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2024—2025学年吉林地区普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考高二上学期数学试卷

一、单选题(★★)1.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（）

A．2B．-4C．4D．-2(★)2.已知向量，，则（）

A．B．40C．6D．36(★)3.设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为

A．B．C．D．(★★)4.已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（）

A．B．C．D．(★★★)5.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若四边形的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（）

A．2B．3C．4D．6(★)6.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（）

A．B．C．D．(★★)7.已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（）

A．6B．8C．10D．12(★★)8.过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（）

A．B．C．D．二、多选题(★)9.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）

A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★)10.如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（）

A．椭圆的长轴长为4B．椭圆的短轴长为2C．椭圆的离心率为D．椭圆的一个方程可能为(★★★)11.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（）

A．直线l过定点B．动点C的轨迹方程为C．动点C到直线l的距离的最大值为D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则三、填空题(★★★)12.如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为_____(★★)13.若点和点关于直线对称，则______．(★★★)14.直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为_____________.四、解答题(★★)15.已知直线.(1)若，求的值；(2)若，求过原点与点的直线的方程.(★★★)16.已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围.(★★★)17.如图，在正四棱柱中，，点E，F，G，H分别在棱上，.(1)证明：；(2)点P为线段的中点，求平面PEG与平面夹角的余弦值．(★★★)18.已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若是上一点，且，求的面积.(★★★)19.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.(

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