江苏省南通市高三上学期第一次调研测试数学试题

南通市2018届高三第一次调研测试数学Ⅰ一、选择题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，.若，则实数的值为_________.【答案】1【解析】因为，所以2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________.【答案】【解析】，所以复数的实部为3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为，，.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取_________名学生.【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取名学生4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________.【答案】10【解析】执行循环得结束循环，输出5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作个社团中随机选择个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】【解析】从个社团中随机选择个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为6.若实数满足则的最大值为________.【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线过点A(4,3)时z取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.在平面直角坐标系中，已知点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为________.【答案】【解析】,双曲线的渐近线为，距离为8.在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值为_________.【答案】【解析】由得9.在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_________.【答案】【解析】函数的图像向右平移个单位得，因为过坐标原点，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.10.若曲线在与处的切线互相垂直，则正数的值为_________.【答案】【解析】因为，所以.................................11.如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为，则12.如图，已知矩形的边长，.点，分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A坐标原点，AB,AD所在直线为x,y轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点向圆引两条切线，，切点分别为，.设线段的中点为，则线段长的最大值为_________.【答案】【解析】由射影定理得设因为，所以所以因此线段长的最大值为点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14.已知函数.若函数有个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】令当时有两个零点，需当时有三个零点，，所以函数有5个零点，舍；当时，由于所以，且，所以综上实数的取值范围是点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在三棱锥中，，，是的中点.点在棱上，点是的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得，再由已知，以及线面垂直判定定理得平面.最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在中，是的中点，是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）在中，，是的中点，所以，又因为，平面，平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面.16.在中，角，，所对的边分别是，，，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得.再根据正弦定理得（2）根据同角三角函数平方关系得，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在中，根据余弦定理及得，.又因为，所以.在中，由正弦定理得，.（2）因为，所以，即得.又，所以.在中，，所以.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两条准线之间的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是的面积的倍，求直线的方程.【答案】（1）（2），【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为，联立离心率条件解得，，.（2）由面积关系得M为AB中点，由直线AB点斜式方程与椭圆方程联立解得B坐标，由中点坐标公式得M坐标，代入圆方程解得直线AB斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为，由题意得，，解得，，所以.所以椭圆的方程为.（2）方法一：因为，所以，所以点为的中点.因为椭圆的方程为，所以.设，则.所以①，②，由①②得，解得，（舍去）.把代入①，得，所以，因此，直线的方程为即，.方法二：因为，所以，所以点为的中点.设直线的方程为.由得，所以，解得，所以，，代入得，化简得，即，解得，所以，直线的方程为即，.18.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的条直道，，将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）（1）若经过圆心，求点到的距离；（2）设，.①试用表示的长度；②当为何值时，绿化区域面积之和最大.【答案】（1）（2）①最小值为②当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB方程与圆方程解得P点纵坐标，即得点到的距离；（2）①先求点到的距离为，再根据三角形相似得的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为，由得.所以，点到的距离为.（2）①由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所以，的长度为，.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为，区域Ⅱ的面积为，所以.设，则，..当且仅当，即时“”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.答：当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19.已知函数有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式；（2）当时，若函数的最小值为，证明：.【答案】（1），（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得关于的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式试题解析：（1）因为，令，解得.列表如下.极小值所以时，取得极小值.因为，由题意可知，且所以，化简得，由，得.所以，.（2）因为，所以记，则，令，解得.列表如下.极小值所以时，取得极小值，也是最小值，此时，.令，解得.列表如下.极小值所以时，取得极小值，也是最小值.所以.令，则，记，，则，.因为，，所以，所以单调递增.所以，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20.若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”.（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当为奇数时，，所以..当为偶数时，，所以..所以，数列是“数列”.（2）由题意可得：，则数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以①，②.若，则当时，①不成立；若，则当时，②不成立；若，则①和②都成立，所以.同理得：，所以，记.设，则.同理可得：，所以.所以是等差数列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，数列是等差数列.21.已知，，求的最小值.【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得，，再两式相加即得.即可得最小值试题解析：因为，，所以，.两式相加：，所以.当且仅当且时“”成立.即时，取得最小值.22.如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，且，.（1）求二面角的余弦值；（2）已知点为线段上异于的点，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得，即为的值.试题解析：以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，（1）由题意可知，，.设平面的法向量为，则即令，则，.所以.平面的法向量为，所以，所以二面角的余弦值.（2）由题意可知，，，设，则，因为，所以，化简得，所以或.又因为点异于点，所以.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关