《智能机器人学》课件-第2章 位姿描述与变换

第2章

位姿描述与变换主要内容2.1空间向量坐标运算2.2位置与姿态的描述2.3旋转矩阵与姿态角2.4齐次坐标变换2.5本章小结本节介绍空间坐标系中右手直角坐标系的概念，根据平面向量的性质求解空间向量的直角坐标运算，并通过向量的内积与外积引出法向量的概念。2.1空间向量坐标运算

2.1.1空间坐标系图2-1

直角坐标系

2.1.1空间坐标系

2.1.2空间向量的性质及运算图2-2

空间直角坐标系的坐标

2.1.2空间向量的性质及运算

2.1.2空间向量的性质及运算

2.1.2空间向量的性质及运算

2.1.2空间向量的性质及运算图2-3向量的坐标投影

2.1.2空间向量的性质及运算

2.1.2空间向量的性质及运算

2.1.2空间向量的性质及运算图2-4

向量的方向角

2.1.2空间向量的性质及运算

2.1.3向量内积与外积

2.1.3向量内积与外积

2.1.3向量内积与外积

2.1.3向量内积与外积也就是说，向量的点积可以用来表征两个向量之间的夹角，以及第一个向量在第二个向量方向上的投影。

2.1.3向量内积与外积

图2-5点积表征的投影

2.1.3向量内积与外积

2.1.3向量内积与外积

图2-6向量的叉乘为了描述现实世界中有关空间物体的机械运动，就要研究空间物体本身相对位置或自身各个部分相对位置发生变化的运动。一个空间物体的机械运动，选择的参照对象不同，对它的描述也就不同。因此，为了描述一个空间物体的机械运动，就要选择一个参照坐标系，这个坐标我们一般称之为世界坐标系（WorldFrame）。为了描述刚体在空间中相对世界坐标系的运动，可以在刚体质心上建立坐标系，这个坐标系称为本体坐标系（BodyFrame）。2.2位置与姿态的描述

2.2位置与姿态的描述图2-7坐标系{w}世界坐标系{B}本体坐标系一个刚体的运动，主要分为移动和转动两种。如图2-8所示，刚体的平面运动一般有3个自由度（3DegreeofFreedom）。刚体在空间中的运动，一般就有6个自由度（6DegreeofFreedom），即三个坐标分量和三个姿态分量。2.2位置与姿态的描述{w}世界坐标系{B}本体坐标系图2-8刚体运动那么在坐标系中，是如何表示刚体的移动和转动的呢？对于确定了的坐标系，可以用位置矢量，来表示世界坐标系上任一点的位置，如图2-9所示。2.2位置与姿态的描述图2-9位置矢量{w}世界坐标系{B}本体坐标系

2.2位置与姿态的描述

2.2位置与姿态的描述

2.2位置与姿态的描述

2.2位置与姿态的描述

2.2位置与姿态的描述例2.1如图2-10所示，求坐标系B相对于坐标系W的旋转矩阵。2.2位置与姿态的描述图2-10例2.1旋转矩阵{w}世界坐标系例2.2如图2-11所示，求坐标系B相对于坐标系W的旋转矩阵。2.2位置与姿态的描述上视图30°30°{w}世界坐标系图2-11例2.2旋转矩阵例2.3如图2-12所示，求坐标系W相对于坐标系B的旋转矩阵。2.2位置与姿态的描述以体坐标系为参考的上视图30°图2-12例2.3旋转矩阵{w}世界坐标系

2.2位置与姿态的描述图2-13例2.4向量转换{w}世界坐标系

2.2位置与姿态的描述图2-14绕Z轴旋转{w}世界坐标系

2.2位置与姿态的描述图2-15绕X轴旋转

2.2位置与姿态的描述图2-16绕Y轴旋转

2.2位置与姿态的描述图2-17

向量旋转变换{w}世界坐标系刚体转动的姿态，可以用旋转矩阵来描述。旋转矩阵可以反映固连在刚体上的坐标系，其三个坐标轴，在世界坐标系的三个坐标轴上的投影。此外，刚体在空间中的运动，有六个自由度（6DOF），分别为刚体质心位置在空间中的三个自由度（3DOF）的移动，以及与刚体固连的本体坐标系，分别绕世界坐标系的X，Y，Z轴旋转而产生的另外三个自由度（3DOF）的转动。并且，这个绕世界坐标系的X，Y，Z旋转得角度，称之为姿态角。2.3旋转矩阵与姿态角2.3旋转矩阵与姿态角那么，同样是描述刚体的转动，如果对于给定的一个旋转矩阵，如何换算出刚体绕世界坐标系的X，Y，Z轴转动的姿态角呢？图2-18

固定角坐标首先来看X-Y-Z固定角坐标，如图2-18所示。

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角所谓的Z-Y-X欧拉角表示法，就是一开始本体坐标系B与世界坐标系W重合，然后依次绕本体坐标系B的Z-Y-X轴旋转，这里每一次旋转，均是根据上一次旋转所在位置而进行。这三次旋转的角度称为欧拉角。如图2-19所示。2.3旋转矩阵与姿态角所谓的Z-Y-X欧拉角表示法，就是一开始本体坐标系B与世界坐标系W重合，然后依次绕本体坐标系B的Z-Y-X轴旋转，这里每一次旋转，均是根据上一次旋转所在位置而进行。这三次旋转的角度称为欧拉角。如图2-19所示。2.3旋转矩阵与姿态角图2-19

欧拉角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.3旋转矩阵与姿态角

2.4齐次坐标变换验证式（2-50）。1）坐标平移映射所谓映射，就是从一个坐标系到另一个坐标系的变换。如图2-21所示。2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换图2-23表示了坐标系间直接既有平移，又有转动的情况。2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换例2.7如图2-24所示，已知坐标系B的原点，在坐标系W中的位置为(10,5,0)，空间中一点P，在坐标系B中的坐标为(3,7,0)，坐标系B的姿态为绕Z轴以右手准则正向旋转30度。求点P在坐标系W中的表示。2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换可以从投影的角度来验证上式计算的正确性，如图2-25所示。2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

图2-28先转动再移动

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换

2.4齐次坐标变换图2-30

先转动再移动的变换

2.4齐次坐标变换图2-31

向量在三个坐标系之间的连续变换