考研数学-函数与极限

PAGEPAGE1题型1函数的性质一、基础知识1.单调性判断单调性的方法:(1)根据定义,考察的符号;(2)根据导数的符号.2.奇偶性奇偶性的性质:(1)奇函数的图形关于原点对称,且；偶函数的图形关于轴对称.(2)奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇.判断奇偶性的方法：(1)奇偶性的定义(2)奇偶性的性质(3)奇函数单调性多结合导数考查奇偶性结合变上限函数考查.(放后面讲)3.有界性判断有界性的方法:(1)闭区间上的连续函数定为有界函数.(2)开区间内的连续函数考察与,若二者的极限都存在,在内有界.(3)适当放大或缩小有关表达式导出有界.(4)利用基本初等函数的图形.4.周期性定义域为.正数,使得对于任一,有,且恒成立,则称为周期函数.称为的周期.二、例题例1.判别函数的奇偶性.【答案】,奇函数.例2.在内函数为【D】(A)奇函数.(B)偶函数.(C)无界函数.(D)有界函数.例3.(04－34)函数在下列哪个区间内有界【A】(A).(B).(C).(D).练习1.设，则是【C】(A)偶函数.(B)周期函数.(C)无界函数.(D)单调函数.题型2数列的极限一、基础知识符号定义:当时,恒有成立数列极限存在准则:夹逼准则单调有解准则二、例题考查定义例1.下列命题中正确的是【D】(A)当越大时,越小,则必以为极限(B)当越大时,越接近于零,则必以为极限(C)当时,有无穷项满足,则必以为极限(D)当时,仅有有限多项不满足,则必以为极限(2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限例2.(022)设,,证明数列的极限存在,并求此极限.【答案】例3(06-12-12分)设数列满足.(Ⅰ)证明存在,并求该极限.(Ⅱ)计算.【答案】0,练习1.设证明数列的极限存在,并求此极限.【答案】12.证明数列的极限存在,并求此极限.【答案】23.(96-1)设,试证数列的极限存在,并求此极限.【答案】3（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求项和的极限例4.(04-2)等于【】（A）.（B）.（C）.（D）.例5.（98-1）求.【答案】.练习(02-2).(99-4)设函数则.题型3函数的极限(**)一、基础知识(1)符号定义:当时,恒有成立(2)符号定义:当时,恒有成立（3）两个重要极限a.b.(4)无穷小量的性质有限个无穷小量的“代数和”“乘积”无穷小量;常数或有界函数与无穷小量的乘积无穷小量;无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量;无穷大量的倒数是无穷小量．（5）常用的等价无穷小代换：当时,．等价无穷小代换常常使用在极限运算中,起到简化运算的作用,但必须注意,只能在乘除中使用,不能在加减运算中使用．（6）洛必达法则如果函数和满足（1）当,（2）,（3）极限存在（或为无穷大）,那么（7）无穷小量阶的比较定义:设是在同一极限过程中的无穷小,又也是这个变化过程中的极限．（1）――――比“高阶”的无穷小,记作;（2）――――比“低阶”的无穷小;（3）（常数）――――与是“同阶”无穷小;（4）如果,则与是“等价”无穷小,记作．洛必达法则的使用原则:先用代数恒等变形把非0非因子用极限法则分离出去.再尽量用等价无穷小化简.最后使用洛必达法则.极限问题:定义理解是基础，运算性质是关键.除上述方法必要时可采用具有皮亚诺余项形式的泰勒公式.二、例题考查定义、性质、定理例1.设都不存在,则【D】(A)一定不存在.(B)一定不存在.(C)当与有一个存在，则另一个一定存在.(D)与都有可能存在.例2．设时，不是无穷大，则下述结论正确的是【D】(A)若是无穷小，则必是无穷小.(B)若不是无穷小，则必不是无穷小.(C)若在的邻域内无界，则必是无穷大.(D)若在的邻域内有界，则必不是无穷大.（二）型未定式极限例3.(07-2)=.例4.(07-34)=0.例5.(06-2)=2.例6.(06-34-7分)设求（1）; （2）.【答案】(1);(2).例7.(05-34)=2.例8.=.练习1..2.(99-2).3.(92-1)1.4.(93-2)－50.5.(99-1).6.(91-2).（三）幂指函数求极限（）例9.（06-34）1.例10.（04-2-10分）求极限.【答案】例11.(90-1)设是非零常数,则.练习1.(03-1).2.1.3..(四)无穷小阶的比较例12.(07-1234)当时，与等价的无穷小量是【B】(A).(B).(C).(D).例13.(04-12)把时的无穷小,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是【B】(A).(B).(C).(D).练习1.(97-3)设,则当时,的【C】(A)同阶非等价.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)低阶无穷小.2.(97-4)设在点的某邻域内连续,且当时,的高阶无穷小,则当时,是的【C】(A)同阶非等价.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)低阶无穷小.（五）由无穷小量阶的比较确定未知量的值例14.（05-2）已知当时,与是等价无穷小,则常数=．例15.(02-1)设函数在