《同角三角函数关系》教学设计

2/2《同角三角函数关系》教学设计数学设计一、复习引入情境1：介绍蝴蝶效应（TheButterflyEffect），让学生感受事物之间的相互联系，引入本节课：既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数之间一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这是本节课我们要探究和学习的.设计意图：引起学生学习的兴趣，拉近师生间的距离，同时渗透数学文化，落实素质教育目标.情境2：上节课我们学习了三角函数的定义，请同学们回答三角函数的定义是什么？什么是三角函数线？学生回答问题，教师将三角函数定义、三角函数线的意义写在黑板上.设计意图：复习回顾，加强新旧知识的联系.情境3：请同学们填写下表，并回答问题：提出问题：（1）你发现了什么规律？（2）你能用代数式表示这个规律吗？（3）你能用语言叙述这个规律吗？（4）你能证明吗？教师引导学生发现同角三角函数的规律，提出问题串，层层设疑.教学中引导学生联系勾股定理，启发思考三角函数线之间的关系，即从定义分析平方关系.引导学生结合正切线利用相似三角形的性质对商数关系作出解释，凸显了数形结合思想的作用.设计意图：新课标强调要注重培养学生的观察、思考、探索、推理的能力本部分通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示，并给出证明这一重要的数学探素过程.本环节通过蝴蝶效应感受事物之间的联系，通过三角函数的定义，从理论角度发现、论证同角三角函数关系，通过特殊角的三角函数值，从具体数据的角度归纳总结出同角三角函数的关系.二、建构新知1.平方关系.方法一：如图.设角的终边与单位圆交于P点（如图），则点P坐标为，由PO长为1，得.方法二：由三角函数的定义得，，即.此处介绍的读法并特别注意写法：.关系式变形：.说明：一是使用前提是“角相同”，如就不一定成立.二是对任意一个角（在使得函数有意义的前提下），关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如都成立.2.商数关系.由三角函数的定义得，故，即.关系式变形；.设计意图：帮助学生形成知识链，并使学生认识到事物之间是相互联系的，培养辩证唯物主义观点.三、数学应用学生理解了同角三角函数的关系后，给出应用.例1、已知，且是第二象限角，求的值.分析此题是知道正弦函数值，求余弦函数值和正切函数值，利用同角三角函数关系很容易求得.但是要注意解题规范.解因为，所以，又因为是第二象限角，所以.于是，从而.设计意图：三角函数求值问题是同角三角函数关系的一个重要应用，学习同角三角函数关系式的一个重要意义就是应用，所以设计此题教会学生应用同角三角函数关系求值.变式训练1已知，求的值.答案因为，且，所以是第二或第三象限角.如果是第二象限角，那么；如果是第三象限角，那么.教师要引导学生比较例1和变式所给已知条件的相异之处，变式中根据题设条件只能得出角的终边在第二或第三象限，启发学生思考仅有是不能确定角的终边所在的象限的，这时需要分类讨论，此外，它还可能在x轴的负半轴上（这时）.在已知角的一个三角函数值，但是不知角的终边所在的象限的时候，应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限，分类讨论所有的情况，得出所有的解.通过例题和变式加深对三角函数“知一求二”的理解，用多媒体课件展示严格、规范的解题步骤.设计意图：建构题组教学，对比例题、变式，使学生明确求值时，优先考虑角的范围是三角函数解题的基本策略，自然突破了本节的难点.另一方面，强化了学生分类讨论的意识.小结：（1）同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在三个值中，知道其中一个可以求其余两个解题时要注意角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的正负.（2）利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解.例2、已知，求的值.解由，得，又，所以.解得.又由，知是第一或第三象限角.若是第一象限角，则；若是第三象限角，则.学生思考，尝试去完成，教师引导教师观察学生的解全班讲评.设计意图：让学生学会应用同角三角函数基本关系式和关系式变形式进行化简熟练掌握同角三角面数关系式，培养学生的探究精神和应用意识.例3、化简，其中是第二象限角.解因为是第二象限角，所以，于是.设计意图：巩固利用基本关系式进行化简，熟练掌握基本关系式的应用.小结：三角函数式的化简技巧：①化切为弦，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的.变式训练2化简：.答案原式.小结：（1）关于的齐次式，可以通过分子分母同除以或转化为关于的式子后再求值.（2）假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由代换后，再同除以，构造出关于的代数式.例4、求证：.证法1因为，所以.证法2因为，又，所以.这是一道很有训练价值的经典例题，教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出，证明一个三角恒等式的方法有很多.证明一个等式，可以从它的任何一边开始证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立.设计意图：让学生学会应用基本关系式、基本关系式的变形式证明等式，熟练掌握同角三角函数关系式，学会等式的证明方法培养学生的应用意识和一题多解思想.变式训练；求证：.答案右边左边，原等式成立.学生独立完成，教师巡视并投影学生的规范过程，注重分析学生的思路.设计意图：巩固并检查学生对等式证明、基本关系式应用的掌握情况小结：证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：（1）证明一边等于另一边，一般是由繁到简.（2）证明左、右两边等于同一个式子（左、右归一）.（3）比较法：即证左边右边或（右边）.（4）证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.例5、已知，且.求：（1）的值；（2）求的值.解（1），，，即.（2），又，且，，，.设计意图：利用同角三角函数关系式变形求值是三角函数求值问题中的一个考点，此题旨在让学生学会利用变形式和完全平方式求值.变式训练：已知，则_________.答案，即.又，则，故，可得.小结：已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及的等价转化，分析解决问题的突破口.四、小结反思先让学生自己总结，教师在学生总结的基础上再进行概括.提出问题：（1）这节课你学到了哪些基本关系式，它们是怎么得来的？主要的应用有哪些方面？（2）这节课你了解了哪些数学思想方法？梳理知识：（1）同角三角函数的基本关系式.①平方关系：.②商数关系：.（2）同角三角函数基本关系式的变形.①的变形式：.=2\*GB3②的变形式：.设计意图：通过小结使本节知识系统化，让学生深刻理解基本关系式在解题中的地位和作用，培养学生认真总结的学习习惯，使学生在知识、能力和情感三个维度得到提高.五、布置作业，课后完成1.必做题：教材第175页练习第1~6题.2.选做题：