小港高中数学(四)第3章机率与统计

第三章机率与统计

|3-1样本空间与事件|

13-2机率的性质

L章黠皤硝魂

机率.机率一事件的元素值I数

,“率一檬本空的元素彳固数°

机率的性质：

尸（A）+P（A'）=1。

P（Au8）=P（A）+P（B）_尸（An8）。

P（AuBuC）

=P（A）+P（B）+P（0-[P（AnB）+P（Ar>O+P（BnQ]+P（Ac8cC）。

广范例]

甲、乙二人玩剪刀、石头、布的猜拳游戏，试求：

其样本空间U及n（U）不分胜负的事件。

解：令（a,匕）表a是甲出的拳，匕是乙出的拳，贝U

U=｛（剪刀,剪刀），（剪刀,石头），（剪刀，布），（石头，剪刀），（石头,石头），

（石头，布），（布，剪刀），（布，石头）,（布,布）｝，

n[U｝=9o

不分胜负的事件为｛（剪刀，剪刀），（石头,石头），（布，布）｝。

p范例2；

甲、乙两人各掷一均匀骰子，约定如下：乙得6点时乙就赢；两人同点时（非6

点），甲赢；其余情形，则以点数多者为赢。则甲赢的机率为o【87自】

解：令样本空间U={(a,b)|a是甲掷出的点数，8是乙掷出的点数},

则”(t/)=6x6=36,其中，甲赢的情形有：

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(3,1),(3,2),(3,3),(2,1),(2,2),(1,1),

705

共有5+5+4+3+2+1=20种n甲赢的机率为---=—。

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。1

p范例3--------------------------------------------------------------------

一副扑克牌52张，拿走J,Q,K花色大牌12张，剩下40张(1点到10点)四种

花样各10张，设机会均等，今从40张中任取5张，求下列机率：

同点数两张，另外同点数3张，其机率为与。

C5

5张点数和为8的机率为乌。

解：从40张中取出5张的方法共有种，而从40张中取出两张同点数的方法

有10x0；种，再取出另外3张同点数的方法有9X。?，由乘法原理得共有

10xCfx9xC；=2160种，故所求的机率为巴舁。

5张点数和为8的有下列情形：

(1,1,1,1,4)有G4=4种；(1,1,1,2,3)有《G4G4=64种;

(1,1,2,2,2)有《心=24种；共有4+64+24=92种，故所求的机率为

p范例4-----------------------------------------------------

将5个数字1,2,3,4,5全取排成一列作成一个五位数，则此五位数

能被2整除的机率是能被3整除的机率是

能被4整除的机率是能被15整除的机率是

大于45000的机率是0

解：能被2整除。个位数字是偶数，故能被2整除的有2x4!个，

所以21=2为所求。

5!5

能被3整除=数字和是3的倍数，

因1+2+3+4+5=15是3的倍数，故所求之机率为高■二葭

能被4整除的有：□□□12,□□□24,□□□32,00052,

故共有4x3!个，所以生生=,为所求。

5!5

能被15整除的有：口口口口5：4!个，所以为所求。

大于45000的有：5□□□口:4!=24个，45口□口:3!=6个,

故所求之机率为空心

5!4

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。3

p范例5--------------------------------------------------------------

有5个指定席及知道自己位置番号的5个人今这5个人任意地坐此5个指定席

则：5个人都坐在自己的位置的机率为o

5个人中恰有3人坐在自己位置的机率为o

5个人中恰有2人坐在自己位置的机率为o

5个人中恰有1人坐在自己位置的机率为0

5个人都不坐在自己位置的机率为。

解：5个人分别坐在5个坐位的方法有5!,

5个人分别坐在自己位置有1种方法，故所求的机率为工=」一。

5!120

41

5个人中恰有3人坐在自己位置的方法有或种，故所求的机率为二=。

5!12

5个人中恰有2人坐在自己位置的方法有

on1

C，X(3!YX2!+C：X1!YX0!)=20种,故所求机率为d=上。

5!6

5个人中恰有1人坐在自己位置的方法有

C；x(4!-C；x3!+C；x2!-l!+C：xO!)=45种，

故所求机率为至=a。

5!8

5个人都不坐在自己位置的方法有

5!—C；x4!+6^x3!—2!+C；xl!-C：xO!=44种，

故所求机率为WtO

5!30

p范例6-------------------------------------------------

设A,8为二事件，且P(A)=0.5,尸⑻=0.8,P(AcB)=0.4,试求

P(AuB)P(AnB)p(AnB)0

解：P(AuB)=P(A)+P(B)-P(Ac8)=0.5+0.8-0.4=0.9。

P(AnB)=P(A)-P(AcB)=0.5-0.4=0.1o

p(AnB)=P(AuB)=l-P(AuB)=l-0.9=0.1o

p范例7----------------------------------------------------------------------------------

设A,6为互斥事件，且知P(A)=0.2,P⑻=0.3,则「Qu豆)+P(Nc万)=?

A,B为互斥事件，P(AnB)=0.3,P(Nc后)=0.5,则P(A)=?P(B)=?

解：因A,8是互斥事件，所以尸(Ac8)=0。

P(AD豆)=P(AcB)=1-P(Ac8)=1,

P(Nc5)=P(AuB)=1—P(Au8)=1—尸(A)-P(B)+P(AnB)

=1-0.2-0.3+0=0.5,

故P(Zu5)+P(Zc")=1.5o

因A,B是互斥事件，所以AcB=0,所以P(ZcB)=P(8),故P(B)=0.3,

P(Ar^B)=P(AUB)=1-P(AU6)=1-P(A)—P(B)+P(ACB)

=1-P(A)-0.3+0=0.7-P(A),

故P(A)=0.7—0.5=0.2。

p范例8-------------------------------------------------------------------------------------

某一工厂生产灯泡，12个装成一盒。工厂品质检验的方法是从每盒中任取4个来

检查，如有两个或两个以上的灯泡是坏的，则整盒淘汰。若某一盒有5个坏灯泡，

则这一盒会被淘汰的机率是(A)”(B)—(C)—(D)—(E)—o

3355995533

【82社】

解：这一盒不被淘汰=取出4个都是好灯泡取出的是3好1坏的灯泡，

因此不被淘汰的灯泡有C；+。；。；=210种，

故这一盒会被淘汰的机率为1-芈=1-旦=及。

3333

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。5

p范例9--------------------------------------------------------------------

掷一均匀骰子三次，设三次中至少出现一次6点的事件为A,三次中至少出现一

次5点的事件为8,则A,8至少有一事件发生的机率为。

解：〃(/1)="(8)=63—53=91,

中

AnB中(5,6,口)有4x3!=24个，(5,5,6),(6,6,5)有2x—=6个,

所以n(Ac8)=24+6=30。

91913019

故所求机率为P(Au6)=P(A)+P(B)-P(AcB)=--1-----=--

63636327

广范例10

掷一骰子，若点数出现的机率与点数成比例，求出现的点数是偶数的机率。

解：因点数出现的机率与点数成比例，故假设出现1点的机率为p,

则出现2点、3点、4点、5点、6点的机率依次为2P,3p,4P,5p,6p,

但p+2p+3p+4P+5p+6P=1,所以",

而出现偶数2,4,6的事件为互斥事件,

故出现偶数的机率为另+言

少精选类题?

投掷•颗均匀的六面骰子（即1,2,3,4,5,6点出现的机会相等）五次，则恰出现

一次1点，二次偶数点的机率为o【85夜社】答：—

5!23X33X5

提示:（1,偶，偶，奇，奇）有1x3x3x2x2x=23x33x5=所求:

2!2!

设?表示丢2个公正硬币时•，恰好出现1个正面的机率P2表示掷2个均匀骰子，

恰好出现1个偶数点的机率，尸3表示丢4个公正硬币时，恰好出现2个正面的机

率。试问下列选项何者为真？

(A)P1=P2=P3(B)P|=B>P3(C)P1=P3<P2

【推甄】答：（B）

(D)PI=P3>P2(E)P3>P2>P1O89

4!

+-213x3x212!213

提H小：Pn\=,.=—,nPl=———=—,nP3=

2x226x628

同时掷三粒骰子，点数和为15的机率为答：---

108

一次掷两个公正骰子，则出现最大点数为4之机率为

同时掷出三粒均匀骰子一次，设A表出现点数和为12点的事件，B表至少有一粒

4点之事件，C表恰有一粒为1点之事件，则：

7S9125

P（A）=?尸（团=?P（C）=?答：

~T2

掷三个公正的骰子一次，试求：

三个点数均相异的机率三个点数的积是5的倍数的机率

917

三个点数成等差的机率。答：-

921?~36

从一副52张的扑克牌中抽出两张，已知每张被抽出之机会均等，

求两张字码不同的机率？

164

求两张字码不同但花色相同的机率？答：1777

从一副扑克牌52张中任取5张，

恰成富而毫斯（人，〃力。〃se）（即同点数的二张，另外同点数的三张）之机率为

恰成两对⑺丫。pairs,如AA33K）之机率为。答：坐-

41654165

©心不冈—⑺（cFxdxcacrxcf）

0

袋中有七个相同的球，分别标示1号、2号、……、7号。若自袋中随机取出四个

球（取出后不再放回），则取出之球上的标号和为奇数的机率为0

【86社】答：—

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。7

-----------------------------------------------------------------------------------»

某班有50位同学，其中男生有30位，女生20位。某次导师要抽5位同学留下打

扫环境，依性别按人数比例作分层抽样，则班上的男同学张志明被抽中的机率是

。【89社】答：—

------10

提示：因为男生：女生=3:2,故抽出的5位同学是3个男生，2个女生，而张志明被抽中

的情形共有种，故所求之机率为耳卷=考注X4个1=4-。

22C3°C202x130x29x2810

一盒中有10个球，球上印有号码1至U10；今由盒中取4球，则4球之号码中第二

大数目是7的机率为一。【84社】答：A

提示:

「10

c4

已知编号1,2,……,10的十盏路灯中，有三盏是故障的，则编号4与编号5都是故

障的机率为o【85社】答：A

示：4。

ClV

3

从记有1至9之号码之9张卡片当中任意取出2张，试求：

二个数目差为偶数的机率为。

二个数目之积为偶数的机率为。答：自卫

------918

自1,2,3,4,……，18,19等19个数中，任意取相异三点，则

此三数的和为3的倍数的机率为o

此三数能构成“等差数列”的机率为o

此三数能构成“等比数列”的机率为。答：坨——

323323969

六封写好的信，任意放入六个写好收信人及地址的信封内，且一封信仅放入一信

封内，则恰有二封信放对信封之机率为o答：4-

四对夫妇共舞，以抽签方式决定舞伴，结果每一夫皆不以其妻为舞伴的机率为

甲、乙、丙、丁、戊、己等六人交换礼物，每人各提供一件礼物集中放在一起，

然后再抽签决定每人应得的礼物。若每人提供之礼物均不相同，求恰有一人抽到

11

自己提供之礼物的机率。答:

30

A,8,。,，旦厂六人的名片各一张混在一起，再随意发给此6人，每人一张，则:

恰有2人得到自己名片之机率为o

每人皆不得到自己名片之机率为。答：»

16144

设事件A发生的机率为工，事件8发生的机率为工。若以〃表事件A或事件8

23

发生的机率，则p值的范围为何？

(A)pW；(C)I<p<<(E)p>-|-o

66332266

【87推甄】答：(D)

提示：p=P(AuB)=P(A)+P(B)-P(Ar>B)=—~P(AcB),

6

K0<P(/4nB)<—(因尸(4c8)WP(A)且P(Ac8)4尸(3))=^>—<p<—»

326

321

设A,8为二事件，且P(AuB)=—,P(A')=—,P(AcB)=—,如I：

434

21

P(B)=P(A-B)=oj—

2

提示：P(3)=P(4UB)+P(AC8)-P(A)=§。

P(A-B)=P(A)一尸(AcB)号一十=5。

设A,A为互斥事件,若P(A)=0.2,P(B)=0.4,则

P(Z)=,尸(Ac与)=o答：0.8；0.2

投掷一骰子，若点数出现的机率和该点数成正比，又设A={x|x是偶数},

8={x|x是质数,C={x|x是奇数},则:

220

P(AnB)=出现是偶数或质数之机率为。答:

2?~2l

»%、2464.23510

提示:P(A)=---1----1---=—,P(Bx)=----1---+——=

212121721212121

4102_20

所以P(4D8)=P(A)+P(B)-P(ACB)=y+—-

一袋中，有红球2个，白球4个，青球5个。今从袋中任意取出3球，则

取出之3个球中，至少有2个是青球的机率是o

取出之3个球是同色球的机率是。答：H

---------33165

设A,8为二事件，若P(Au6)=0.8,P(AnB)=0.2,P(AnB)=0.4,试求尸(4)

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。9

与P(8)。答：0.6；0.4

投掷微子，假设点数出现的机率与该点数成比例。若P(〃)表示出现〃点的机率，

A表出现奇数点的事件，B表出现质数点的事件，则

尸(3)=P(AuB)=P(A-B)=o

111J_

072121

掷一均匀骰子三次，设三次中至少出现一次3点的事件为A,三次中至少出现一次

5点的事件为B,试求：

519

P(AcB)=P(AuB)=o答：——

丢一粒均匀骰子3次，设出现之点数依次为x,y,z,

求满足x+y+zW6的机率。求满足(x-y)(y-z)=0的机率。

求满足xV的机率。—

543627

袋中有三个白球(编号1〜3),五个红球(编号1〜5),六个黑球(编号1〜6),今由

袋中取出两球，若机会均等，求下列各情形的机率：

同色同号不同色不同号O

3-3期望值

产营钻晡礴空

如果做一实验有人种可能结果，各种结果的报酬分别为四，加2,…，桃，而得到这

些报酬的机率分别为修，P2,…，P*(其中P|+P2+…+P*=1)，则此实验的期望

值为

m=〃2[Pi+m2P2+・•・+尸&。

P范例]------------------------------------------------

掷一均匀硬币三次，若每出现一个正面得5元，一个反面赔2元，则所得总额之

期望值为元。【85推甄】

解：掷硬币3次:

出现情形3正2正1反1正2反3反

得款15元沅1元一6元

13_2

檄率

~8~8~8~8

1331

=＞其期望值为15x—+8x—+lx，+(—6)x—=4.5(兀)。

广范例2.

袋子里有3个球，2个球上标1元，1个球上标5元。从袋中任取2个球，即可

得到两个球所标钱数的总和，则此玩法所得钱数的期望值是元。【88推甄】

得款2元6元

解：因檄态_LQxC；

故其期望值为2X'+6X2="(元)。

333

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p范例3--------------------------------------------------------------------

某市为了筹措经费而发行彩券。该市决定每张彩券的售价为10元；且每发行一

百万张彩券，即附有台百万元奖1张，拾万元奖9张，台万元奖90张，壹仟元

奖900张。假设某次彩券共发行参百万张。试问当你购买一张彩券时，你预期会

损失元。【88社:】

得款11。6元1()5元104元10玩

财解・,械率3x13x93x903x900

3xl063xl063xl063xl06

n购买一张彩券的期望值为

106x-—+10§x"9+104x冬半=3.7（元）

3xl063xl063xl063X106-

因为一张彩券的售价为10元，故会损失10-3.7=6.3（元）。

「范例4-

设一袋中装有1个1号球，2个2号球，…，〃个”号球，…，25个25号球，

1<«<250现自袋中任取一球，设每一个球被取到的机会都相等，而取得〃号球

可得（100-n）元则取到19号球的机率为,而任取一球的期望值为元。

【80社】

解：袋中共有1+2+3+4+...+25=-5-(25x26)=325个球,

今从袋中取出一球，因”球有19个’故取到19号球的机率为瑞

任取--球的期望值为

12325

99x——+98x——+97x——+...+75x——

325325325325

12512525

——x£(100—6女=——x{ioo£k—£女2}

325自325M区

125x2625x26x51、

RX{100X---------------------------}=83(兀)。

6

p范例5------------------------------------------------------------------------

根据统计，台湾地区的青年从18岁活到19岁的机率为0.996,今一位18岁的青

年向某保险公司投保为期一年的寿险，保险额为1万元，保险费是100元，求保

险公司获利的期望值。

解：若此人活到19岁，则保险公司赚了100元，其机率为0.996；

若死了，则保险公司要亏9900元，其机率为0.004；

故公司获利的期望值为100x0.996-9900X0.004=60（元）。

广范例6三

数人赌博，其中一人做庄，不作庄的先交给庄家3元，得到掷1个公正铜板1次

的权利，规定：掷得正面时，庄家赔5元；掷得反面时，庄家不赔。

不作庄的人的期望值是，故此种玩法。（填公平、不公平）

若要玩法公平，当得反面时，庄家应赔元。

解：£=5x—+0x—=2.5<3故不公平。

22

设得反面时，赔x元，则5X'+XXL=3,

22

所以x=l,即得反面时，庄家应赔1元。

少精选类题?

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。13

同时掷2粒均匀的骰子，试求其点数和的期望值。答：7

袋中有7个球，其中3个是红球。今自袋中任取4球，则取得“红球个数”的期

望值为。答：—

7

厂3c4厂314z~>3x"«4

提示：1X4^+2X£^+3X*-。

cjc}c]

将1到5的各数字分别记在5张卡片上，在A,8两箱各放入一组5张卡片，试求

从A,8箱各取一张卡片时，二数和的期望值。答：6

c1c2,3「4/5r4。3c2sl

提示:2X---F3x---F4x---F5X---F6X---F7x----F8x----F9x---FlOx=6ro

252525252525252525

掷3个硬币，出现3正面可得12元，2正面可得8元，一正面可得4元，为了公

平起见，出现三反面时应赔多少元？答：48元

一次投掷三个均匀铜板，若出现三个正面，可得8元，二个正面，可得3元，一

正面可得1元，为使此游戏公平，当不出现正面，应付元。答：20

假设一个高二学生再活一年的机率为0.9999c某高二学生一学年缴平安保险费60

元，若在此学年内不幸意外死亡，由保险公司付给家长20万元，则此保险公司的

期望利润为元。答：40

依照已往经验，在台湾的25岁年青人，活到26岁的机率为0.992,若某一保险公

司出售一年10000元的寿险给25岁年青人，只需缴保险费10元，试求该公司可

获得期望利润若干？答：-70元

袋中有1号签1支，2号签2支，3号签3支，…，〃号签〃支，今任抽一支，若

抽得「号签可得「元，问由袋中任抽一支之期望值为多少元？答：死史元

3

提示：袋中共有1+2+3+…+〃="(”+>支签,

2

21

故其期望值为1x+2x2-2++〃X2"=…=2n+](元

n(n+l)n(n+\)〃(〃+1)3

袋中有几号球1个，(〃-1)号球2个，(〃-2)号球3个，…，2号球(〃-1)个，1号

球〃个，在机会均等的情况下由袋中任取一球，若取得上号球可得左元，求其期

望值。答:立2元

3

〃一1+1〃+2

提示:Zkx

1+2+3+…+〃3

设袋中有1号球70个，2号球69个，…，70号球1个。今自袋中任取一球，若

取得r号球，可得(71-r)元，则得钱之期望值为元。答：47

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。15

|3一4统计抽帛

|3-5次数分羸套

产道黠嘛枢密,

抽样调查：如何选取一种好的取样方法是统计上很重要的工作，常用的抽样方法有

简单随机抽样法、系统抽样法、部落抽样法、分层抽样法等等。

p范例］------------------------------

试解释下列名词：母体(母群体)样本抽样。

解：母体：研究的所有对象所成的集合称为母体。

样本：从母体中抽出的部分分子所成的集合，就是样本。

抽样：从母体中抽出部分分子做调查，这种方式就称为抽样。

某班50位同学依照座号列出身高如下：单位：公分随机号码表

1758148927746033

11402160315241425169618271688156915010162

6430880304784157

4893885717171533

11170121541315014160151711617817145181481916320171

1516273373268674

4950317157563036

21159221572314324170251622615627155281482916030150

0549677593606639

利用随机号码表的第9,10两行，由第一列开始找出五位1018702775693838

1602070822019729

同学的身高，并求其平均值为o

解：自第9,10行选出的二位数为27,04,17,(73),(57),(93),(75),22,15

我们选出之五位同学，其座号及身高如下表：

415172227

142171145157155

142+171+145+157+155

其平均值为=154(公分)。

5

厂范例3《系统抽样》-------------------------------------------

某班有57位学生，将每一位学生编一号码，由1至57止，要抽测五位同学，按

系统抽样法，可以利用随机号码表将多出的2位舍去；也可以由1至57随

机抽出一个号码，若为45,则被抽中的五位学生号码是o

解：57=11x5+2n女=11

将1至57号排成一环形如右图，

从45号起，每隔11位选一个号码,

即45,56,10,21,32为所求。

p范例4《分层抽样》-----------------------------

成绩人数

某年级数学科成绩统计如右：

80以上150

如右表分三层，用分层随机抽样得到十个成绩为54,47,58,

60-79200

76,62,72,70,82,85,91,则该年级平均成绩为_____。

60以下150

解：成绩人数抽样成绩抽样成绩平均值

第一层80以上150=M82,85,9186=月

76,62,72,70

第二层60〜79200=N270=%

第三层60以下150=M54,47,5853=为

N=Ni+C+N3=150+200+150=500

—82+85+91—76+62+72+70_7n-54+47-出=53,

y\=50,乃=一70，X=3

34

•••该年缨平均誉为

_N1F+N2正+_150x86+200x70+150x53

N500

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。17

广范例5《部落抽样》

本班30位学生数学成绩如下:

号码123456789101112131415

数学成绩506060804030607070552035908070

号码161718192021222324252627282930

数学成绩100100

60404030504030208090908060

依号码1〜10,11〜20,21〜30分成三组，以21〜30的平均成绩代表本班的数

学成绩，其平均分数为，又此法为抽样。

解：A[100+50+40+30+20+80+90+90+80+60]=64（分）。

部落抽样。

广范例6’

二年一班50位同学在某次的数学测验成绩如下:

6473436158819474547688913849526378

7787735266716374568284773972576870

80609086635061794751637679818975

试作其次数分配表，及累积次数分配表，并说明制作过程。

试将次数分配表以直方图表之。

试作出次数折线图与相对次数折线图。

试作出累积次数分配曲线图及相对累积次数分配曲线。

解：决定组数：将全部资料分为12组。

决定组距：因为“=4.7,所以取组距为5。

12

决定组界：因为最小一组的下界W38,所以我们定最小一组的下界为35,

上界为40。

归类画记：在归类画记时，我们采用“每组不含上界的规定”。

计算次数：算出各组的画记数，并填入表中，而完成了下列的次数分配表。

组别画记次数以下累积次数以上累积次数

35〜40II2250

40〜4511348

45-50II2547

50〜55眼51045

55-60III31340

60〜65网III82137

65-70II22329

70〜75MII73027

75〜80IHlIII83820

80〜85IHl54312

85〜90Illi4477

90〜95III3503

计50

其直方图为:

35404550556()65707580859()95

分数

因为

组别次数相对次数(％)以下相对累积次数(％)以上相对累积次数(％)

4

35〜4024100

2

40-451696

4

45〜5021094

10

50-5552090

6

55〜6032680

16

60-6584274

错误！使用“开始”选项卡将檄题1应用于要在此处显示的文字。19

4

65-70246