概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分教学内容

第六章弯曲变形材料力学§6–1概述§6–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§6–3用积分法求梁的挠度与转角§6–4按叠加原理求梁的挠度与转角§6–5梁的刚度校核第六章弯曲变形§6–6简单超静定梁的求解方法§6－１概述弯曲变形齿轮传动轴的弯曲变形弯曲变形轧钢机（或压延机）的弯曲变形1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，用w表示。规定：w

（＋），w

(－）。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用

表示。规定：

（＋），

(－）。

一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xy平面内的光滑曲线，该三、转角与挠度的关系：弯曲变形二、梁变形的两个基本位移量小变形Pxwq曲线称为挠曲线，w=f(x)——挠曲线方程。q

§6-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。弯曲变形小变形xM>0xM<0对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求转角方程、挠曲线方程1.微分方程的积分弯曲变形式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。PABCPD2.边界条件和连续性条件弯曲变形边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。讨论题：指出下列梁的边界条件。q

qL连续性条件:挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。ABAB

边界条件：

连续性条件：（图a）（图b）弯曲变形对上述梁：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。弯曲变形挠曲线近似微分方程④优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程；缺点：计算较繁。例1求下列各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。

建立坐标系并写出弯矩方程

写出挠曲线微分方程并积分

确定积分常数弯曲变形题一、解：PLx当时，，求得：§6–3用积分法求梁的挠度与转角

写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状

最大转角及最大挠度（绝对值最大）弯曲变形xPL（）（）题二、解：

建立坐标系并写出弯矩方程

写出挠曲线微分方程并积分弯曲变形xyPLa

确定积分常数弯曲变形xyPLa边界条件连续性条件当时，

写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状

最大挠度及最大转角弯曲变形PLaxy弯曲变形例2求图示梁自由端的转角和挠度。

解：

建立坐标系并写出弯矩方程

AB段

AB段

写出挠曲线微分方程并积分BC段弯曲变形BC段

确定积分常数边界条件：连续性条件：

当时，求得求得在处，弯曲变形

写出AB段的转角方程和挠曲线方程自由端的转角、挠度为（）（）§6-4按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：弯曲变形例3按叠加原理求A点转角和C点

挠度。解、

载荷分解如图

由梁的简单载荷变形表(表6.1)查简单载荷引起的变形。弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa

叠加

例4结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+弯曲变形PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价PL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCM§6-5梁的刚度校核一、梁的刚度条件三类刚度计算问题：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；

、确定许可载荷。弯曲变形或指定截面的挠度、转角不超过某一规定数值。PL=400mmP2=2kNACa=0.2m200mmDP1=1kNB例5一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆材料的E=210GPa，工程规定C点的[w]=0.0001L,B点的[

]=0.001弧度,试对C截面的转角和挠度进行刚度校核。。=++=弯曲变形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：

查表求简单载荷变形。弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAM

叠加求C截面的转角和挠度

校核刚度弯曲变形该杆满足刚度要求。§6-6简单超静定梁的求解方法处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求出全部未知力。解：

建立静定基和相当系统

判断超静定次数，解除多余约束并在该处加上相应的多余约束力，得到原超静定结构的相当系统。弯曲变形qLABqLRBABxLAB静定基相当系统

几何方程——变形协调方程+弯曲变形qLRBAB=RBABqAB

物理方程——变形与力的关系

补充方程

求解其它问题（反力、应力、变形等）LqMABA对上述超静定梁选择其它形式的静定基几何方程——变形协调方程：LqBALMABA物理方程：补充方程求得（）弯曲变形+=

几何方程——变形协调方程：解：

建立静定基例6结构如图，求拉杆的内力。L1弯曲变形qLABCqLRBA