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2024—2025学年湖南省名校教育联盟高三上学期12月大联考数学试卷

一、单选题(★★)1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．(★★)2.等比数列的前项和为，，，则（）

A．27B．24C．21D．18(★★)3.已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★)4.已知向量，，若，则的值为（）

A．0B．1C．2D．3(★★)5.已知是偶函数，则（）

A．2B．1C．0D．(★★)6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（）

A．6B．5C．3D．2(★★)7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且，椭圆的离心率为，则直线的斜率为（）

A．B．C．D．(★★★)8.定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.已知，则下列结论一定正确的是（）

A．B．C．D．(★★★)10.如图，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（包括端点），点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）

A．存在唯一的，，使得B．存在唯一的，，使得C．若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为D．若为线段的中点，则的最小值为(★★★)11.在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且垂直于轴，垂足为，则满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是（）

A．B．C．D．三、填空题(★★★)12.写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程：________．(★★★)13.已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则________．(★★★)14.如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且，则三棱锥外接球的表面积为________．四、解答题(★★★)15.已知，，，分别是角，，的对边，的面积．(1)证明：；(2)若为的平分线，交于点，且，，求的长．(★★★)16.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面．(1)作出点在平面的射影，并证明；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．(★★★)17.已知为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，直线，的斜率分别为，，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过的直线交于另一点，且由点，，，组成的以为一边的四边形的面积为，求的方程．(★★★★★)18.已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)关于的方程有两个不相等的正实数解，，且，求证：．(★★★★★)19.某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用

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