北师大版数学必修四同步试题

第一章三角函数

§1周期现象

§2角的概念的推广

课时跟踪检测

一、选择题

1.下列各组角中，终边相同的是（）

A.495。和一495。B.1350。和90。

C.一220。和140°D.540。和一810。

答案：C

2.已知钟摆的高度〃（mm）与时间，（s）之间的函数关系的图像，如图所示.

则与其相对应的函数的周期及，=25s时的钟摆高度分别为（）

A.2s,10mmB.1s,20mm

C.1s,10mmD.2s,20mm

解析：由图知周期为2s,25s时的高度与1s时的高度相同，都是20mm.

答案：D

3.如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（）

A.{a|-45°^a^l20°）

B.{a|1200WaW315。}

C.{碌知。-45。＜。4・360。+120。，2WZ}

D.{a|A:-360o+120o^a^^360o+315o,&WZ}

解析：在（一180。，180。）范围内，一45°WaW120。，又aER,

，£360。一45°WaWk36（F+120。（女6Z）,故选C.

答案：C

47r

4.在。到2兀范围内，与角-g■终边相同的角是（）

n-兀

A-6B-3

_2n—4几

C.-D.-

4兀（4兀\

解析：与角一学终边相同的角是弧+（一引，kGZ,令&=1,可得与角一

47r27r

W终边相同的角是亍，故选C.

答案：C

5.若a是第四象限角，则下列角中是第一象限角的是（）

A.a+180oB.a-180°

C.a+270°D.a-270°

解析：•・・1是第四象限角，・,・可令a=300°,则2一270。=30。在第一象限.

答案：D

6.设。=-300。，则与a终边相同的角的集合为（）

A.{m=%360。+300。，kGZ}

B.{a|a=X:-360o+60°,k£Z\

C.{a|a=k3600+30。,A&Z}

D.{a|a=k360。-60。，k^Z]

解析：Va=-300°=~360°4-60°,

・•・与角a终边相同的角的集合为{。汝=忍360。+60。,k®Z].

答案：B

二、填空题

7.己知角a、B的终边相同，那么。一8的终边在.

解析：・・・以夕终边相同，

・・・a=k3600+4（A£Z）,

一夕=k360。，故a-R的终边会落在x轴的非负半轴上.

答案：x轴的非负半轴上

8.与2018。终边相同的最小正角是.

解析：与2018。终边相同的角的集合是位放=/360。+2018。，&£Z}.当々

=-5时，a=218°.

答案：218°

9.若a为第一象限角，则》180。+逖£0的终边所在的象限是第

象限.

解析：Ya是第一象限角，・・・左为偶数时，&J8()o+a终边在第一象限；k为

奇数时，kl800+a终边在第三象限.

答案.一成二

三、解答题

io.设«¥)是定义在正整数集上的函数，且满足於+2)=/a+i)-/u),如果

火l)=a,/2)=4求420⑻的值.

解：“r+2)=/a+l)一兀0且人1)=小fl2)=b.

A4)=J(3)-fl2)=b-a-b=~a.

式5)=人4)—/(3)=一〃一(/?—a)=­by

jm=fi.7)-J(6)=a-(a-b)=b=J(2)f

，观察其周期现象，有46〃+Q=/U),

•7/(2018)=次6乂336+2)=<2)=儿

11.在平面直角坐标系中.

(1)写出终边在x轴上的角的集合；

(2)写出终边在直线上的角的集合.

解：(1)在0。〜360。范围内，终边在x轴上的角有两个，即0。和180。.

与0。终边相同的角构成集合Si={a|a=大360。,kGZ],

与180。终边相同的角构成集合52={加=180。+大360。，kGZ},

所以终边在x轴上的角的集合是S=$US2={a|a=k360。，R£Z}U{a|a=

1800+k360。,女£Z}={a|a=2kl80。,k^Z]U{a|a=(2^+l)180°,k^Z}={a\a

=〃180。，«ez}.

(2)在0。〜360。范围内，满足条件的角为60。和240°,

所以终边在直线上的角的集合为{〃。=/360。+60。，k^Z}i){a\a=

k3600+240。,左£Z}={Ra=2kl800+60。，U{a|a=(2Jl+1)-180°+60°,k

eZ}={a|a=7i-180°+60°,〃£Z}.

12.分别写出终边在如图所示阴影部分的角的集合(虚线表示不包括边界，

实线表示包括边界).

解：解法一：第一个图中在0。〜360。范围内，60。＜1・90。或240°＜a^270°,

所以阴影部分的角的集合为汝心360。+60。〈。・%360。+90。，&£Z}U{仁心360。

+240。〈。。360。+270。，eZ}={a|60°+2h180°＜a90°+2h180°,右Z}U

{a|60°+(2女+1)•180。VaW90。+(2R+1)•180。，4£Z}={a|60°+〃•180。VaW90°

+〃480。，neZ}.同理可以求出第二个图中阴影部分的角的集合为伍|120。+

■80。。力35。+k180。，kGZ).

解法二：如第一个图所示，在0。〜180。范围内，符合题意的角为60。＜仁忘90。

①.而在180。〜360。范围内，符合题意的角可由①式中的a旋转180。而得到，所

以第一个图所示角的集合为㈤60。+祢180。＜。忘90。十%」80。，Z£Z}.同样方法

可求第二个图中角的集合为{&120。十/180。在。在135。+%」80。，kGZ).

u能力提升

13.已知角。、少的终边有下列关系，分别求。、夕间的关系式：

(l)a、/?的终边关于原点对称；

(2)a、£的终边关于y轴对称.

解：(1)由于。、夕的终边互为反向延长线，故。、夕相差180。的奇数倍(如图

1),于是。一£=(22—1)480。亿£2).

图1图2

(2)在0。〜360。内，设a的终边所表示的角为90。一仇6>E(0°,90°),由于a、

P关于y轴对称(如图2),则B的终边所表示的角为90。+4于是仁=90。一。十

A：i-360°(Z:ez),6=90°+。+fa-360°(fa右Z).

两式相加得a+£=(2R+1).180。优£Z).

第一章三角函数

§3弧度制

课时跟踪检测

一、选择题

i.下列各对角中终边相同的角是（）

A.与和一5+2E（A£Z）B.号和

7兀工「11兀-20%122n

C.一勺和丁D.和-Q-

711

解析：：一铲+2兀=§兀，，选C.

答案：C

2.若。=-3,则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：：一兀＜一3＜一去二一3是第三象限角.

答案：C

3.已知半径为1的扇形面积为手，则扇形的圆心角为（）

O

3兀3兀

A•布B.至

-3兀、3兀

C.彳D.y

解析：s=y，•片=斗，嗣=1=空，故选c.

LOZ4厂今

答案：c

4.把一1485。写成2E+a（0WaV27T,攵£Z）的形式是（）

7177r

A.-8瓦+^B.一阮一7

C.—10兀一；D.—10兀

7

解析：V-1485。=-5义360。+315。=-10兀+不，

・••选D.

答案：D

5.把一半表示成夕+2桁/£Z）的形式，使|。|最小的0的值是（）

37r「九

A.-yB.-4

c3兀.兀

C.彳D,W

1In-37r.117t.3TC.।,37t37rs2,

解析：一丁=-271-7-,,•一丁与一彳终Z边相同，此汽一彳=7~；＜取小

的.

答案:A

6.若扇形圆心角是?则扇形的内切圆与该扇形的面积之比为（）

A.1：2B.1：3

C.2：3D.3：4

解析：如图所示，设。Oi半径为r,扇形半径为R,诵的长为/.•・•/A08=

・・・NOiOC=d，：.00i=2rf

2

・••面积之比为毛二=丁与一-

3

~jRl

答案：C

二、填空题

7.下列结论不正确的是一.（只填序号）

rad=60°；②10。=合rad；

③36。=力rad；rad=115°.

解析：，rad=，X180°=112.5°,・,・④错.

OO

答案：④

8.半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为

解析：S炀=/夕7?2=；义2X22=4.

答案：4

9.下列命题中正确的是.

①角a与尸的终边关于了轴对称，则a-S=2E（k£Z）；

②角A和B是一个三角形的两个内角，那么4+5的取值范围是（0,2兀）；

③a。=岸C££=贤,mWZ={3\6=kn,kGZ}；

④第一或第二象限角的集合可表示为{a|2EVaV2E+mACZ}.

irjr

解析：①a=4，/?=-4终边关于x轴对称，

但a—0=4一（一w）=g=2E，则女=^Z,••・（!）错.

②・.・A+B£（O,K）,J②错.

③a=詈，1=也或1=也+会或仁=也+菰kGZ,

[夕£=詈，mGZ[=[.卜=也或£=也+；或夕=版+?或

P=也+,兀，％£z1,

・・・aGA={O|0=E,々WZ},・•・③对.

7T

④・・・a=2E+冷终边在y轴非负半轴上不是象限角，

J④错.

答案：③

三、解答题

10.蒸汽机飞轮的直径为1.2m,以300周/分的速度作逆时针旋转，求：

(1)飞轮每1秒所转过的弧度数；

(2)轮周上一点每1秒所转过的弧长.

解：⑴•・•蒸汽机的飞轮每分钟转300周，故每秒钟应转鬻=5周，

・•・飞轮每1秒转过的弧度数为10n.

(2)由弧长公式ir得

12

IOTIX宁=6兀(米)，

，轮周上一点每1秒所转过的弧长为6兀米.

11.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2012。

是不是这个集合的元素.

解：•.・1500=V，

・・・终边落在阴影区域内的角的集合为S斗弓W+2E,止Z).

V2012°=5X360o+212°=^107r+j|Aad,

-5兀53713兀

又不＜4＜2，

12.写出终边在直线)，=无上的角的集合5,并把S中适合不等式一2兀三万＜

4花的元素夕写出来.

解：如图所示，在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是

会在［0,2兀)范围内，终边在直线产x上的角有两个：；和竽.

所以终边在直线y=x上的角的集合为

S=6夕=2也+去7tkGZU£A=2E+季kGZ

=%夕=2履+金kGZ卜夕夕=(2%+1)兀+；71,kGZ

=］夕|夕=〃兀+；,\

令一2兀・〃兀+；V4兀，得〃=—2,—1,0』,2,3.

:・S中适合不等式一2兀5夕＜4兀的元素夕是一2兀+；=一拳—TT4-1=—y,

八、，।兀兀।兀571cl兀9兀~1兀13兀

ox；c+a=a，兀+W=7,2兀+W=T'37I+4=~

。能力提升

13.如图，动点P,。从点4(4,0)出发，沿圆周运动，点尸按逆时针方向每秒

钟转方弧度，点。按顺时针方向每秒钟转季弧度，求「，。第一次相遇时所用的时

间及P，。点各自走过的弧长.

解：设P,。第一次相遇时所用的时间是3

7T7T

则/•1+1•-g=2兀，

所以f=4(s),即P,。第一次相遇时所用的时间为4s.

尸点走过的弧长为与乂4=竽

Q点走过的弧长为华义4=号

第一章三角函数

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.2单位圆与周期性

课时跟踪检测

一、选择题

1.若△ABC两内角A、8满足sirVbcosBVO,则此三角形的形状是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

解析：・.・A为△ABC的内角，・・・sin4>0,

5CVsin4cosfi<0,

cosBVO,

：.B为钝角，

•二△ABC为钝角三角形.

答案：C

2.若cosOsin。〉。，则夕在（)

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

cos^>0,[cos^<0,

解析：或一

lsin6b>0[sin（9<0,

・・・。在第一、三象限.

答案：B

3.sin等等于（）

A.|B.日

C.-ID.-由

解析：sin^|^=sin^47r+^=sin^=1.

答案：A

4.已知角a的终边经过点(3。-9,。+2),且cosaWO,sina>0,则实数a

的取值范围是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

C.[-2,3)D.[-2,3]

解析：'•cosaWO,sina>0,

Aa终边在第二象限或y轴非负半轴.

3a—9W0,

则彳—2V〃W3.

。+2>0,

答案：A

5.已知a是第二象限角，P（x,小）为其终边上一点，且cosa=^-x,则x

的值是（）

A.小B.±^3

C.一尤D.—y[3

解析：r=df+5,x

c°sa=正存=4-

解得A2=3.

・・・。是第二象限角，Ax<0,x=-y[3.

答案：D

6.若a为第一象限角，则sin2a,cos2a,si吟，cosf中必取正值的有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：・・・a为第一象限角，

2^7c<a<2hc+^,kGZ,

4EV2aV4E+;r,

・・・2a为第一象限或第二象限角或终边在y轴正半轴上,

，sin2a>()一定成立.COS2Q正负不确定.

Ct71

又,.,&7iV]V&ji+W，kez.

・・・今为第一象限或第三象限角,

Asin?,co号不一定为正.

・,•选B.

答案：B

二、填空题

7.若a=5+2E(%£Z),则cos3a=

Tt八

解析：cos3a=cos3修+2hr)=cos.+6E)=cos]=0.

答案：0

8.已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角。终

边上的一点，且sinO=一^贝Uy=.

解析：|0P|=W+y2,也2_),2=—邛工解得,=±8,

2R

又・.・sin9=一呼V0及尸(4,y)是角。终边上一点，可知8为第四象限角，

：.y=S,

答案：一8

9.下列说法中，正确的为.

①终边相同的角的同名三角函数值相等；

②终边不同的角的同名三角函数值不全相等;

③若sina>0,则a是第一、二象限角;

④若a是第二象限角，且P(x,y)是其终边上的一点,则cosa=

解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系,

故①②都是正确的；当o的终边与y轴的非负半轴重合时，sina=l>0,故③是

不正确的；无论a在第几象限，cosa=,故④也是不正确的.

答案：①②

三、解答题

10.己知角a的终边上一点的坐标为(诚，co均，求正角a的最小值.

解：由题意知，角a终边上一点的坐标为七，坐则角。为第一象限角，一

/.sin«=

即正角a的最小值是全

11.己知角a的终边在直线y=,x上，求sin。、cosa的值.

解：•・•角a终边在直线上，

.••终边所处位置有两种情况：

当终边在射线上时，设a的终边与单位圆的交点为P(x,y)(x

解得3

同理，当终边在射线y=^/5x(xW0)上时，可得sina=一孚，cosa=­

12.己知角。终边上一点P(4。-3。《20),求2sina+cosa的值.

解：r=\OP\=■(旬2+(—31)2=5%

v—3f3

当,>0时，点P在第四象限，sina=/=v=—5，

x4r4

coscc=-=-=-,

:.2sina+cosa=-5；

,v—3f3

当/VO时，点P在第二象限，sina=：=—―=z,

r~5t5

x4r4

cosa=_=—-=-7,

r-5t5

2

:.2sina+cosa=百.

,2

综上，2sina+cosa=±y

<►能力提升

13.已知夕为锐角，用三角函数的定义证明：

1<sinO+cosO〈也.

证明：设角。终边上任一点（羽y）,

贝!）厂=）4+产,sin®=：=y

y/f+y2'

8s

•••夕为锐角，Ax>0,y>0.

•\IvsinO+cosGW啦.

第一章三角函数

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

4.4单位圆的对称性与诱导公式

课时跟踪检测

一、选择题

1.而（一表）=（

B-亚

A.2D♦2

C.-2D.T

解析:一§45兀+专

.ZE_1

-sin6-2,

答案：D

2.sin（兀-2）—cosg—2）化简的结果为（）

A.0B.1

C.2sin2D.-2sin2

解析：原式=sin2—sin2=0.

答案：A

B+C

3.如果A、B、C为△ABC的三个内角，则sin—^―=（）

A.A

A.-cos/B.sinn

c•A八A

C.—sinD.cos]

5&B+C兀一A7T_AA

解析：sin-—=sin2=sin|2~2=cos^.

答案：D

若cos(7t+a)=­§那么sin僧一(z)=(

4.)

1

—B,

A.33

c.D.-j啦

cosa=g,

解析：•.•cos(7l+a)=-COSG=­1,

僚—a)=­cosa=­

Asinl

答案：A

5.若式cosx)=cos2x,则,«sin750)=()

11

A.22

C.2D.2

解析：y(sin75°)=/(cos15C)=cos30°=^".

答案：C

TIX

siir^~,xW2017,

6.设则42018)的值为()

l/(x-3),x>2017,

]_1

B.

A.22

C.当D.

解析：由题意得«2018)=/(2015)=sin话包in(671n2-兀F、^=-sinf=

=sin|

3

2.

答案：D

二、填空题

7.已知:sin(7t+a)=-I，则|兀+，=

cosl

’5

解析：:cos|彳兀+a=cos|—sina,

2加=

又Vsin(n+a)=_sina=­y

cos惨+ctj=—

答案：一女

8.(2017•北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角a与角/均以Ox为始边,

它们的终边关于y轴对称.若sina=g,则sin£=.

解析：由题意知，角a与角0的正弦值相等，又sina=J,

..a

••siny>3.

答案"

9.下列三角函数：①sin[〃7r+华｝

②cos(2〃兀+新

③sin(2〃兀+1)；

@cosf(2n+l)7t—；

⑤si，(2〃+1)兀一三.其中iiGZ.

其中函数值与si吟相同的是.

解析：sin卜九+堂=±siig;cos(2rac+.=cos'=sin；;sin(2/wr+§=si号

「、.7T-1Tt.冗・「/、]«、兀.%

cos[(2〃十1比一%」=-cos5=-sm§;sm[(2〃+l)7T—§=sin§,

jr

函数值与si”相同的是②③⑤.

答案：②③⑤

三、解答题

,，小43COS(7t+0

10.已知C0S(7t+e)=三，求k：———：————

5C0S^fC0S(7C—0—1]

______cos(。-2兀)______

cosJcos(兀-0)+cos(6—2兀)___•

44

解：由cos(兀+。)=5得cosO=一亍

而能______cos®______cosJ______

八工cos6(—cos。-1)cos/-cos。)+cos。

=-----------+-----------=------■/

1+cos。1-cos。1-cos~。

250

11.化简求值：

(l)cos315°+sin(—30°)+sin225°+cos480°；

⑵已知cos。-a)=乎，求cos管+J—sin(a+1)的值.

解：(1)cos315。+sin(—30°)+sin225°+cos480°

=cos450-sin30°-sin450-cos60°

一近小—2小

,口A一lsin(n—a)cos(27t-a)

12.已知a是第四象限角，且式a)=--r~~7--------------------------.

coslalsin(一兀-a)cos(2兀+a)

(1)若cos(a—■=/求/(a)的值；

(2)若。=一1860。,求尺0的值.

箴______sin(--a)cos(2兀-a)____________sinacosa_________1_

,犬㈤(n\,小।、-sinasin(n4-a)cosasince

cosl2-«lsin(一兀一a)cos(27t+a)

工饱）*=-5.

(2)当a=-1860°时，/(cc)="=.〔Q(CO、=•~1Q。。

八sinasinz(—1860)—sinl860

=________!________=i2s

--sin(5X360°+60o)~-sin60°-~3，

<►能力提升

13.已知sin(a+夕)=1,求证：sin(2a+夕)=siM.

证明：•；sin(a+A)=l,

.•.a+夕=，+2E,A£Z,2(G+S)=7：+4E,

而sin(2a+£)=sin[2(a+①-£]=sin(7t+4E-S)=

sin(n—/?)=sin/?,，原等式成立.

第一章三角函数

§5正弦函数的图像与性质

5.1正弦函数的图像

课时跟踪检测

一、选择题

1.以下对正弦函数y=sinx的图像描述不正确的是（）

A.在2E+2同（MZ）上的图像形状相同，只是位置不同

B.介于直线y=l与直线y=-l之间

C.关于x轴对称

o.与y轴仅有一个交点

解析：易知），=sig是奇函数，.••图像关于原点对称，・・.C不正确.

答案：C

2.有三个结论：

燃与|兀的正弦线长度相等；

曾与会的正弦线长度相等；

JT9

/与平的正弦线长度相等，

其中正确的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：由正弦函数y=sinx的图像知①②③正确.

答案：D

3.函数y=—sinx,甘，竽的简图是（）

解析：当工=0时，y=0,可排除A、C.当工=争时，y=l,可排除B,故

选D.

答案：D

4.函数y=l—sinx,无£[0,2兀]的大致图像是下图中的（）

\i2xx\f।\

-1|o\A3K2KX

CD

解析：当尸竽时，（―

y=l—1）=2.结合图像知，应选B.

答案：B

5.下列函数图像相同的是（）

A.y=sinx与y=sin（x+兀）

B.y=sing_习与y=sin售一.%）

C.y=sinx与y=sin（一£）

D.），=§出（2兀+工）与y=sinx

答案：D

J2

6.在[―兀，兀]内能使sinxW~少成立的工的一个区间是（）

-3兀n[itn

A.[―不4B.-2，2

「7137T~|

C.1一不yjD.[0,7t]

解析：作出函数图像，结合图像，只有A满足.

答案：A

二、填空题

7.函数y=sinx,x£一去卷的图像与函数y=x的图像交点个数是

解析：如图，在同一坐标系内画出图像，可知只有1个交点.

答案：1

3

8.y=l+sig[0,2句的图像与直线的交点个数为.

3

解析：在同一坐标系中作出函数y=1+sinx,工£[0,2兀]和y=5的图像（图略）,

由图可得有两个交点.

答案:2

9.函数y=gsinx—1的最大值与最小值之和是.

12

解析：ymax=1-1=—

1।4

'min=_§_]=一1,

・・・最大值与最小值之和为一2.

答案:一2

三、解答题

10.用五点法作函数y=2+；sinx,x®[0,2兀]的图像.

解：列表如下：

7C3兀

X07T2n

2~2

sinx010-10

11.求函数y=d2sinx+5的定义域.

解：要使函数有意义，只需2sinx+q§N0,即sin_v2一乎.如图所示，在区

间［一多用上，适合条件的工的取值范围是一畀后专.

ir47r

所以该函数的定义域是2kn—y2H+y,k£Z.

12.函数«r)=2siru:+|smH，［0,2兀］的图像与直线y="?+1有且仅有两个

交点，求机的范围.

Jsinx,7r],

解：—2sinx+|sinx|="

sinx>[兀，2JC].

作出图像分析.

由有且仅有两个交点,

可得OVm+1V3或一1Vm+1V0,即一1VmV2或一2VmV—1,—2

<m<2且mW—1.

<►能力提升

13.判断方程f—sinx=O的根的个数.

解：设人x)=f,g(x)=siriG在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所

示.

由图知人》和g(x)的图像有两个交点，即方程f—sinx=O有两个根.

第一章三角函数

§5正弦函数的图像与性质

5.2正弦函数的性质

课时跟踪检测

一、选择题

1.(2017•全国卷II)函数4c)=sin(2x+§的最小正周期为()

A.4兀B.27r

C.nD.

解析：函数«x)=sin(2r+m的最小正周期7=华=兀

答案：C

2.函数y=cos[竽+J的单调递增区间是()

A.2E—52E+^(R£Z)

一兀3兀一

B.2E+],2E+»~(k£Z)

C.[2E,2E+TI](A：£Z)

D.[2ht-7t,2E](DWZ)

解析：函数)，=cos(^+，=cose+x)=-sinx的单调递增区间即是函数y

=sinx的单调减区间.

答案：B

3.函数兀0=sinx的值域为()

至,兴唱B.悟,明

C.0,坐]D,[o,阴

解析：:一1WsinxWl,

.1/.<3

..-]W]_sinxWi，

又sinx^O,

・7/to的值域为o,坐.

答案：C

4.下列关系式中正确的是（）

A.sinll0<cosl00<sinl68°

B.sinl680<sinll0<coslO°

C.sinll0<sinl680<cosl00

D.sinl680<cosl00<sinll0

解析：Vsin1680=sin（1800-12。）=sin120,

cos10°=sin（90°-10°）=sin80°.

又•.•y=sinx在0,方上是增函数，

.,.sinllo<sinl20<sin80o.

即sinll0<sinl680<cosl00.

答案：C

5.已知函数段）=2sin5（co>0）在区间[一去；上的最小值是一2,则①的

最小值等于（）

23

A.wB.2

上有最小值（一m）=2sin（一射）

答案：B

6.定义在R上的函数兀0既是偶函数又是周期函数.若拉0的最小正周期是

7T,且当上£0,，时，/(x)=sinx,则的值为()

1

B.

A.—2

C-立D.

x*/•22

解析：的最小正周期为兀,

s*坐

•,局=0=娟=

答案：D

二、填空题

7.y=asinx-b的最大值为1,最小值为-7,则a=,b=

解析：①40时，

ymax=〃—b—1,

。=4,

解得

力=3.

②〃V0时，ymax=-a—b=1,

yn\\n=a-b=-7,

6F=—4,

解得

b=3.

答案：±43

8.若sinr=2m+g,且大£一兀芥,71，则机的取值范围是

6'6

解析：・・"£［一不

・L・J

・・一］WsinxW］,

-吴

g＜小〈0.

答案：一

9.已知«〃)=siir屋,nez,则人1)+人2)+以3)+…+

7(2017)=.

JT、/271

解析：；*1)=§吗=看，火2)=sin]=l,

3\(2

X3)=sin^n=2，X4)=sinn=0,

g.5也”、.3

X5)=sin^7t=—，7(6)=sin乃=-1,

7\/2

X7)=sin^n=—2»7(8)=sin2兀=0.

・・・丹1)+42)+…+/(8)=0,

.,.犬1)+犬2)+…十人2017)=<1)=乎.

答案：乎

三、解答题

10.求下列函数值域：

(l)y=sin2x-sinx；

f.KA[nn

⑵y=2sin(2x+司工豆一M

解：(l)^=sin2x-sinx=^sinx-o)2-4*

—1WsiruWl,

当sinx=g时，y有最小值一：；

当sinx=­l时，y有最大值2.

.*.y=sin2x—sinx的值域为一不2.

(2)V—*,•0冬.

6633

•■・0Wsin(2x+m)W1.

••・0W2sin3+§W2.・・.)=2sin(2x+$,—会看时，值域为[0,2].

11.己知一拳y(x)=sin2x+2sinr+2,求/(第的最大值和最小值，并

求出相应的x值.

解：令r=sinx,则由一如JTW中知一,WW1.

・・・儿。=8")=尸+2，+2=。+1)2+1.

当，=1时«x)取得最大值5,

7T

此时sinx=Lx=E；

当t=一；时，段)取最小值;.

171

此时sinx=­2，7.

31

12.若函数>=。-bsinx的最大值为2，最小值为一,,求函数y=-4〃sinbx

的最值和最小正周期.

a-b=一；,1

a=2f

解：当力>0时，由题意得

a-\-b=2>b=\.

；・y=­4〃sinbx=­2sinx.

此时函数的最大值为2,最小值为一2,最小正周期为2兀.

当bVO时，由题意得v

a+b=~^,

1

4=5，

b=-\.

•\y=-4as\nbx=-2sin(—x)—2sinx.

此时函数的最大值为2,最小值为一2,最小正周期为2兀.

综上知，函数y=-4〃siMx的最大值为2,最小值为一2,最小正周期为2兀.

<►能力提升

13.已知於)=sinav(a>0)的最小正周期为12.

⑴求4的值；

⑵求/1)+管)+«3)+…+胆018)的值.

解：(1)；/W=sinor(a>0)的最小正周期为⑵

(2)由(1)知｛r)=sin会:的最小正周期为12,

且五1)七/(2)+43)+…+412)=0,

/.y(i)+y(2)+/(3)+-+/2018)

=4。+加2)+43)+…+/(12)+/(13)+…+火2016)+犬2017)+/(2018)

=/(2017)+y(2018)

.2017n1.201871

=sin-—+sin-—

.兀।.兀1।S1+小

=sin工+-

第一章三角函数

§6余弦函数的图像与性质

6.1余弦函数的图像

6.2余弦函数的性质

课时跟踪检测

一、选择题

1.函数y=d—cosx+/i后的定义域是(以下女£Z)()

A.2E+],2E+兀]B.2E+；,2E+J

C.(2E+参2/+兀)D.(2E+]2E+兀

一cosx20,cosxWO,

解析：.'八即.、八

[sinx力0,、sinx30.

71

/.2Z：7t+z^x^7t4-2H,&£Z.

答案：A

2.已知函数y(x)=cos/则下列等式成立的是()

A.J(2n-x)=fix)B.7(27i+x)=yU)

C.犬一»=外)D.火兀一%)=/(x)

解析：x-X)=cos^-y^j=cos|=Xx).

答案：C

3.已知函数兀0的图像是中心对称图形，如果它的一个对称中心是g,0),

那么«!•)的解析式可以是()

A.sinxB.cosx

C.siru+1D.cosx+1

解析：由于y=cosx的对称中心是e+E,0)(%£Z),所以«幻的解析式可以

是COSX.

答案：B

解析：•・•函数的定义域关于原点对称，

且/(—x)=Incos(-x)=lncosx=fiix).

，於)为偶函数,排除B、D.

当Oa<^时，Ovcosx<l,Incosx<0,排除C.

答案：A

5.函数y=cos(x+W，xe0,5的值域是()

B.V23

D.

兀

一271

71一-

663

・，・一吴cos(x+gw坐，即值域是一寺，乎

答案：B

6.函数y=—gcosx,x£［0,2兀］,其单调性（）

A.在［0,用上是增函数，在［兀，2用上是减函数

B.在多y上是增函数，在0,口隹2兀上是减函数

C.在口，2兀］上是增函数，在［0,句上是减函数

D.在0,彳U作,27r上是增函数，在去苧上是减函数

2

解析：'jucosx在［0,兀］上是减函数，在［兀，2兀］上是增函数，又y=—gcosx

与y=cosx的单调性相反，

2

，y=—§cosx在［0,兀］上是增函数，在［兀，2兀］上是减函数.

答案：A

二、填空题

7.（2018・全国卷川）函数«r）=cos（3x+目在［0,兀］的零点个