数学-吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二上学期期末考试试题和答案

n234．过点M(2,1)的直线l与椭圆x2+y2=1相交于A,B两点，且M恰为线段AB的斜率为()A．B．-C．D．-5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d．若a16．已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上一动点，点Q为圆C：(x+2)2+(y-4)2=1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d．若PQ+d的最小值为3．则p=()7．已知数列{an}满足an=3n-1，在an，an+1之间插入2n-1个1，构成数列{，ⅆ,则数列{bn}的前100项的和为()22为()B．CB方向上的单位向量是(0,,)B．CB方向上的单位向量是(0,,)22EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(uu),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(uu),A)5EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(y),b)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(2),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(3),4)近线相切．P为C右支上的动点，过点P作双曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则以下结论中正确的有()A．两渐近线夹角为30°B．C的离心率e=24的是()n12．已知圆C:(x-2)2+y2=1，直线l过点P(3,2)且与圆C相切，则直线l的方程为.F（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长.EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(ìanü),l2nþ)ADⅡBC，AB丄BC，E为PD的中点.（2）已知AD=4，BC=2，AB=1，斜线PB和平面ABCD所成的角的正切值为2，求平面ACE和平面PCD的夹角的余弦值.n2nn2nEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(ì),l)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(ü),þ)记N的轨迹为曲线C.（1）求N的轨迹方程C；（2）P为不在x轴上的动点，过点P作（1）中曲线C的两条切线，切点为A，B；直线ABPQQR(ⅱ)求PQQR-33-33EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(r),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(r),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(r),b)【详解】显然M(2,1)在椭圆+=1内，当直线l的斜率不存在，即直线l方程为x=2时，可不是线段AB的中点，所以直线lB2,-32,不是线段AB的中点，所以直线l=1=1ì=1=1EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(8),2)ïx2+(y1yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),x)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(y),x)-)y2)S20202022F(p,0)，准线方程为x=-p，则由抛物线的定义知点P到y轴的距离为d=PF222PQ+d=PQ+PF-p，由图知，当C,Q,P,F共线，且P,Q在线段CF上时，PQ+PF最短，2此时PQ+PF-p2=CF-r-p22此时PQ+PF-p2=CF-r-p222Fy=x，则直线l的方程为：y=(x-c)，即FF2三边相切的切点分别为A(x0,0),B,C则PF1-PF2=PC+CF1-(PB+BF2)=AF1-AF2=(x0+aa223EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(uu),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(ur),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(uuur),CB)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(uu),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(ur),C),故A正确；,故A正确；CB,CB,CBEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(uu),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(ur),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(uu),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(ur),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(uu),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(ur),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(uu),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(ur),C)BC.BC.AC222+15,故D正确.5【详解】因为圆(x-1)2+y2=与C的渐近线相切，所以圆心到渐近线bx-y=0的距离等y=±3x，所以两渐近线的倾斜角为60°和120°,则渐近线夹角为60°,则A错误；0000EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),0)0000EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),0)222AB=PA+PB-2PAPBcos60=PA+PB-PAPB≥2PAPB-PAPB=PAPB=4,22222nn-1n-1nnn2S4024当n=2k时，a2k-a2k-2=4×32k-3，a2k-2-a2k-4=4×32k-5，ⅆⅆ,a4-a2=4×3，以上式子相加2ka2k-1-a2k-3=4×32k-4，a2k-3-a2k-5=4×32k-6，ⅆⅆ,a3-a1=4×30，以上式子相加得：2k-1n-1n-1，D正确.n232k-2-132k-2-132k-2+1 n-1n233【详解】圆C:(x-2)2+y2=1的圆心和半径分别为C(2,0)，r=1当直线l无斜率时，此时：l:y=x-，综上可得l:y=x-和l:x=3nn-1， 2PF22222解得í2（2）由题意可得直线l的方程为y=x-1，ìy=x-1与椭圆方程联立íïx2y2，得7x2-8x-8=0，——2分ìy=x-1x2故MN=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2——2分n+1EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(ìanü),l2nþ)所以an=n.2n-1.——2分2+…+n.2n-1，则23所以-S=1+21+…+2n-1-n.2n=1-2n-n.2n=(1-n)2n-1，——3分1-2所以Sn=(n-1)2n+1.——2分在Rt△PAD中，E为PD的中点，则E又因为PA∩PC=P，PAÌ平面ACP，PCÌ平面ACP，——2分（2）由题意可知：PA丄平面ABCD，所以AB是斜线PB在平面ABCD上的射影，即上PBA为PB和平面ABCD所成的角，又因为AB丄AD，故AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(uu),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(ur),E)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(uu),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(ur),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(uu),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(ur),D)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(uu),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(ur),D)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(uu),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(ur),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(uu),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(ur),C)1设平面PCD的法向量为EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(uur),n2)=(x2,y2,z2)，EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(0),0)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up4(ì),l)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(y),x)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(2),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(2z),2y)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(2),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(0),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(uur),n2)所以平面ACE和平面PCD的夹角的余弦值为.——1分nn，∴当n≥2时，2Sn-1=nan-1，n2n22n,,n22n2cnn22n2cnEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up6(2),n)nn45:x0=2x,y0=2y，又QyEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),0)=8x0，..:代入得y2=4x．故点N的轨迹方程是y2=4x(x≠0)——3分．（2ⅰ）证明：设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，)y0x0所以直线AB的方程yy0=2(x-2)，恒过R(2,0)；——1分 (x-2)ïlyy0ïlyy0EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up8(2),0)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up8(2),0)分EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up14(2),2)220-,2EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\