2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过两点的直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】因为直线经过，所以经过该两点的直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D2.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【答案】B【解析】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为，圆：即圆：的圆心，半径分别为，所以两圆的圆心距满足，所以两圆的位置关系为相交.故选：B.3.在平行六面体中，为的中点，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可作出平行六面体，如图，则，即，故A正确.故选：A.4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】由题意可知双曲线，则焦点坐标，渐近线方程为，不妨取焦点，渐近线，所以焦点到渐近线的距离为，故B正确.故选：B.5.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以.故A正确.故选：A.6.把正方形纸片沿对角线折成直二面角，为的中点，为的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，连接,则,过点作,垂足为，连接.因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，又平面,则.设正方形的边长为4，则,在中，由余弦定理可得：,在中，,又,设,在中，由余弦定理：.故选：C.7.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A选项，，所以A选项错误.B选项，，所以B选项错误C选项，，所以C选项错误.D选项，，所以D选项正确.故选：D8.设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点.若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示，

由题意可知，点为椭圆的左焦点，因为点、，易知点为线段的中点，又因为为的中点，所以，取线段的中点，连接，则，所以，则，所以，设点、，则点，所以，两个等式作差可得，可得，所以，因为椭圆离心率为，得，所以，即，故B正确.故选：B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.直线在轴上的截距是B.直线恒过定点C.点关于直线对称的点为D.过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误；对于B项，由可得：，因，则有：，故直线恒过定点，故B项正确；对于C项，不妨设,直线，因直线的斜率为与直线的斜率为1的乘积为，则得,又由点到直线距离为与点到直线的距离为相等，且在直线的两侧，故点关于直线对称的点为，即C项正确；对于D项，因过点且在轴､轴上的截距相等的直线还有，故D项错误.故选：BC.10.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（）A. B.C. D.数列共有84项【答案】ACD【解析】1到500这500个数中能被2除余1的数有：1，3，5，7……499，1到500这500个数中能被3除余1的数有：1，4，7……499，由题意现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成首项为1，末项为499，公差为6的等差数列，所以，所以，，，数列共有84项.故选：ACD.11.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（）A.抛物线的准线方程为B.的最小值为5C.当时，则抛物线在点处的切线方程为D.过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16【答案】ABD【解析】对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确；对于B，如图所示：过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点，所以，等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确；对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为，联立抛物线方程得，所以，解得，所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误；对于D，由题意，所以，所以直线，即，联立抛物线方程得，所以，，故D正确.故选：ABD.12.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因为，即．令，则有，则，令，则，令，可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，所以总有，故单调递减；所以，即；对于A，，故A错误；对于B，设，则，故在上单调递增，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C，，即．设，则，则，所以单调递增．因为，所以，故C正确；对于D，，即，令，则，因为，所以为偶函数，所以即为．则，令，则，所以单调递增．又，所以当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，当时，，故D错误；故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________．【答案】【解析】由，得.故答案为：14.已知正项等比数列，，且，，成等差数列，则_______．【答案】【解析】设数列的公比为，由题意知，，成等差数，则，即，解得或（舍），所以数列的通项公式为，则.故答案为：.15.若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可）【答案】（写出符合条件的一个方程即可）【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为：，由消去y得：，则，化简得，由，消去y得：，则，化简得，由，解得，则，所以直线方程为：，故答案为：（写出符合条件的一个方程即可）16.已知函数有两个零点，求的取值范围______.【答案】【解析】由求导可得：当时，，在上单调递增，所以至多有一个零点．当时，由可得：，由可得：，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，取得最小值，．令，，则，所以，在上单调递减．又，所以要使，即，则．又因，所以在上有一个零点．又令，，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以．所以在上也有一个零点．综上所述，a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数的极值.解：（1），∵在点处的切线平行于直线，∴，∴；（2）由（1）可得，令得或，列表如下：3+00+↗极大值↘极小值↗∴极大值为，极小值为.18.已知的三个顶点，，．（1）求边上中线所在直线的方程；（2）已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．解：（1）由题意中点，所以所在直线的斜率，所以所在直线的方程为，即边中线所在直线的方程；（2）因为，，所以，，所以直线的方程为，即，设点到直线的距离，则由题意，所以点到直线距离，则点所在直线方程为或，因为，，所以，线段中点坐标为，所以线段的中垂线为，即，所以联立或，所以点的坐标为：或.19.已知数列的首项，且满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求正整数的最大值.解：（1）易知各项均为正，对两边同时取倒数得，即，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，所以，显然单调递增，且，所以的最大值为4046.20.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,平面平面,是边长为2的正三角形,，，.（1）若平面，求的值；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）分别取中点，连接，由已知底面是直角梯形，，，，易得，∵平面平面，平面平面，面，∴平面，又因为平面，所以，以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，∵，∴，显然是平面的一个法向量，若平面，则，即；（2）若，则，由（1），所以，所以，设分别为平面与平面的一个法向量，所以或，令，解得，则，设平面与平面的夹角为，故，即平面与平面的夹角的余弦值为.21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）当，证明：.解：（1）定义域为，则，①当时，，在上单调递增；②当时，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，综上，①当时，在上单调递增，②当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可得，当时，要证，只需证，即证恒成立.令，则恒成立，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴的最大值为，所以，所以恒成立，∴原命题得证.，即：当时，.22.已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，求证：中点为定点．解：（1）因为椭圆过点，离心率为，所以，解得，所以，椭圆的方程为.（2）显然直线斜率存在，设方程为，，联立方程得，，由直线方程为，直线方程为，得，.中点为定点．浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过两点的直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】因为直线经过，所以经过该两点的直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D2.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【答案】B【解析】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为，圆：即圆：的圆心，半径分别为，所以两圆的圆心距满足，所以两圆的位置关系为相交.故选：B.3.在平行六面体中，为的中点，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可作出平行六面体，如图，则，即，故A正确.故选：A.4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】由题意可知双曲线，则焦点坐标，渐近线方程为，不妨取焦点，渐近线，所以焦点到渐近线的距离为，故B正确.故选：B.5.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以.故A正确.故选：A.6.把正方形纸片沿对角线折成直二面角，为的中点，为的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，连接,则,过点作,垂足为，连接.因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，又平面,则.设正方形的边长为4，则,在中，由余弦定理可得：,在中，,又,设,在中，由余弦定理：.故选：C.7.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A选项，，所以A选项错误.B选项，，所以B选项错误C选项，，所以C选项错误.D选项，，所以D选项正确.故选：D8.设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点.若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示，

由题意可知，点为椭圆的左焦点，因为点、，易知点为线段的中点，又因为为的中点，所以，取线段的中点，连接，则，所以，则，所以，设点、，则点，所以，两个等式作差可得，可得，所以，因为椭圆离心率为，得，所以，即，故B正确.故选：B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.直线在轴上的截距是B.直线恒过定点C.点关于直线对称的点为D.过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误；对于B项，由可得：，因，则有：，故直线恒过定点，故B项正确；对于C项，不妨设,直线，因直线的斜率为与直线的斜率为1的乘积为，则得,又由点到直线距离为与点到直线的距离为相等，且在直线的两侧，故点关于直线对称的点为，即C项正确；对于D项，因过点且在轴､轴上的截距相等的直线还有，故D项错误.故选：BC.10.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（）A. B.C. D.数列共有84项【答案】ACD【解析】1到500这500个数中能被2除余1的数有：1，3，5，7……499，1到500这500个数中能被3除余1的数有：1，4，7……499，由题意现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成首项为1，末项为499，公差为6的等差数列，所以，所以，，，数列共有84项.故选：ACD.11.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（）A.抛物线的准线方程为B.的最小值为5C.当时，则抛物线在点处的切线方程为D.过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16【答案】ABD【解析】对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确；对于B，如图所示：过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点，所以，等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确；对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为，联立抛物线方程得，所以，解得，所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误；对于D，由题意，所以，所以直线，即，联立抛物线方程得，所以，，故D正确.故选：ABD.12.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因为，即．令，则有，则，令，则，令，可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，所以总有，故单调递减；所以，即；对于A，，故A错误；对于B，设，则，故在上单调递增，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C，，即．设，则，则，所以单调递增．因为，所以，故C正确；对于D，，即，令，则，因为，所以为偶函数，所以即为．则，令，则，所以单调递增．又，所以当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，当时，，故D错误；故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________．【答案】【解析】由，得.故答案为：14.已知正项等比数列，，且，，成等差数列，则_______．【答案】【解析】设数列的公比为，由题意知，，成等差数，则，即，解得或（舍），所以数列的通项公式为，则.故答案为：.15.若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可）【答案】（写出符合条件的一个方程即可）【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为：，由消去y得：，则，化简得，由，消去y得：，则，化简得，由，解得，则，所以直线方程为：，故答案为：（写出符合条件的一个方程即可）16.已知函数有两个零点，求的取值范围______.【答案】【解析】由求导可得：当时，，在上单调递增，所以至多有一个零点．当时，由可得：，由可得：，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，取得最小值，．令，，则，所以，在上单调递减．又，所以要使，即，则．又因，所以在上有一个零点．又令，，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以．所以在上也有一个零点．综上所述，a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数的极值.解：（1），∵在点处的切线平行于直线，∴，∴；（2）由（1）可得，令得或，列表如下：3+00+↗极大值↘极小值↗∴极大值为，极小值为.18.已知的三个顶点，，．（1）求边上中线所在直线的方程；（2）已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．解：（1）由题意中点，所以所在直线的斜率，所以所在直线的方程为，即边中线所在直线的方程；（2）因为，，所以，，所以直线的方程为，即，设点到直线的距离，则由题意，所以点到直线