江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中调研测试高二数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角.【详解】由直线得其斜率为，设直线的倾斜角为（），则，所以，所以直线的倾斜角为，故选：D2.椭圆的焦点的坐标为A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】求出的值，结合椭圆的焦点位置可得结果.【详解】在椭圆中，，，则，易知该椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的焦点的坐标为，.故选：D.3.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系.【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为，圆：的标准方程为，圆心为，半径为，所以两圆圆心距为，所以，因此两圆的位置关系为相交.故选：C.4.方程表示的曲线为（）A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不表示任何图形【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可．【详解】解：∵，∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形，此时，∴方程表示的轨迹是线段，故选：C．5.如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知圆心在直线上，即可得结果.【详解】方程表示圆心为的圆，由题意可知：圆心在直线上，则，即.故选：A.6.设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知两直线平行，列式求解，并代入检验.【详解】由题意可知：直线与平行，则，解得或，若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意；若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意；综上所述：的值为或.故选：C.7.过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长，表示出三角形面积，再令，结合二次函数的性质求出即可；【详解】由题意可得，直线的斜率存在，设为，则，点到直线的距离为，弦长，所以，令，则，所以，当时取等号，此时，故选：A.8.已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率.【详解】由题意可知：，设与渐近线的交点为，则为的中点，且，则点到直线的距离，可得，又因为分别为的中点，则，即，所以双曲线的离心率为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如果，那么直线通过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】ACD【解析】【分析】根据直线的斜率以及轴截距判断即可；【详解】因为，,所以所以，令所以直线经过一三四象限.故选：ACD.10.已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（）A.周长为12 B.的最小值为3C.存在点，使得 D.的最大值为16【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据椭圆定义即可判断；对于B：根据椭圆性质即可判断；对于C：可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况即可；对于D：根据椭圆定义结合基本不等式分析判断.【详解】由椭圆方程可知：，则.对于选项A：的周长为，故A正确；对于选项B：的最小值为，故B错误；对于选项C：存在点，使得，可知点在以为直径的圆上，但，可知圆与椭圆没有交点，所以不存在点，使得，故C错误；对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为16，故D正确；故选：AD.11.已知圆：，则下列结论正确的是（）A.，圆经过点B.，直线与圆相切C.，存在定直线与圆相切D.，存在定圆与圆外切【答案】ABD【解析】【分析】对于A，将点代入圆，可求出进行判断；对于B，利用圆心到直线的距离验证；对于C，数形结合验证；对于D，当圆为时，利用圆与圆的位置关系验证.【详解】对于A，将点代入圆，得，整理得，此时，故A正确；对于B，圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为：，故B正确；对于C，因为圆的圆心为，且，所以圆的圆心在以原点为圆心，半径为2的圆上，如图所示：又圆半径为，，当圆圆心在圆上运动时，显然没有定直线与圆相切，故C错误；对于D，当圆为时，圆心为，半径为1，所以圆与圆的圆心距为：而圆与圆的半径和为，故存在定圆：与圆外切，故D正确.故答案为：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线的焦点到准线的距离为________.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p.【详解】由抛物线方程知，，，所以焦点到准线的距离为2.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题.13.函数的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据两点距离公式的几何意义可得表示到点距离之和，作点关于轴的对称点，根据对称的性质结合不等式分析可得，运算求解【详解】，根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，如图所示，作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，可得，又由，当且仅当点与重合时，等号成立，所以，即函数的最小值为故答案：14.设为正实数，若集合，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】画出集合表示的区域，通过直线与圆相切即可求解.【详解】画出表示的区域，如图正方形及其内部，，可知当与图中正方形相切时，取得最大值，易知坐标原点到正方形边的距离为，所以，故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知点，直线.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）若点在直线上，且，求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程；（2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标.【小问1详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入得，所以，所以所求直线方程为.【小问2详解】因为点在直线上，设点，因为，且直线的斜率为，故，解得，所以点的坐标为.16.设为实数，已知方程表示椭圆.（1）求的取值范围；（2）若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果；（2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果【小问1详解】表示椭圆，，解得：或，即实数的取值范围为.【小问2详解】当时，椭圆方程为：，焦点坐标为，将代入椭圆方程可得：，即，.17.已知圆的一条对称轴方程为，并且与轴交于两点.（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通过已知条件先确定圆心坐标，再求得半径即可；（2）通过确定圆心到直线的距离，再结合斜率存在与不存在两种情况讨论即可.【小问1详解】设圆的方程为，由圆过得两点，得圆心在直线上，由，解得，所以所以圆的方程为，即；【小问2详解】由，可得：为等腰直角三角形，，,所以圆心到直线的距离，①若直线存在斜率，可设方程为，即，由已知圆心到直线的距离，解得，此时，直线的方程为，即；②若直线斜率不存在，则的方程为，符合题意，综上所述，直线的方程为或.18.双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解；（2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解.【小问1详解】由光学性质知，三点共线，因为，所以，当轴时，在双曲方程中令，解得，则，所以，即，又因为，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】设，因为，所以，即，可得，又，所以，，所以所以方程为，即：.19.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴.（1）求抛物线的方程；（2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；（3）求证：直线经过原点.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线