2024-2025学年湖北省新八校协作体高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】因为，，与垂直，所以，解得，所以，所以.故选：C.2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，，因为长轴长是短轴长的两倍，所以，所以a=2，得.故选：D.3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（）A.至少有1名女生与全是女生 B.至少有1名女生与全是男生C.恰有1名女生与恰有2名女生 D.至少有1名女生与至多有1名男生【答案】C【解析】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误；恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.故选：C.4.已知一组数据，，，的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据，，，，的平均数和方差分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得，所以，则新数据平均数为，故A，B错误；且由题意，所以，则新数据方差，故C错误，D正确.故选：D.5.在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：，则，，，，所以，，所以，故与所成角的余弦值为.故选：B.6.过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】显然在椭圆内，当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，，此时不是线段的中点，所以直线的斜率存在，设，，则，两式相减并化简得，又，，代入得，解得，故选：D.7.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（）A B. C. D.【答案】A【解析】圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径为，如图：圆关于轴的对称圆为圆，连接，交轴于，交圆于，交圆于，此时，最小，最小值为，故选：A.8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.（1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则直线的方程为；（2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】平面的方程为，平面的一个法向量.根据，所以直线的方向向量可为：设直线与平面所成角为，则.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（）A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.38C.两人都没有命中的概率为0.6 D.至少有一人命中的概率为0.7【答案】AB【解析】记“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”，则，，两两独立.，，.对于选项A：“两人都命中”，，故A正确；对于选项B：“恰好有一人命中”，，故B正确；对于选项C：“两人都没有命中”，，故错误；对于选项D：“至少有一人命中”是“两人都没有命中”的对立事件，概率为，故D错误.故选：AB.10.设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有（）A.直线过定点 B.当最大时，C.当最小时， D.当最小时，其余弦值为【答案】ABC【解析】对于选项A，由动直线可得：，令可得，即直线过定点，即选项A正确；对于选项B，当取得最大值时，直线过圆心，则，得，选项B正确；对于选项C，当取得最小值时，直线与和的连线垂直，经过和的直线的斜率为1，故直线的斜率为，故，选项C正确；对于选项D，当最小时，最小，此时直线与和的连线垂直，则，由余弦定理可得，即选项D错误；故选：ABC.11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.若是棱的中点，则与平面平行C.若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为D.若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为【答案】ACD【解析】如图所示，“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.对于A选项，由图可知平面，A选项正确；对于B选项，根据正方体的几何性质，易知平面平面，而与平面相交，故与平面不平行，B选项错误；对于C选项，半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为4，在正方体中，平面，得，故，所以点的轨迹是以为圆心、2为半径的圆，又点在四边形的边界及其内部，所以点的轨迹是劣弧，所以点的轨迹长度为，故C正确；对于D选项，如图建立空间直角坐标系，则，，，设，则，所以，，，设平面的法向量为n=x,y,z，与平面所成角为，则，取，则，，由，可得，故D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为__________.【答案】【解析】由题意可得，，，则点A到直线的距离为.故答案为：.13.若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】如图，化简曲线得：，表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆.直线经过定点且斜率为，半圆与直线有两个交点，设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为，当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足，解之得，即，又因为直线的斜率，所以直线的斜率的范围为.故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】双曲线的方程为，一条渐近线方程为，设F1-c,0，可得若，则，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，，，在中，，即有，所以，即，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在轴上，且经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程.解：（1）设圆心的坐标为，由题意可得，解得，所以圆的半径为，因此，圆的标准方程为；（2）当时，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为，综上所述，直线的方程为或.16.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）过点，且与双曲线的离心率相等；（2）两顶点间的距离为8，渐近线方程为.解：（1）由题意可知：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，且，又双曲线的离心率为，则，得，故，所以双曲线的方程为.（2）由题意知，当双曲线的焦点在轴上时，则，可得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，则，可得，所以双曲线的方程为；综上所述：双曲线的方程为或.17.半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄；（2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；（3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.解：（1）设参与知识竞赛者的平均年龄为，则（岁）.（2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为：，，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则，所以.（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，，据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为.18.如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.（1）求证：平面；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）因为，的中点为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质可得平面；（2）取的中点为，连接，则，由图1直角梯形可知，为正方形，，，，，.由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则O0,0,0，，，，设，，设平面的法向量为n=x,y,z取，则.即平面的法向量为，由平面，取平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则，解得或（舍）.所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处.19.有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上某一点与点重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的轨迹记为曲线，以点，所在的直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线交于，两点.（i）当为何值时，为定值，并求出该定值；（ii）过，两点分别作曲线的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点在直线上，探究：此时直线是否过定点？若过，求出该定点；若不过，请说明理由.解：（1）由题意可知，，所以点的轨迹是以点，为焦点，长轴长为8的椭圆，题目中给出条件焦点在轴上，可得椭圆方程为.（2）设Ax1,（i）由消元得，，由，得，则，，，定值，即与无关，令，得，此时恒成立，且满足，，即当，且时，为定值，且定值为20.（ii）如图：设在点处的切线方程为，由消去，整理得，由，化简得，因为，所以，故在点处的切线方程为，整理可得，①同理可得，在点处的切线方程为，②设，将其代入①②，得，，所以直线的方程为，即，令，得，故直线过定点，且定点坐标为.湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】因为，，与垂直，所以，解得，所以，所以.故选：C.2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，，因为长轴长是短轴长的两倍，所以，所以a=2，得.故选：D.3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（）A.至少有1名女生与全是女生 B.至少有1名女生与全是男生C.恰有1名女生与恰有2名女生 D.至少有1名女生与至多有1名男生【答案】C【解析】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误；恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.故选：C.4.已知一组数据，，，的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据，，，，的平均数和方差分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得，所以，则新数据平均数为，故A，B错误；且由题意，所以，则新数据方差，故C错误，D正确.故选：D.5.在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：，则，，，，所以，，所以，故与所成角的余弦值为.故选：B.6.过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】显然在椭圆内，当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，，此时不是线段的中点，所以直线的斜率存在，设，，则，两式相减并化简得，又，，代入得，解得，故选：D.7.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（）A B. C. D.【答案】A【解析】圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径为，如图：圆关于轴的对称圆为圆，连接，交轴于，交圆于，交圆于，此时，最小，最小值为，故选：A.8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.（1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则直线的方程为；（2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】平面的方程为，平面的一个法向量.根据，所以直线的方向向量可为：设直线与平面所成角为，则.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（）A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.38C.两人都没有命中的概率为0.6 D.至少有一人命中的概率为0.7【答案】AB【解析】记“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”，则，，两两独立.，，.对于选项A：“两人都命中”，，故A正确；对于选项B：“恰好有一人命中”，，故B正确；对于选项C：“两人都没有命中”，，故错误；对于选项D：“至少有一人命中”是“两人都没有命中”的对立事件，概率为，故D错误.故选：AB.10.设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有（）A.直线过定点 B.当最大时，C.当最小时， D.当最小时，其余弦值为【答案】ABC【解析】对于选项A，由动直线可得：，令可得，即直线过定点，即选项A正确；对于选项B，当取得最大值时，直线过圆心，则，得，选项B正确；对于选项C，当取得最小值时，直线与和的连线垂直，经过和的直线的斜率为1，故直线的斜率为，故，选项C正确；对于选项D，当最小时，最小，此时直线与和的连线垂直，则，由余弦定理可得，即选项D错误；故选：ABC.11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.若是棱的中点，则与平面平行C.若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为D.若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为【答案】ACD【解析】如图所示，“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.对于A选项，由图可知平面，A选项正确；对于B选项，根据正方体的几何性质，易知平面平面，而与平面相交，故与平面不平行，B选项错误；对于C选项，半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为4，在正方体中，平面，得，故，所以点的轨迹是以为圆心、2为半径的圆，又点在四边形的边界及其内部，所以点的轨迹是劣弧，所以点的轨迹长度为，故C正确；对于D选项，如图建立空间直角坐标系，则，，，设，则，所以，，，设平面的法向量为n=x,y,z，与平面所成角为，则，取，则，，由，可得，故D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为__________.【答案】【解析】由题意可得，，，则点A到直线的距离为.故答案为：.13.若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】如图，化简曲线得：，表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆.直线经过定点且斜率为，半圆与直线有两个交点，设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为，当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足，解之得，即，又因为直线的斜率，所以直线的斜率的范围为.故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】双曲线的方程为，一条渐近线方程为，设F1-c,0，可得若，则，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，，，在中，，即有，所以，即，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在轴上，且经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程.解：（1）设圆心的坐标为，由题意可得，解得，所以圆的半径为，因此，圆的标准方程为；（2）当时，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为，综上所述，直线的方程为或.16.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）过点，且与双曲线的离心率相等；（2）两顶点间的距离为8，渐近线方程为.解：（1）由题意可知：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，且，又双曲线的离心率为，则，得，故，所以双曲线的方程为.（2）由题意知，当双曲线的焦点在轴上时，则，可得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，则，可得，所以双曲线的方程为；综上所述：双曲线的方程为或.17.半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄；（2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；（3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.解：（1）设参与知识竞赛者的平均年龄为，则（岁）.（2）由题意