高等数学第六章定积分的应用习题课讲解材料

一、定积分应用的类型1．几何应用

平面图形的面积特殊立体的体积平面曲线弧长旋转体的体积平行截面面积为已知立体的体积2．物理应用

变力作功水压力引力二、构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部

上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分．2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：

①选取适当的坐标系；三、典型例题1.几何应用定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。③在

上求出微元解析式④把所求的量表示成定积分

②确定积分变量和变化范围；（2）求微元：任取

如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间所对应的矩形的面积。因此（3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为计算上面的积分得：

【例2】求由摆线,

的一拱与轴所围成图形的面积.分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，设区间所对应的曲边梯形面积为

则面积元素就是在上“以直代曲”

所形成的矩形面积。

如果取

为积分变量,则.解:(1)确定积分变量和积分区间：选取

为积分变量，(2)求微元：,,那么面积元素就是区间

所对应的矩形的面积，即.

(3)求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：【例3】设由曲线，及围成平面图形

绕轴,轴旋转而成的旋转体的体积。分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕

轴旋转时，取为积分变量;绕轴旋转时,取为积分变量。设区间对

或对或所对应的曲边梯形为

是以直代曲所形成的矩形为则绕

轴、轴旋转而成的旋

转体的体积微元就是矩形分别绕

轴、轴旋转而成的体积.解:(一)求绕轴旋转而成的旋转体的体积

（1）确定积分变量和积分区间：绕

轴旋转如图,旋转体体积元素是对应的矩形绕轴所得的旋转体的体积，即

（2）求微元：对取为积分变量,则（3）求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为计算积分得：（1）确定积分变量和积分区间：绕轴旋转如图,

取为积分变量,则(二)求绕

轴旋转而成的旋转体的体积（2）求微元：对旋转体的体积元素

是对应的矩形绕

轴所得的旋转体体积,即（3）求定积分：绕轴所得的旋转体的体积表示为

计算积分得:

【例4】计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择积分变量为

,如果能求出平面

所截立体的截面面积那么，

所对应的体积元素为.

建立如图所示的坐标系，解:(1)确定积分变量和积分区间：则底圆方程为

取为积分变量,所以

（2）求微元：因为过点的截面为等边三角形（如图），其边长为高为所以截面积为

因此,对所对应的体积元素为

（3）求定积分：所求立体的体积为【例6】计算半立方抛物线了被抛物线

截得的一段弧的长度。分析：所给定的曲线弧如图所示。对把区间上

所对应的曲线段长用切线段长

代替，则得到弧长的微元

的解析式.取积分变量为则取为积分变量,则解:(1)确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点的横坐标得(2)求微元：

区间所对应的曲线段长用切线段长

来代替,得弧长元素由于从而(3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得【例7】求星形线的全长.分析：曲线为参数方程，由于星形线关于

轴都对称所以只须考虑第一象限中的情况。取参数

为积分变量，

对把区间

上所对应的曲线段长用切线段长

代替,则得到曲线弧长的微元

的解析式。

解:(1)确定积分变量和积分区间:取参数为积分变量,

(2)求微元：把区间

上所对应的曲线弧长用切线段长

代替,得弧长元微元

(3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得则所求曲线弧长为

注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标来做，但积分时要注意积分上下限的确定。6.3定积分在物理学上的应用定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。一、变力沿直线所作的功求物体沿直线从a移动到b时，变力F(x)所作的功W由定积分的物理意义变力所作的功功的元素：一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,例1.体,求移动过程中气体压力所由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b

处(如图),作的功.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气例2.解:建立坐标系如图.

压强p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的力为所求功为恒温时,建立坐标系如图.解:例3.设水的密度为一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?x(kN)这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(kJ

)二、水压力面积为A的平板设水密度为

在水深h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受压力因平板上各点处处于不同水深所以压强不等,从而问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••小窄条[x,x+dx]上各点的压强近似为

的液体,

求桶的一个端面所受的压力.解:建立坐标系如图.端面圆的故压力元素端面所受压力为方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶密度为例4.取x为积分变量,其变化区间为[0,R]三、引力质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方