量力向量包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．【即学即练2】已知三个力f1(－2，－1)，f2(－3,2)，f3(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)【答案】A【解析】由物理知识知f1＋f2＋f3＋f40，故f4－(f1＋f2＋f3)(1,2)．题型01利用平面向量判断几何图形形状【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（

）A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形【答案】A【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案.【详解】因为，，，所以.所以.所以且，所以四边形为梯形...【变式1】在ΔABC中,,则ΔABC是A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】根据向量的线性运算化简判定即可.【详解】,则,故ΔABC是等边三角形.【点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法,属于基础题型.【变式2】若且，则四边形的形状为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】D【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断.【详解】可知，四边形为平行四边形，又因为,所以四边形为菱形．.【变式3】在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（

）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形【答案】C【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形.【详解】由，得，所以，可得且.所以四边形一定是梯形．题型02利用平面向量证明平行关系【典例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：设，，则.又，.所以，.在中，，所以，即与共线，故.【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.【答案】证明见解析【解析】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，所以所以，又因为与不共线，所以，且，所以四边形EFGH为平行四边形.【变式2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．【答案】证明见解析【解析】证明：由题意，，，∴．设，则．同理．于是．∴，∴．题型03利用平面向量求线段的长【典例3】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设设，，，，则，，所以，所以.所以，.因为E，D，F共线，所以，所以，化简得.因为，所以，所以.【变式1】在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.【答案】证明见解析【解析】因为点E，F分别是，的中点，所以，.所以.因为，所以，所以.因为，，且与同向，所以，即.【变式2】用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？【答案】，理由见解析【解析】因为四边形为平行四边形，所以，设，因为是的中点，所以，故，又因为三点共线，可设，即，即，故，相加可得，解得，故，同理可证，故可知为的三等分点，故.题型04利用平面向量求面积比【典例2】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】假设是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得点坐标，由此求得与的面积比.【详解】假设是等腰直角三角形，且是直角，，建立如图所示平面直角坐标系，设，则,，依题意，即，，.所以与的面积比为.【变式1】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则.【答案】2【分析】利用，确定点的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解.【详解】因为，所以，所以，取的中点，则，所以为BD的中点，如图所示，则的面积为，的面积为，,所以.故答案为：2【变式2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－，则△ABM与△ABC的面积之比为（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5【答案】C【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.【详解】如图，D为BC边的中点，则因为－－所以，所以所以.题型05利用平面向量解决力的问题【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为【答案】【分析】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.【详解】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，因为，与水平夹角均为，，由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且，所以物体的重力大小为故答案为:【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为40N，方向向东，的大小为30N，方向向北，求它们的合力．

【答案】合力的大小为，方向为东偏北正切值为的角.【分析】根据力的合成法则可求答案.【详解】因为的大小为40N，方向向东，的大小为30N，方向向北，所以它们合力的大小为，，所以合力的大小为，方向为东偏北正切值为的角.【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上，，.求物体平衡时，A和B处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计，）【答案】A和B处所受力的大小分别为，.【分析】根据力的分解及平行四边形法则可求答案.【详解】设A和B处所受力分别为，处所受两绳的拉力的合力为，物体重力为，物体所受的重力为100，根据力的平衡，所以；因为，所以，所以；因为，所以，所以.【变式3】若向量分别表示两个力，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得，结合向量模的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量分别表示两个力，可得，所以..题型06利用平面向量解决运动的问题【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟米；②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要分钟.【答案】24；20.【分析】（1）求出即得解；（2）求出他游到河对岸的速度即得解.【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为，他实际前进速度的大小每分钟24米.（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为，所以他游到河对岸的需要分钟.故答案为：24；20.【变式1】一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为km/h.【答案】【分析】利用勾股定理求得正确答案.【详解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，所以船实际航行的速度大小为km/h.故答案为：【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，如图，在中，，所以，所以，所以，【变式3】）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据路程、位移的概念分别求出、即可得解.【详解】因为一架飞机向西飞行，再向东飞行，则飞机飞行的路程，位移为向东，所以，所以.1.已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为80°，那么的大小为（）A．NB．5NC．10ND．N【答案】C【解析】如图，，，，，.在中，有，所以，的大小为5N..2.一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是70m/s，则鹰的飞行速度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示：由题意知：，所以，3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（）A．船垂直到达对岸所用时间最少B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样D．船垂直到达对岸时航行的距离最短【答案】CD【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际速度为，两岸间的垂直距离为；对于ABC，船垂直到达对