2024-2025学年四川省成都市蓉城联盟高二上学期12月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点关于轴的对称点的坐标为，故选：C.2.若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因直线的方向向量为，则直线的斜率于是直线的方程为，即.故选:A.3.成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（）A.56 B.59 C.62 D.64.5【答案】B【解析】数据个数共有10个，且为从小到大排列，这组数据的第70百分位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59，故选:B.4.设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，，双曲线的方程为.故选：B.5.不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记4个白球为，2个红球为，从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有:，共种不同的取法，其中抽出2球均为白球有共种不同的取法，所以抽出的2个球均为白球的概率.故选：C.6.已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由圆，可得圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，由圆上至少有3个点到直线的距离为1，所以.故选：A.7.如图,在平行六面体中,,，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，.，.，异面直线与所成角的余弦值.故选：D.8.设为双曲线上的两点,线段的中点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设双曲线上的点，线段的中点为，则，则，且，两式相减，得，即，则直线斜率，直线的方程为：，由，消去，得，解得，.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，，则（）A. B.点到直线的距离为C. D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】BC【解析】A选项：，故A错误；B选项：取，点到直线的距离，故B正确；C选项：，故C正确；D选项：，设平面的法向量为，故，取，则，故D错误；故选:BC.10.已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A.若事件与事件互斥，则B.若事件与事件相互独立，则C.若事件发生时事件一定发生，则D.若，则事件与事件相互独立【答案】ABD【解析】对于A，事件与事件互斥，，故A正确；对于B，事件与事件相互独立，，，故B正确；对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误；对于D，因则事件与事件相互独立，故事件与事件相互独立，故D正确.故选:ABD.11.已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（）A. B.当时，C.的最小值为 D.的最大值为【答案】ACD【解析】A选项：为焦点三角形，，故A正确；B选项：根据椭圆和双曲线的定义，可得，，在中，由余弦定理，可得：，，整理得，，当时，，故B错误；C选项：，当且仅当，即时等号成立，故C正确；D选项：，故取，，当且仅当,即，此时时取到等号，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设一组数据的平均数为11，则的平均数为______.【答案】90【解析】因的平均数则的平均数为：.故答案为：90.13.过三点的圆的标准方程为______.【答案】【解析】设圆的方程为，代入三点，有解得故圆的方程为,故圆的标准方程为.故答案为：14.已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______.【答案】26【解析】离心率，，，又因为为等边三角形，设，过点作线段的垂线，的倾斜角为，直线的方程为，代入中，得，周长.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组40,50，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.解：（1）众数：75，第1至第6组的频率分别为，平均数：；（2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，总体平均数：，总体方差：.16.已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.解：（1）由圆，可得圆心，半径，点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，，此时，切线方程为，化简，得，切线方程为或；（2）为公共边，，，又当最小时，最小，由题意可知，当时，最小，此时，，，四边形面积的最小值为.17.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.（1）求第3次投篮者为乙的概率；（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.解：（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，根据题意可知，与互斥，；（2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：，事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，.18.在平行四边形中（如图1）,为的中点,将等边沿折起，连接，且（如图2）.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上,若点到平面的距离为,求平面与平面所成角的余弦值.解：（1）连接在中，，，在中，，同理可得：，平面（2）设为的中点，，平面平面，平面平面，又平面平面平面，平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，，，取，设直线与平面所成角为，（3）设，，，设点到平面的距离为，，，是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，设平面的法向量为，，.取，设平面与平面所成的角为，.19.一动圆与圆外切，与圆内切.（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；②设和的面积分别为和，求的最大值.解：（1）设动圆的半径为，动圆与圆外切，，又动圆与圆内切，且圆在圆内部，，，又，即，故动圆圆心的轨迹是一个椭圆，且故得，动圆圆心的轨迹的方程为；（2）①如图，设点，因则直线的方程为，代入椭圆中，得：，依题意，，解得：，同理可得：，，直线方程为，整理得：，直线恒过定点；②如图，根据①已得：直线恒过定点，且，即点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，故，，，设直线，代入椭圆中，得：，，，设则，在上单调递增，，，的最大值为3.四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点关于轴的对称点的坐标为，故选：C.2.若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因直线的方向向量为，则直线的斜率于是直线的方程为，即.故选:A.3.成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（）A.56 B.59 C.62 D.64.5【答案】B【解析】数据个数共有10个，且为从小到大排列，这组数据的第70百分位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59，故选:B.4.设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，，双曲线的方程为.故选：B.5.不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记4个白球为，2个红球为，从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有:，共种不同的取法，其中抽出2球均为白球有共种不同的取法，所以抽出的2个球均为白球的概率.故选：C.6.已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由圆，可得圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，由圆上至少有3个点到直线的距离为1，所以.故选：A.7.如图,在平行六面体中,,，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，.，.，异面直线与所成角的余弦值.故选：D.8.设为双曲线上的两点,线段的中点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设双曲线上的点，线段的中点为，则，则，且，两式相减，得，即，则直线斜率，直线的方程为：，由，消去，得，解得，.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，，则（）A. B.点到直线的距离为C. D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】BC【解析】A选项：，故A错误；B选项：取，点到直线的距离，故B正确；C选项：，故C正确；D选项：，设平面的法向量为，故，取，则，故D错误；故选:BC.10.已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A.若事件与事件互斥，则B.若事件与事件相互独立，则C.若事件发生时事件一定发生，则D.若，则事件与事件相互独立【答案】ABD【解析】对于A，事件与事件互斥，，故A正确；对于B，事件与事件相互独立，，，故B正确；对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误；对于D，因则事件与事件相互独立，故事件与事件相互独立，故D正确.故选:ABD.11.已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（）A. B.当时，C.的最小值为 D.的最大值为【答案】ACD【解析】A选项：为焦点三角形，，故A正确；B选项：根据椭圆和双曲线的定义，可得，，在中，由余弦定理，可得：，，整理得，，当时，，故B错误；C选项：，当且仅当，即时等号成立，故C正确；D选项：，故取，，当且仅当,即，此时时取到等号，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设一组数据的平均数为11，则的平均数为______.【答案】90【解析】因的平均数则的平均数为：.故答案为：90.13.过三点的圆的标准方程为______.【答案】【解析】设圆的方程为，代入三点，有解得故圆的方程为,故圆的标准方程为.故答案为：14.已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______.【答案】26【解析】离心率，，，又因为为等边三角形，设，过点作线段的垂线，的倾斜角为，直线的方程为，代入中，得，周长.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组40,50，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.解：（1）众数：75，第1至第6组的频率分别为，平均数：；（2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，总体平均数：，总体方差：.16.已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.解：（1）由圆，可得圆心，半径，点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，，此时，切线方程为，化简，得，切线方程为或；（2）为公共边，，，又当最小时，最小，由题意可知，当时，最小，此时，，，四边形面积的最小值为.17.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.（1）求第