高考椭圆大题专题分类

word专业资料-可复制编辑-欢迎下载高考椭圆大题专题分类一、求椭圆的方程以及面积1．已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，右焦点为(2eq\r(2)，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解析(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4).因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1.解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3eq\r(2).此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－3－2＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以△PAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,2).2．(2013·烟台一模)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)上两点，已知m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,b)，\f(y1,a)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,b)，\f(y2,a)))，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解析(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2).∴a＝2，c＝eq\r(3).∴椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)①当直线AB的斜率不存在，即x1＝x2时，y1＝－y2，由m·n＝0得xeq\o\al(2,1)－eq\f(yeq\o\al(2,1),4)＝0，∴yeq\o\al(2,1)＝4xeq\o\al(2,1).又A(x1，y1)在椭圆上，∴xeq\o\al(2,1)＋eq\f(4xeq\o\al(2,1),4)＝1，∴|x1|＝eq\f(\r(2),2)，|y1|＝eq\r(2)，△AOB的面积S＝eq\f(1,2)|x1||y1－y2|＝eq\f(1,2)|x1|·2|y1|＝1.②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b(其中b≠0)，代入eq\f(y2,4)＋x2＝1，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)，x1＋x2＝eq\f(－2kb,k2＋4)，x1x2＝eq\f(b2－4,k2＋4)，由已知m·n＝0得x1x2＋eq\f(y1y2,4)＝0，∴x1x2＋eq\f(（kx1＋b）（kx2＋b）,4)＝0，代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中，满足题意，∴△AOB的面积S＝eq\f(1,2)·eq\f(|b|,\r(1＋k2))|AB|＝eq\f(1,2)|b|·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(|b|\r(4k2－4b2＋16),k2＋4)＝eq\f(\r(4b2),2|b|)＝1.∴△AOB的面积为定值13、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(eq\r(3),2).双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程。 解析因为椭圆的离心率为eq\f(eq\r(3),2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(eq\r(3),2)，c2＝eq\f(3,4)a2，c2＝eq\f(3,4)a2＝a2－b2，所以b2＝eq\f(1,4)a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得eq\f(x2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1，即eq\f(x2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝eq\f(5x2,4b2)＝1，所以x2＝eq\f(4,5)b2，x＝±eq\f(2,eq\r(5))b，y2＝eq\f(4,5)b2，y＝±eq\f(2,eq\r(5))b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,eq\r(5))b，eq\f(2,eq\r(5))b))，所以四边形的面积为4×eq\f(2,eq\r(5))b×eq\f(2,eq\r(5))b＝eq\f(16,5)b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1.二、求动点的轨迹方程1．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝eq\f(4,5)|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线被C所截线段的长度．解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xP＝x，,yP＝\f(5,4)y，))∵P在圆上，∴x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)y))2＝25，即C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线方程为y＝eq\f(4,5)(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2).∴线段AB的长度为|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(16,25)))x1－x22)＝eq\r(\f(41,25)×41)＝eq\f(41,5).三、求椭圆的焦距以及方程1．设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2eq\r(3).(1)求椭圆C的焦距；(2)如果eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求椭圆C的方程．解(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离eq\r(3)c＝2eq\r(3)，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(y＝eq\r(3)x－2，,eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1))消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b4＝0.解得y1＝eq\f(－eq\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq\f(－eq\r(3)b22－2a,3a2＋b2).因为eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以－y1＝2y2，即eq\f(eq\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)＝2·eq\f(－eq\r(3)b22－2a,3a2＋b2)，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.四、求椭圆方程及定点在椭圆上1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(eq\r(3),2)，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．(1)解由题意知，b＝eq\f(2,eq\r(2))＝eq\r(2).因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(eq\r(3),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(c,a)))2)＝eq\f(1,2).所以a＝2eq\r(2).所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)证明由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝eq\f(y0－1,x0)x＋1， ①直线QN的方程为y＝eq\f(y0－2,－x0)x＋2. ②法一联立①②解得x＝eq\f(x0,2y0－3)，y＝eq\f(3y0－4,2y0－3)，即Teq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x0,2y0－3)，eq\f(3y0－4,2y0－3))).由eq\f(xeq\o\al(2,0),8)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝8－4yeq\o\al(2,0).因为eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x0,2y0－3)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3y0－4,2y0－3)))2＝eq\f(xeq\o\al(2,0)＋43y0－42,82y0－32)＝eq\f(8－4yeq\o\al(2,0)＋43y0－42,82y0－32)＝eq\f(32yeq\o\al(2,0)－96y0＋72,82y0－32)＝eq\f(82y0－32,82y0－32)＝1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．法二设T(x，y)，联立①②解得x0＝eq\f(x,2y－3)，y0＝eq\f(3y－4,2y－3).因为eq\f(xeq\o\al(2,0),8)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，所以eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x,2y－3)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3y－4,2y－3)))2＝1.整理得eq\f(x2,8)＋eq\f(3y－42,2)＝(2y－3)2，所以eq\f(x2,8)＋eq\f(9y2,2)－12y＋8＝4y2－12y＋9，即eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．五、求椭圆的离心率及椭圆与直线的关系1．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．解(1)如图，设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝eq\f(c,2).结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,5)eq\r(5).在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝eq\f(1,2