重庆市潼南区六校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年重庆市潼南区六校八年级第一学期期中数学试卷一.选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．5的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．解：由题意得，5的倒数是，故选：C．2．下列说法中，不正确的是（）A．全等三角形对应角相等 B．全等三角形对应边上的高相等 C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等解：A．全等三角形对应角相等，所以A选项不符合题意；B．全等三角形对应边上的高相等，所以B选项不符合题意；C．有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以C选项符合题意；D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等，所以D选项不符合题意；故选：C．3．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；故选：D．4．下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（）A． B． C． D．解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意；故选：D．5．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（）A．8 B．9 C．10 D．11解：∵△ACD的周长为10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝4，∴AD+CD＝6，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵AB＝5，∴△ABD的周长＝AB+AD+CD＝11，故选：D．6．估计+5的值应在（）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴7＜+5＜8，即+5的值应在7和8之间，故选：B．7．用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14 B．20 C．23 D．26解：第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，...，则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，故选：B．8．如图，∠1、∠2、∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE、CD的延长线相交于点F，如果∠F＝α，那么∠1+∠2+∠3的度数为（）A．270°﹣α B．360°﹣α C．90°+α D．180°+α解：∵∠F＝α，∴∠FDE+∠FED＝180°﹣α，∵多边形的内角和为360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠FDE+∠FED）＝360°﹣（180°﹣α）＝360°﹣180°+α＝180°+α，故选：D．9．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：过P作PQ⊥AC于Q，∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PQ，PQ＝PN，∴PM＝PN，∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，在Rt△PMA和Rt△PQA中，，∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），∴∠MPA＝∠QPA，同理Rt△PQC≌Rt△PNC，∴∠QPC＝∠NPC，∵∠PMA＝∠PNC＝90°，∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．10．在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．二.填空题（共8小题，每小题4分。共32分）11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10．解：因为2+2＝4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2＝10，答：它的周长是10，故答案为：1012．起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．解：起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．故答案为：稳定性．13．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是720°．解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．故答案为：720°．14．如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C（只填一个即可），使△ABD≌△ACE．解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加AB＝AC，根据SAS可以判定△ABD≌△ACE．在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠ADB＝∠E，根据ASA可以判定△ABD≌△ACE．在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠B＝∠C，根据AAS可以判定△ABD≌△ACE．综上所述，若添加AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C都可以判定△ABD≌△ACE．故答案为：AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C．15．如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为5cm2．解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，∴PF＝PG，又∵AD∥BC，∴PF⊥BC，∴PG＝PF，∴PG＝PE＝PF＝EF＝2（cm），又∵AB＝5cm，∴△APB的面积＝AB•PG＝×5×2＝5（cm2）．故答案为：5．16．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于2cm2．解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；∴S△BEF＝S△BEC，D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝8cm2，∴S△BEF＝2cm2，即阴影部分的面积为2cm2，故答案为：2cm2．17．若关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为18．解：，解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞，∵关于x的不等式组，有且只有3个整数解，∴该不等式组的三个整数解为3，2，1，∴0≤＜1，解得7.5≤a＜11，由2y+6＝3a可得y＝，∵关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，∴a＝8或10，∴所有满足条件的整数a的值之和为8+10＝18，故答案为：18．18．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“十佳数”．如：352，∵5＝3+2，∴352是“十佳数”．又如：234，∵3≠2+4，∴234不是“十佳数”．已知M是一个“十佳数”，则M的最大值为891；交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，在M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，若P﹣Q能被11整除，则满足以上条件的“十佳数”M的最小值为176．解：设M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则b＝a+c，∵各个数位上的数字均不为0，当“十佳数”，M取最大值时，所以百位数字应取最大值为8，十位数字最大为9，个位数字为1，故答案为891；∵交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，∴N的百位数字为b，十位数字为a，个位数字为c，∵在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，∴P＝1000b+100a+10c+1，∵M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，∴Q＝1000a+100b+10a+c，∴P﹣Q＝﹣910a+900b+9c+1，∵b＝a+c，∴P﹣Q＝﹣910a+900（a+c）+9c+1＝﹣10a+909c+1，＝11×（82c﹣a）+7c+a+1，∵P﹣Q能被11整除，∴7c+a+1能被11整除，∵1≤a≤9，1≤c≤9，∴9≤7c+a+1≤73，∴7c+a+1＝11或7c+a+1＝22或或7c+a+1＝33或7c+a+1＝44或7c+a+1＝55或7c+a+1＝66，当7c+a+1＝11时，a＝3，c＝1，则b＝a+c＝4，此时M＝341；当7c+a+1＝22时，a＝7，c＝2，则b＝a+c＝9，此时M＝792；当7c+a+1＝33时，a＝4，c＝4，则b＝a+c＝8，此时M＝484；当7c+a+1＝44时，a＝1，c＝6，则b＝a+c＝7，此时M＝176；当7c+a+1＝55时，a＝5，c＝7，则b＝a+c＝12（舍去）；当7c+a+1＝66时，a＝2，c＝9，则b＝a+c＝11（舍去）；a＝9，c＝8，则b＝a+c＝17（舍去）；综上所述：M为：341；792；484；176；满足以上条件的“十佳数”M的最小值为176，故答案为：176．三.解答题（本小题共8小题，19题8分，20-26小题每小题8分，共78分）19．（1）解方程组：；（2）﹣12023﹣|．解：（1），①×3+②，得11x＝27，解得x＝，把x＝代入①，得，解得y＝，故方程组的解为；（2）﹣12023﹣|＝﹣1﹣（2﹣）+2＝﹣1﹣2++2＝﹣1．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）尺规作图：在斜边AB上找一点D，使AD＝AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠DAE，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．（1）解：如图所示．（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠DAE，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE＝90°，∴△BDE是直角三角形．故答案为：∠CAE；∠DAE；AC；AD；CAE；DAE；∠ADE．21．重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：30≤x＜35，B：35≤x＜40，C：40≤x＜45，D：45≤x≤50），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：（1）本次共调查了50名学生；（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，m的值是10；B对应的扇形圆心角的度数是108°；（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有多少人？解：（1）20÷40%＝50（人），即本次共调查了50名学生，故答案为：50；（2）C等级的人数为：50﹣10﹣15﹣20＝5（人），补全条形统计图如图：（3）C等级的人数所占的百分比为：，∴m＝10，B对应的扇形圆心角的度数为：，故答案为：10，108°；（4）2000×40%＝800（人），答：估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有800人．22．如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．（1）求证：AE＝DF；（2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长．（1）证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD，∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵EC∥BF，∴∠ECA＝∠FBD，在△ACE与△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF（2）解：由（1）得△ACE≌△DBF，∴AC＝DB，又∵AD＝AC+DB﹣BC，AD＝8，BC＝2，∴2AC﹣2＝8，∴AC＝5．23．新能汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能汽车，某月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？（2）某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？从公司节约的角度考虑，你会选择哪种购车方案？解：（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据题意得：，解得，答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元；（2）设购买甲种型号的新能汽车m辆，则购买乙种型号的新能汽车（8﹣m）辆，∵购车费用不少于145万元，且不超过153万元，∴145≤20m+15（8﹣m）≤153，解得5≤m≤6.6，∵m为整数，∴m可取5或6，∴有两种方案：①购买甲种型号的新能汽车5辆，购买乙种型号的新能汽车3辆；②购买甲种型号的新能汽车6辆，则购买乙种型号的新能汽车2辆；当m＝5时，20m+15（8﹣m）＝20×5+15×（8﹣5）＝145，当m＝6时，20m+15（8﹣m）＝20×6+15×（8﹣6）＝150，∵145＜150，∴从公司节约的角度考虑，选择购买甲种型号的新能汽车5辆，购买乙种型号的新能汽车3辆费用较少．24．如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点M为线段AD上一动点（不与A，D重合），MN⊥BC于N．（1）若∠B＝38°，∠DMN＝10°，求∠C的度数；（2）当点M在AD上移动时，直接写出∠B，∠C，∠DMN之间的数量关系．解：（1）∵∠MDN＝90°﹣∠DMN＝∠B+∠BAD，即38°+∠BAD＝80°，∴∠BAD＝42°．∵AD平分∠BAC，∴