2025年春八年级数学沪科版教学课件：17.2.1 配方法

17.2

一元二次方程的解法第17章一元二次方程17.2.1

配方法1.

如果x2=a，那么

x叫做

a的

.复习引入平方根2.

如果x2=a(a≥0)，那么

x=

.3.

如果

x2=64，那么

x=

.±84.

任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.

问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设盒子的棱长为

xdm，则一个正方体盒子的表面积为6x2dm2．由此可列方程10×6x2=1500，即

x2=25．开平方得

x=±5，即

x1=5，x2=－5．∵棱长不能为负值，∴盒子的棱长为5dm．直接开平方法试一试：

解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.解：根据平方根的意义，得

x1=2，x2=-2.解：移项，得

x2=-1．∵负数没有平方根，∴原方程无解.解：根据平方根的意义，得

x1=x2=0.(2)当

p=0时，方程(I)有两个相等的实数根

x1

=x2=0；(3)当

p<0时，因为任何实数

x，都有

x2≥0，所以方程(I)无实数根.探究归纳一般的，对于可化为x2=p(I)的方程，

(1)当

p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根

x1

=

，x2

=

；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳例1

利用直接开平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)

x2

-

900=0.解：直接开平方，得解：移项，得x2=900.直接开平方，得x=±

30，∴x1=30，x2=-30.典例精析在解方程

x2=25时，由直接开平方法得

x=±5.由此想到，由

(x+3)2=5，

①得对照上面方法，你认为怎样解方程

(x+3)2=5？探究交流于是，方程

(x+3)2=5的两个根为上面的解法中，由方程①得到②，实质上是把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.解题归纳例2

解下列方程：(1)解得

x1

=

3，x2

=

-1.解：移项，得∵

x

-

1

是

4

的平方根，∴

x

-

1

=

±2.解得x1

=

，x2

=.(2)解：移项，得两边都除以

12，得∵

3

-

2x

是

0.25

的平方根，∴

3

-

2x

=

±0.5，即

3

-

2x

=

0.5

或

3

-

2x

=

-0.5.1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有

x2=p或(x＋n)2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流问题1你还记得完全平方公式吗？填一填：(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究交流配方法问题2填上适当的数或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2

-

x+=(x-)2你发现了什么规律？222323424

二次项系数为

1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结配方的方法想一想：x2+px+()2=(x+)2.

探究交流解方程：x2+6x+4=0.(1)问题1

方程

(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？x2+6x+4=0x2+6x=-4移项x2+6x+9=-4+9两边都加上

9二次项系数为

1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方用配方法解方程方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为

1的一般式前提下进行的.问题2

为什么在方程

x2+6x=-4的两边加上

9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式

x2+2mx+m2的形式.一元二次方程配方的方法：要点归纳

像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法解一元二次方程的定义配方法解一元二次方程的基本思路

把一元二次方程化为(x+n)2=p的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．要点归纳配方法解一元二次方程的基本步骤一移常数项；二配方[配上

]；三写成(x+n)2=p(p≥0)；四直接开平方法解方程.例3

解下列方程：解：移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，(x－4)2=15.由此可得即配方，得由此可得二次项系数化为

1，得解：移项，得2x2－3x=－1.即移项和二次项系数化为

1这两个步骤能不能交换呢?配方，得∵实数的平方不会是负数，∴x取任何实数时，上式都不成立．∴原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为

1，得为什么方程两边都加

12？即例4试用配方法说明：不论

k取何实数，多项式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k-

2)2＋1.∵(k-

2)2≥0，∴(k-

2)2＋1≥1.∴k2－4k＋5的值必定大于零.1.方程2x2-3m-

x+m2+2=0有一根为

x=0，则

m的值为（）A.1B.2C.1或

2D.1

或

-22.利用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.练一练C解：(1)

2x2-4x+

5=2(x-1)2+3，当

x=1时有最小值3.(2)

-3x2+5x+1=-3(x-)2+，当

x=时有最大值

.归纳总结配方法的应用类别解题策略1.求最值或证代数式的值恒正（或负）将关于

x

的二次多项式通过配方成

a(x+m)2+n的形式后，由于

(x+m)2≥0，故当

a＞0时，可得其最小值为

n；当

a＜0时，可得其最大值为

n.2.完全平方式中的配方如：已知

x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负式的和的形式对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配成多个完全平方式的和为0，再根据非负式的和为0，则各式均为0求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，即

a2＋(b－2)2=0，则a=0，b=2.C.解方程

4(x

-

1)2

=

9，得

4(x

-

1)

=±3，x1

=，x2

=D.解方程

(2x

+

3)2

=

25，得

2x

+

3

=±5，x1

=1,x2

=

-4

1.下列解方程的过程中，正确的是（

）A.解方程

x2

=

-2，得

x

=±B.解方程

(x

-

2)2

=

4，得

x

-

2

=

2，x

=

4

D(1)方程

x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2-

81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2=4.

x1＝0.5，x2＝-0.5x1＝3，x2＝-3x1＝2，x2＝-12.填空：x1＝9，x2＝-9.x1＝5，x2＝-5.x1＝1，x2＝-3.4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2

-

6x

-

3=0；

（4）3x2

+6x

-

9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-

4x

-

12

=

0，(x-

2)2=16.x1=6，x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3，x2=1.5.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？

解：设道路的宽为

xm，根据题意得(35-

x)(26

-

x)=850.整理，得

x2

-61x+60=0.解得x1=60(不合题意，舍去)，x2=1.答：道路的宽为1m.6.若

，