人教版平行四边形单元 期末复习测试题试题

一、选择题

1.如图，正方形ABCD的边长为2a,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点

A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F

的运动速度相同.BE与AF相交于点G,H为BF中点，则有下列结论：①NBGF是定值；

②BF平分/CBE：③当E运动到AD中点时，GH=^«；④当JAGB=（"+2）白时，S叫形

GEDF=-a2,其中正确的是（）

5K-----

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

2.矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,把NB沿AE折叠，使

点B落在点处，当△CEB，为直角三角形时，BE的长为（）

C.2或3

3.如图，在菱形A8CD中，48=5cm,Z4DC=120°,点、E、F同时由4C两点出发，分别

沿48.C8方向向点8匀速移动（到点8为止），点E的速度为lcm/s,点F的速度为

2cm/s,经过t秒为等边三角形，则t的值为（）

4

3

4.如图，在ABC中，BD,CE是ABC的中线，与CE相交于点。，点产，G

分别是80,C0的中点，连接4。，若要使得四边形DEFG是正方形，则需要满足条件

5.如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到

第二个菱形，按此方法继续下去.已知第一个菱形的面积为1,则第4个菱形的面积是

（）

<TQq・・・・・・

1111

A.-B.—C.—D.—

4163264

6.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE

于点P.若AE=AP=1,PD=2,下列结论：①EBJ_ED；②NAEB=135°；③S正方/ABCD=

5+2J5；④PB=2；其中正确结论的序号是（）

7.已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点耳在y轴

上，点Er马、。2、目、G均在x轴正半轴上，若已知正方形4g的

边长为1,ZB.C.O=60\且B\CJ/B2c2UB3G，则点人的坐标是（）

A.（3+4卒）B.（国次）C.（用”）D.（3+4窄）

262lo262lo

8.如图，在A/C中，A8=4C=6,N8=45。，。是8c上一个动点，连接4D,以4。为边

向右侧作等腰ADE,其中4。=人£,乙4。£=45。，连接CE.在点。从点8向点C运动过程

中，/XCDE周长的最小值是（）

A.6>/2B.6a+6

C.9&D.9a+6

9.如图的AABC中，AB>AC>BC,且D为BC上一点.现打算在AB上找一点R在AC上找一

点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：

甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求；

乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，贝I]

P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误乙正确

10.在ABC尸中，BC=2AB,。。_1.718于点。，点后为4尸的中点，若

NADE=50°,则DB的度数是（）

二、填空题

11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为边CD的中点，点尸在线段48

上运动，尸是CP的中点，则ACEF的周长的最小值是.

12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，对角线长为1cm,过点。任作一条直线分

别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是.

13.如图，四边形A8C。是菱形，ZDA8=48°,对角线AC,8。相交于点O,DH1.48于

H,连接0H,则N0H0=度.

14.如图，在等边A/C和等边OE尸中，尸。在直线AC上，8。=3£>£=3,连接

BD,BE,则BD+BE的最小值是.

3

15.已知在矩形A8CD中，AB=5，BC=3,点尸在直线5c上，点。在直线CO上，且

42_1尸。,当4尸=82时，AP=.

16.在A8c中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方

式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF,则OE尸的周长为.

AA

17.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段

AB的中点.点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10.以DE为边在第

三象限内作正方形DGFE,则线段MG长度的最大值为.

18.已知：一组邻边分别为6cm加10cm的平行四边形ABC。，ND48和NA8C的平分

线分别交CO所在直线于点E,F,则线段EF的长为cm.

19.如图，矩形A8CO中，CE=CB=BE,延长BE交于点M,延长CE交AO

于点F,过点、E作EN工BE,交BA的延长线于点N,FE=2,AN=3,贝ij

BC=.

20.如图，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点P在BC边上，将4CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则AF的值为.

三、解答题

21.如图，矩形08co中，。8=5,。。=3,以。为原点建立平面直角坐标系，点8,点。

分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P,且满足5APO8=：5矩形

OBCD，问：

（1）当点P在矩形的对角线0C上，求点P的坐标；

（2）当点P到。，8两点的距离之和PO+P8取最小值时，求点P的坐标.

22.已知：如图，在AABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行

线交于BE的延长线于点F,且AF=DC,连接CF.

（2）如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

23.如图，M为正方形A8CD的对角线8。上一点.过M作8。的垂线交AO于E,连

BE,取班:中点0.

DM、MN、之间的数量关系并证明；

（3）如图3,延长对角线30至。延长。B至尸，连CRC。若P5=2,PQ=9,且

ZPCQ=135°,则PC=_.（直接写出结果）

24.在正方形A8CO中，点E是。。边上任意一点，连接4E,过点8作于

F,交AO于〃.

。）如图1,过点。作OGJ.AE于G.求证:B产一。G=R7；

（2）如图2,点E为CO的中点，连接。尸，试判断。£尸”,所存在什么数量关系并说

明理由；

(3)如图3,AB=\t连接E”，点尸为EH的中点，在点E从点。运动到点C的过程

中，点尸随之运动，请直接写出点尸运动的路径长.

25.如图1,在正方形488(正方形四边相等，四个角均为直角)中，48=8,P为线段

8c上一点，连接4P,过点8作8QL4P,交CD于点Q,将△8QC沿8Q所在的直线对折得

到△8QC,延长QC交4。于点N.

(1)求证：BP=CQ；

(2)若8PPC,求4V的长;

3

(3)如图2,延长QV交84的延长线于点M,若8P=x(0<xV8),△BMC•的面积为

5,求5与x之间的函数关系式.

26.如图，四边形ABCD为正方形.在边AO上取一点E,连接BE,使N4EB=60。.

(1)利用尺规作图(保留作图痕迹)：分别以点B、。为圆心，长为半径作弧交正

方形内部于点丁，连接B7并延长交边AO于点E,则NA£B=60。；

(2)在前面的条件下，取班:中点M,过点M的直线分别交边48、CD于点P、Q.

①当尸Q_L3E时，求证：BP=2AP；

②当尸Q=BE时，延长8石，CD交于N点，猜想N。与的数量关系，并说明理由.

27.在正方形48C0中，连接BQP为射线CB上的一个动点(与点C不重合)，连接4P,

AP的垂直平分线交线段于点E,连接力生PE.

提出问题：当点P运动时，乙4PE的度数是否发生改变?

探究问题：

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

①当点P与点B重合时，如图1所示，乙4PE=°

②当BP=BC时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写你的结论：

;（填"变化"或"不变化"）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图3,图4,通过观察、测量，发现：（1）中

①的结论在一般情况下；（填"成立”或"不成立〃）

图3图1

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行

证明；若不成立，请说明理由.

28.如图，已知平面直角坐标系中,A（1,O）、C（0,2）,现将线段。1绕A点顺时针旋转90。

得到点瓦连接A8.

jAy八

⑴求出直线5c的解析式；

（2）若动点M从点C出发,沿线段CB以每分钟J历个单位的速度运动，过M作MN//AB

交）'轴于N,连接AN.设运动时间为，分钟，当四边形ABMN为平行四边形时，求t的值.

⑶?为直线8c上一点，在坐标平面内是否存在一点Q,使得以。、B、P、。为顶点的四

边形为菱形,若存在，求出此时Q的坐标；若不存在，请说明理由.

29.如图1,在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，过点。作直线EF_LBD,且交

（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求NEBF的度数.

（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2,G,I分别在BF,BE边上，且BG=BI,

连接GD,H为GD的中点，连接FH,并延长FH交ED于点J,连接IJ,IH,IF,IG.试探究

线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；

（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3,矩形ABCD满足AB=AD时，点E是

对角线AC上一点，连接DE,作EFJ_DE,垂足为点E,交AB于点F,连接DF,交AC于点

G.请直接写出线段AG,GE,EC三者之间满足的数量关系.

30.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫

做这个损矩形的直径。

（1）如图1,损矩形ABCD,NABC=NADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我

们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC和4ABD有公共边AB,在AB同侧有NADB和NACB,此时NADB=

ZACB；再比如△ABC和aBCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和/BDC,此时NBAC=

NBDC。请再找一对这样的角来___=

（2）如图2,ZXABC中，ZABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF

的中心，连结BD,当BD平分NABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明

理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB=3,BD=4近，求BC的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意很容易证得4BAEgZ\ADF,即可得到AF=BE,利用正方形内角为90。，得出

AF_LDE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

④根据△BAEg/\ADF,即可得到S四边杉GEDF=s般,即可求解.

【详解】

①证明：：E在4。边上（不与A.D重合），点F在OC边上（不与D.C重合）.

又・・•点E.F分别同时从A.D出发以相同的速度运动，

:・AE=DF,

•・•四边形4BCD是正方形，

・•・AB=DA^BAE=ZD=90,

在&BAE和MDF中，

AE=DE

•ZB4E=ZADF=90

AB=AD,

，△班E经ZkADRSAS）,

AZ1=Z2,

VN2+N3=90

・・・Nl+N3=90

即ZAGB=90

ZBGF=90,

NBGF是定值；正确.

②无法判断NGB/与NC8/的大小，BF平分NCBE：错误.

③当E运动到AD中点时，

点F运动到CD中点，

CF=-CD=a,

2

BF=4BC2+CF2=#）a,

GH==—BF=正确.

22

④"AE丝"。£

则S即功形GEDF=SABG，

当CAAGB=(V6+2)4时，

AG+GB=Aa,

(AG+G8)2=AG2+2AGGB+GB2=6a2,

AG2+BG2=AB2=4a\

2

:.2AGGB=2ay

11,

S=-AGGB=-a\

/A*RcoC22〉

S四边形GEDF=a?,故S四边形GEDF=7"a2,错误.

26

故选A.

【点睛】

考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解题的关键.

2.D

解析：D

【解析】

【分析】

当ACEB，为直角三角形时，有两种情况：

①当点夕落在矩形内部时，如图1所示.

连结AC,先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得NAB，E=NB=90。，而当ACEB，为

直角三角形时，只能得到NEB(=90。，所以点A、B\C共线，即NB沿AE折叠，使点B落

在对角线AC上的点夕处，贝ljEB=EB',AB=AB'=3,可计算出CB=2,设BE=x，则EB'=x,

CE=4-x,然后在RSCEB，中运用勾股定理可计算出X.

②当点B，落在AD边上时，如图2所示.此时ABEB，为正方形.

【详解】

当ACEB，为直角三角形时，有两种情况：

①当点B，落在矩形内部时，如图1所示.

连结AC,

B

图1

在R3ABC中，AB=3,BC=4,

・・・AC="2+32=5,

YNB沿AE折叠，使点B落在点上处，

工NAB'E=NB=90°,

当ACEB，为直角三角形时，只能得到NEBt=90。，

・••点A、B\C共线，即/B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点力处,

.,.EB=EB\AB=AB'=3,

/.CB/=5-3=2,

设BE=x,则EB'=x,CE=4-x,

在RtACEB'中，

VEB/2+CB/2=CE2,

3

/.X2+22=(4-X)2»解得x=一»

2

3

/.BE=-；

2

②当点&落在AD边上时，如图2所示.

此时ABEB，为正方形,

ABE=AB=3.

3

综上所述，BE的长为二或3.

2

故选D.

【点睛】

本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等.也考查了矩

形的性质以及勾股定理.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.

3.D

解析：D

【分析】

由题意知道AE=t,CF=2t,连接BD,证明aDEB经△DFC,得到EB=FC=2t,进而

AB=AE+EB=3t=5,进而求出t的值.

【详解】

解：连接DB,如下图所示，

:四边形ABCD为菱形，且/ADC=120。，

NCDB=60°

..•△CDB为等边三角形,ADB=DC

又〈△DEF为等边三角形，.,.ZEDF=60°,DE=DF

/.ZCDB=ZEDF

ZCDB-ZBDF=ZEDF-ZBDF

AZCDF=ZBDE

在4EDB和4FDC中：

DE=DF

./EDB=NFDC,工AEDB^AFDC(SAS)

DB=DC

AFC=BE=2t

AAB=AE+EB=t+2t=3t=5

5

At=-.

3

故答案为：D.

【点睛】

本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD后证明三角形全

等，本题是动点问题，将线段长用t的代数式表示，化动为静.

4.D

解析：D

【分析】

根据三角形中位线定理得到DEIIBC,FG=-BC,FG//BC,得到四

22

边形OEFG为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可.

【详解】

解：点E、O分别为A3、AC的中点，

..DE=-BCtDEHBC,

2

点尸、G分别是B。、CO的中点，

；.FGJBC.FGHBC.

2

..DE=FG,DE//FG,

二.四边形DEFG为平行四边形，

点E、尸分别为AB、OB的中点，

:.EF=-OA,EF//OA,

2

当EF=FG,即AO=BC时平行四边形OE尸G为菱形，

当40_LBC时，DE1OA,

EF//OA,

?.EF1FG,

二.四边形DEFG为正方形,

则当40=8。且AO_L8c时，四边形。EFG是正方形，

故选；D.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半是解题的关键.

5.D

解析：D

【分析】

易得第二个菱形的面积为（!）2,第三个菱形的面积为（!）4,依此类推，第n个菱形

22

的面积为（^）2足，把n=4代入即可.

2

【详解】

解：已知第一个菱形的面积为1；

则第二个菱形的面积为原来的（1）2,

第三个菱形的面积为（!）4,

依此类推，第n个菱形的面积为（；）2n-2,

当n=4时，

则第4个菱形的面积为（!）2如=（1）6=二.

2264

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在

中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变

化的.

6.D

解析：D

【分析】

先证明△APDgAAEB得出BE=PD,ZAPD=ZAEB,由等腰直角三角形的性质得出/APE

=NAEP=45。，得出NAPD=NAEB=135。，②正确；得出NPEB=/AEB-/AEP=90°,

EB±ED,①正确；作BF_LAE交AE延长线于点F,证出EF=BF=0,得出AF=AE+EF=

1+＞/2＞由勾股定理得出AB==J5+2点,得出S正方彩ABCD=AB2=

5+2V2»③正确；EP=J^AE=&,由勾股定理得出BP=+=瓜,④错

误；即可得出结论.

【详解】

解：VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

.\ZEAB=ZPAD,

AP=AE

在4APD和aAEB中，＜NPAD=NEAB,

AD=AB

.,.△APD^AAEB（SAS）,

/.BE=PD,ZAPD=ZAEB,

VAE=AP,ZEAP=90°,

.,.ZAPE=ZAEP=45°,

・・・NAPD=135°,

/.ZAEB=135°,②正确;

/.ZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

/.EB±ED,①正确；

作BF_LAE交AE延长线于点F,如图所示：

VZAEB=135°,

AZEFB=45°,

・・・EF=BF,

VBE=PD=2,

・・・EF=BF=&,

/.AF=AE+EF=1+V2»

AB=4AF2+BF2=7（1+V2）2+（V2）2=小5+20,

*,»S正方形ABCD=AB?=（《5+2应）2=5+2y/2»③正确；

EP=&AE=&,

BP=dBE?+E产=百+（丘丫=#，④错误；

故选：D.

D

C

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等腰宜角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角

形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关

键.

7.C

解析：C

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得NB3c3O=NB2c2O=NBCQ=60。，然后利用三角形全等

可得B2E2=E|E2=D]E尸E3c2,E2C2=E3E4=B3E4,解直角三角形求出OC|、GE、E]E2、

E2c2、C2E3、E3E4、E4C3,再求出B3c3,过点A3延长正方形的边交x轴于M,过点A3作

A3NJ_x轴于N,先求出A3M,再解直角三角形求出A3N、C3N,然后求出ON,再根据点

A3在第一象限写出坐标即可.

【详解】

懈，：2c//B3c3,

:.ZB3C3OZB2C2O=ZB|Cl0=60°,

•・•正方形A1B1GD]的边长为LBICI=CJDI,NBQD|=90。,

/.ZClBiO=ZDiCiE)=30°,

，BQ=GEi，OC!=DIEI，

同理可得B2E2=E1E2=D,E|=E3C2；E2C2=E3E4=B3E4；

..0cl=D,E,=ElE2=B2E2=C2E3=1X1=1

C1E\=—Dlcl=^~xl=~^~

EG=E3E4=B3E4=与T

.•.B3C3=2F4C3=2xl=l

o3

过点A.3延长正方形的边交工轴于.区过点43作AW_Lx轴于M

贝

IJAM=A3D2+

2,926

3+613+6

CM=-A,M=--x—=---

39218

fl63+>/3-\/3—1

.\C3N=E4M-C3M—xx92

33186

ON=OG+Gg+E]E?+E2C2+G4+砧4+GN

=肉3

，+直+L—雪旦L与

222626662

•・•点4在第一象限,

工点4的坐标是

故选C.

【点睛】

本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30。角的直角三角

形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得

ZBAC=ZDAE=90°,BC=6五,DE=叵AD，再根据三角形全等的判定定理与性质

可得BO=CE,从而可得△COE周长为3C+J5AD，然后根据垂线段最短可求出AD

的最小值，由此即可得.

【详解】

在A8C中，AB-AC-6,Z.B-45°,

ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BC=VAB2+AC2=672»

在七中，AO=A£ZADE=45°,

：.VADE是等腰直角三角形，ZDAE=90°,DE=ylAD2^AE2=yj2AD，

/BAD+ZCAD=ZCAE+NCAO=90°，

NBAD=NCAE,

AB=AC

在△4BQ和△4CE中，<N8AD=NCAE,

AD=AE

ABD^ACE（SAS）,

/.BD=CE,

•••CDE周长为CD+CE+DE=CD+BD+DE=BC+DE=6y（2+42AD，

则当AD取得最小值时，△CDE的周长最小，

由垂线段最短可知，当AO_L8C时，AD取得最小值，

「.AO是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一），

?.AD=^-BC=3>/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

2

CQE周长的最小值为6及+J5x3&=6五+6，

故选：B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定

定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键.

9.A

解析：A

【分析】

如图1,根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD,QA=QD,则根据“SSS”可判断

APQgDPQ,则可对甲进行判断；如图2,根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ

为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ,PD=AQ,则根据“SSS”可判断

△APQgZWQP,则可对乙进行判断.

【详解】

解：如图1,

,:PQ垂直平分AD,

，PA=PD,,QA=QD,

VPQ=PQ,

/.△APQ^ADPQ(SSS),所以甲正确;

如图2,・.・PD〃AQ,DQ〃AP,

・・・四边形APDQ为平行四达形，

APA=DQ/,PD=AQ,

PQ=QP,

.,.△APQ^ADQP(SSS),所以乙正确；

本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了

几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合

几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的

性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.

10.D

解析：D

【分析】

连结CE,并延长CE,交84的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质可证明

ANAE^^CFE,所以N£=CE,NA=CF,再由已知条件CD_L48于D,ZADE=50°,即可

求出N8的度数.

【详解】

解：连结CE,并延长CE,交函的延长线于点N,

•・•四边形4BCF是平行四边形,

：.AB//CF,AB=CF,

：.ZNAE=ZFf

•・•点£是的4F中点，

：.AE=FE,

在△岫£和aCFE中，

4NAE=4F

•AE=FE,

NAEN=NFEC

:•△NAE匕MCFE(ASA),

:・NE=CE,NA=CF,

*：AB=CF,

:・NA=AB,即8N=〃8,

\'BC=2AB,

,BC=BN,NN=NNCB,

•・・C0J_A8于0,即NA/DC=90°且NE=CE,

1

：.DE=—NC=NE,

2

，/N=NNDE=50°=NNCB,

・・・N8=80°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助

线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.

二、填空题

11.2亚+2

【分析】

由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=g"PD,得到QcEF=CE+CF+EF=CE+g>(CP+PD)

=—(CD+PC+PD)=yCACDP，当4CDP的周长最小时,Z\CEF的周长最小;即PC+PD的值

最小时，ACEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D',连接CD，交AB于P,进而分

析即可得到结论.

【详解】

解：TE为CD中点，F为CP中点，

I

AEF=—PD,

2

111

AC△cEF=CE+CF+EF=CE+y(CP+PD)=—(CD+PC+PD)=yCACDP

:.当ACDP的周长最小时，4CEF的周长最小;

即PC+PD的值最小时，4CEF的周长最小；

如图，作D关于AB的对称点T,连接CT,则PD=PT,

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

2

：•CT=yjcif+DT=A/42+42=4>/2，

VACDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

VPT+POCT,

・・・PT+PC>4夜，

・・・PT+PC的最小值为4正，

AAPDC的最小值为4+4应，

:.CACEF=~CACDP=25/2+2-

故答案为：2五+2.

【点睛】

本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴

对称解决最值问题.

12.—cni1

8

【分析】

根据正方形的性质可以证明△AE04CF0,就可以得出SnAEo=Sg：o，就可以求出AAOD面积

等于正方形面积的根据正方形的面积就可以求出结论.

【详解】

解：如图:

•・•正方形ABCD的对角线相交于点0,

AAAE0与ACFO关于0点成中心对称,

/.△AEO^CFO,

:.SziAEO=SaCF。，

SAAOD=SADEO+SACFO，

•・•对角线长为lcm,

1一12

，S正方形ABCD=1X1x1=彳cm，

22

._12

••SAAOD=T"cm,

8

・•・阴影部分的面积为Jcm?,

o

故答案为：-cm2.

o

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形

的面积公式的运用，在解答时证明△AEOgCFO是关键.

13.24

【分析】

由菱形的性质可得OD=OB,ZCOD=90%由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可

得OH='BD=OB,可得NOHB=/OBH,由余角的性质可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【详解】

【解答】解：•・•四边形4BCO是菱形，

：.OD=OB,ZCOD=90",ND43=NDCB=48°,

,：DHA.AB,

1

：.OH=-BD=OB,

2

：.NOHB=/OBH,

乂

:・NOBH=NODC,

在RtZXCOO中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtZXOHB中，ZDHO+ZOH5=90°,

/.ZDHO=ZDCO=-ZDCB=24°,

2

故答案为：24.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断

出0H是BD的一半，和NDHO=/DCO是解决本题的关键.

14.737

【分析】

如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,

DW,过点W作WK_LBC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求

DT+DW的最小值.

【详解】

解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接

TW,DW,过点W作WK_LBC交BC的延长线于K.

VAABC,ZXDEF都是等边三角形,BC=3DE=3,

ABC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60°,

ADE//TC.

VDE=BT=1,

，四边形DEBT是平行四边形，

.\BE=DT,

ABD+BE=BD+AD,

VB,W关于直线AC对称，

/.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

ZWCK=60°,

VWK1CK,

/.ZK=90°,ZCWK=30°,

13r-3J3

，CK=—CW=—，WK=j3CK=12^,

22、2

—311

.*.TK=l+3+—=一,

22

：.y\N=^TK2+WK2=1ly+苧=后，

：.DB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

/.BD+BE>737，

・・・BD+BE的最小值为相，

故答案为而.

【点睛】

本题考查轴对称•最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

is.3夜或3后

22

【分析】

根据点尸在直线5c上，点。在直线C。上，分两种情况：l.P、Q点位于线段上；2.P、Q

点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.

【详解】

解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时：

•・•四边形ABCD是矩形

APLPQ,

/.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

VAP=PQ

・•・ABP=PCQ

333

/.PC=AB=—，BP=BC-PC=3--=-

222

.*.AP=J（1）2+（-）2=|>/2

V222

当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时：

APA.PQ,

AZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

VAP=PQ

：.ABP=PCQ

，PC=AB=-，BP=BC+PC=3+-=-

222

・・・AP=J(3)2+(2)2=t加

V222

故答案为：;0或

22

【点睛】

此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题

的关键.

16.15.5

【分析】

先根据折叠的性质可得区=再根据垂直的定义、直角三角形的性

质可得NB=/BDE,又根据等腰三角形的性质可得BE=OE,从而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出=AF=C产=5,然后根据三角形中位线定理可得

EF=？BC=4.5,最后根据三角形的周长公式即可得.

2

【详解】

由折叠的性质得：AE=DE,NEAD=NEDA

AD是BC边上的高，即4O18C

NB+ZEAD=90°,ZBDE+4EDA=90°

/.ZB=Z.BDE

..BE=DE

DE=AE=BE=-AB=-x[2=6

22

同理可得：。尸=A/UC/MLACM'XIOMS

22

又AE=BE,AF=CF

点E是AB的中点，点F是AC的中点

•・.七”是ABC的中位线

.\EF=-BC=-x9=4.5

22

则OE/的周长为OE+O尸+M=6+5+4.5=15.5

故答案为：15.5.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知

识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE=DE是解题关键.

17.10+5逐

【分析】

取DE的中点N,连结。N、NG、0M.根据勾股定理可得NG=5右.在点M与G之间总

有MGWMO+ON+NG（如图1）,M、0、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）.可得

线段MG的最大值.

【详解】

如图1,取DE的中点N,连结ON、NG、OM.

1

/.0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

•・•正方形DGFE,N为DE中点，DE=10,

・••NG=^IDN2-^DG2=4\02+52=5>/5・

在点M与G之间总有MGWMO+ON+NG（如图1）,

如图2,由于NDNG的大小为定值，只要NDON=!NDNG,且M、N关于点0中心对称时,

2

\1、0、N、G四点共线，此时等号成立，

・••线段MG取最大值10+5^5.

故答案为：10+5逐.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、。、N、G四点

共线，则线段MG长度的最大是解题关键.

18.2或14

【分析】

利用当AB=10cm,AD=6cm,由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=NDAE,则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出讦长

【详解】

解：如图1,当AB=10cm,AD=6cm

VAE平分NBAD

AZBAE=ZDAE,

又・..AD〃CB

AZEAB=ZDEA,

AZDAE=ZAED,则AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

,/EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如图2,当AD=10cm,AB=6cm,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE

又・.・AD〃CB

AZEAB=ZDEA,

:.NDAE=NAED贝ijAD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案为：2或14.

图1图2

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行

四边形的不同可能性进行分类讨论.

19.6+66

【分析】

通过四边形ABCD是矩形以及CE=CB=BE,得到AFEM是等边三角形，根据含30。直

角三角形的性质以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，进而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性质及勾股定理得到BN.BE即可.

【详解】

解：如图，设NE交AD于点K,

丁四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZABC=90°,

/.ZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,:CE=CB=BE,

/.△BCE为等边三角形，

AZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

:.ZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

•••△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2,

VEN1BE,

AZNEM=ZNEB=90°,

AZNKA=ZMKE=30Q,

AKM=2EM=4,NK=2AN=6,

：•在内△KME中，KE=>JKM2-EM[2=26，

，NE=NK+KE=6+273>

VZABC=90°,

/.ZABE=30°,

，BN=2NE=12+4技

・••BE=JBN2-NE2=6+6>/3>

・・.BC=BE=6+65

故答案为：6+65/5

【点睛】

本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30。直角三角形的性质与勾股定理的应用,

解题的关键是灵活运用30。直角三角形的性质.

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可证ZkOEF丝△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,设EF=x,则BP=x、DF=5-x>BF=PC=3-x,进而可得出AF=2+x,在RSDAF中,利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的长.

【详解】

解：•・,将4CDP沿DP折叠，点C落在点E处，

/.DC=DE=5,CP=EP.

在AOEF和△OBP中，