《计算机控制系统基础》课件-第4章

第4章计算机控制系统的数学模型4.1计算机控制系统数学模型的建立4.2计算机控制系统的状态空间模型4.3计算机控制系统的时域模型4.4

计算机控制系统的频域模型4.5MATLAB实例仿真小结

4.1计算机控制系统数学模型的建立

数学建模通常有两种不同的方法:分析法和实验法。分析法是系统地应用现有的科学理论与定律,对系统各部分的运动机理进行分析,并进一步按照系统中各组成部分之间的相互关系来获得数学模型的方法。各种物理规律、化学规律以及其他科学理论的合理应用是分析法建模的基础。实验法则是在一组假想或假设的模型中,需要人为地施加某种测试信号,并记录基本输出响应,才能求得与系统实测数据吻合最好的模型的建模方法,因此也称系统辨识。

1.分析法

分析法建立系统数学模型的一般步骤如下:

(1)建立物理模型。

(2)列写原始方程,利用适当的物理定律,例如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。

(3)选定系统的输入量、输出量及状态变量(仅在建立状态模型时要求),消去中间变量,建立适当的输入/输出模型或状态空间模型。

2.实验法

实验法即基于系统辨识的建模方法,其步骤如下:

(1)已知知识和辨识目的。

(2)实验设计:选择实验条件。

(3)模型阶次选择:选择适合于应用的适当的阶次。

(4)参数估计:常采用最小二乘法进行参数估计。

(5)模型验证:将实际输出与模型的计算输出进行比较,系统模型需保证两个输出之间在选定意义上接近。

4.2计算机控制系统的状态空间模型

1.状态变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个n阶微分方程描述的系统就有n个独立变量。当这n个独立变量的时间响应都求得时,系统的运动状态也就揭示无遗了。因此,可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。

同一个系统,究竟选取哪些变量作为独立变量,这是不唯一的,重要的是这些变量应该是相互独立的,且其个数应等于微分方程的阶数;又由于微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数,因此状态变量的个数应等于系统独立储能元件的个数。

众所周知,n阶微分方程式要有唯一确定的解,必须要知道n个独立的初始条件。很明显,这n个独立变量的初始条件就是一组状态变量在初始时刻t0的值。

综上所述,状态变量是既足以完全确定系统运动状态而且个数又是最小的一组变量,当其在t=t0时刻的值已知时,则在给定t≥t0时刻的输入作用下,便能完全确定系统在任何时刻的行为。

2.状态矢量

如果n个状态变量用x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t)表示,并把这些状态变量看作是矢量x(t)的分量,则x(t)就被称为状态矢量,记作:

3.状态空间

以状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的n维空间称为状态空间。在特定时刻t,状态矢量x(t)是状态空间中的一点。已知初始时刻t0的状态为x(t0),就可得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移,x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹,称为状态轨线。状态矢量的状态空间表示,将矢量的代数表示和几何概念联系起来了。

4.状态方程

由系统的状态变量构成的一阶微分方程组被称为系统的状态方程。

以图4-1所示的RLC电路网络为例,说明如何用状态变量描述这一系统。

图4-1RLC电路网络

根据电学原理,可写出两个含有状态变量的一阶微分方程:

即

式(4-1)就是图4-1系统的状态方程,式中若将状态变量用一般符号xi表示,即令x1=uC,x2=i,并写成矢量矩阵形式,则状态方程为

或

式中

5.输出方程

在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式被称为系统的输出方程。例如在图4-1系统中,指定x1=uC作为输出,输出一般用y表示,则有

或

式(4-3)就是图4-1系统的输出方程,它的矩阵表达式为

或

式中

6.状态空间表达式

状态方程和输出方程综和起来构成对系统动态行为的完整描述,被称为系统的状态空间表达式,式(4-2)和式(4-4)就是图4-1系统的状态空间表达式。

在经典控制理论中,通常用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态方程。如图4-1所示的系统,在以uC

作输出时,从式(4-1)消去中间变量i,得到的二阶微分方程为

其相应的传递函数为

因而多输入多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为

式中,x和A为同单输入系统,分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵;

4.3计算机控制系统的时域模型

计算机控制系统的时域模型主要以微(差)分方程的形式表达,建立在传递函数基础之上,也称输入/输出描述法。其中,微分方程是连续时间系统数学模型的最基本表达形式,N阶线性常系数微分方程的基本形式为

相应地,差分方程是离散时间系统数学模型的最基本表达形式,N阶线性常系数差分方程的基本形式为

4.3.1线性常系数微分方程

在计算机控制系统中往往存在储能元件(电容、电感)、惯性元件(质量、电感)、容性元件(电容、热容)等,考虑到物理系统输入/输出间的因果关系,其数学模型的阶次等于系统

中独立储能元件的个数。组成系统的元件或多或少地存在着非线性特性,实际意义上纯粹的线性系统是不存在的,对非本质的非线性特性需要进行线性化处理,即线性近似。比较简单常用的线性近似法就是小偏差线性化:若系统在工作点A附近很小的范围内工作,就以A点处的切线来代替该范围内很小一段曲线。

工作点不同,则线性化方程的系数不同,因此线性化必须在某一个工作点处进行;工作点不同则线性化的结果也不一样。线性化的条件是在工作点附近的小范围内满足小偏差的条件。线性化只能针对非本质非线性特性进行,线性化的结果是得到工作点附近(邻域)变量增量Δx、Δy的线性方程式,习惯上仍写成x、y。

在图4-1中,根据电学原理,可以写出两个含有状态变量的一阶微分方程:

4.3.2线性常系数差分方程

如果系统的输入、输出特性是线性的,则该系统为线性系统。其基本特性满足叠加原理:L(c1u1+c2u2)=c1L(u1)+c2L(u2),也就是说,满足叠加原理的系统即为线性系统,有下面的关系表达式:

4.4计算机控制系统的频域模型

系统的微分方程或差分方程是在时间域里描述系统动态性能的数学模型。在给定输入及初始条件下,对方程求解即可得到系统的输出。这种方法比较直观,但却难以得到方程中的系数(对应于系统中元件的参数)对系统输出(系统被控量)的影响,因此不便于系统的分析与设计。

4.4.1Z变换法解差分方程

计算机控制系统是线性离散系统或近似当做线性离散系统。研究一个物理系统,必须建立相应的数学模型,解决数学描述和分析工具的问题。Z变换及其反变换就是分析和设计计算机控制系统的重要工具之一。在离散系统中用Z变换求解差分方程,也使得求解运算变成了代数运算,大大简化和方便了离散系统的分析和综合。用Z变换求解差分方程,主要用到了Z变换的实数位移定理。

求解差分方程的一般方法可以归结如下:

(1)差分方程两端同时取Z变换。

(2)用初始条件化简Z变换式。

(3)Z变换式改写成以下形式:

(4)解X(z)的Z反变换,即可得到差分方程的解。

4.4.2连续时间系统的传递函数

微分方程反映了连续时间系统输入信号和输出信号之间的联系,是系统的最基本表达形式。尤其是线性常系数微分方程,常用来表达线性定常系统。拉普拉斯变换是通过变换的方式对线性常系数微分方程进行分析求解的一种重要方法。

傅里叶变换对:

拉普拉斯变换对:

如图4-2所示,经过拉普拉斯变换可以将连续时间系统从时域转移到频域进行分析。连续时间系统的3种数学模型之间的关系如图4-3所示,比如同一个系统可以在时域和频域分别用式(4-19)、式(4-20)、式(4-21)来分析。图4-2时域到频域的变换图4-33种数学模型的关系

4.4.3离散时间系统的传递函数

1.离散时间系统传递函数的基本概念

对于离散系统,一般用差分方程来描述,其形式为

定义该离散系统的传递函数为:初始条件为零时,系统输出、输入序列的Z变换的比值:

2.离散时间系统的开环脉冲传递函数

在图4-4(a)所示的开环系统中,两个串联环节之间有采样开关存在,这时

在图4-4(b)所示的系统中,两个串联环节之间没有采样开关隔离,这时系统的开环脉冲传递函数为

式(4-22)和式(4-23)中的G1G2(z)≠G1(z)G2(z)

图4-4-两种开环串联结构

3.离散时间系统的闭环脉冲传递函数

由图4-5所示的闭环系统可得

图4-5闭环采样控制系统

闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数为

与线性连续系统类似,闭环脉冲传递函数的分母1+GH(z)=0即为闭环采样控制系统的特征多项式。

计算机控制系统中往往有数字控制器环节,如图4-6所示,具有数字控制器的采样系统的闭环传递函数为

图4-6具有数字控制器的采样系统

例4-3判断图4-7所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性。图4-7采样系统

解开环脉冲传递函数为

4.5MATLAB实例仿真

基于MATLAB的Z变换使用ztrans、iztrans函数分别求出离散时间信号的Z变换和逆Z变换(也称Z反变换)的结果,并用pretty函数对结果进行变换。

2.求x(n)=n4-的Z变换

3.求x(n)=sin(an+b)的Z变换

小结计算机控制系