2023-2024学年湖北省部分学校高二上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，因此该抛物线的焦点在横轴的正半轴上，且，所以该抛物线的焦点坐标为故选：C2.在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】如图所示，在三棱柱中，，，依题意，故选：A.3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】向量，，，，向量在向量方向上的投影向量的模为.故选：D.4.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为空间三点、、，则，，所以，，，，所以，，因为，则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为.故选：D.5.若点是圆:上一点,则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】圆:可化为表示点Px,y到点O0,0的距离的平方因为，所以的最小值为.故选：B.6.设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（）A4 B.6 C.24 D.26【答案】B【解析】结合题意：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以圆心距为，而，因为两圆相外切，所以，即.故选：B.7.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是 B.直线在轴上的截距为1C.若直线，则 D.过与直线平行的直线方程是【答案】D【解析】直线变为，对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误，对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误，对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误，对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确，故选：D8.已知为双曲线的右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，交：于点.若，，则双曲线的离心率为（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】由题意得，即双曲线的右准线.如图，过，作右准线的垂线，垂足为，，轴与右准线的交点为.因为，所以是的中点，,由双曲线第二定义可得，可得，又由相似三角形可得，所以，所以，因为，所以，，，又由相似三角形可得，因为，，，所以综上可化为，解得，所以.故选：C.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知椭圆上有不同两点，，，则（）A若过原点，则B.，的最小值为C.若，则的最大值为9D.，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为【答案】ABD【解析】因为椭圆，所以，则是其右焦点，对于A，设椭圆的左焦点为，因为过原点，所以由椭圆的对称性易知四边形是平行四边形，则，故A正确；对于B，因为，则，又，所以，当在线段与椭圆的交点位置时，等号成立，故B正确；对于C，当轴，点为椭圆的右顶点时，满足，此时，但，故C错误；对于D，因为Ax1,y1在椭圆上，所以所以，同理：，而由，可知，所以由，得，则，故可设的中点坐标为，又在椭圆上，所以，，两式相减，得，所以.所以直线的斜率为，则直线的方程为，令，得，即，所以直线的斜率，故D正确.故选：ABD.10.直线过抛物线C：（）的焦点F，且与C交于A，B两点，为C的准线，则（）A.B.C.（设）D.准线与以为直径的圆相切【答案】ACD【解析】抛物线C：（）的焦点为，焦点在直线上，则，解得，故A正确；抛物线C的方程为，焦点F1,0，准线为，由，消去并整理得，，设，则，，则，故B错误；由可知在第一象限，知，得，由方程，解得，因此，则，故C正确；线段的中点的横坐标，则线段中点到准线的距离为，因此准线与以为直径的圆相切，故D正确．故选：ACD．11.如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.的最小值为C.若直线与所成角的余弦值为，则D.若是的中点，则到平面的距离为【答案】ABD【解析】在正方体中，因为平面，平面，所以平面平面，故A正确；连接，由平面，平面，得，故在中，当点与重合时，取最小值，故B正确；如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，，假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，则，解得（舍去），或，此时点是中点，，故C错误；由且平面，平面，知平面，则到平面的距离，即为到平面的距离；是的中点，故，，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，即，取，则，，故，所以点到平面的距离为，即到平面的距离为，D正确．故选：ABD12.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（）A.观测点之间的距离是B.圆的方程为C.小汽车行驶路线所在直线的方程为D.小汽车会进入安全预警区【答案】BD【解析】由题意，得，所以，即观测点之间的距离是，故A错误；设圆的方程为，因为圆经过三点，所以，解得，所以圆的方程为，故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误；圆化成标准方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题.13.圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________．【答案】【解析】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以，圆心坐标为，半径，所以，此圆的标准方程是．故答案为：.14.对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为__________．【答案】【解析】直线的方程可化为，令，解得，所以直线过定点，当直线经过O0,0时，此时，即，故，当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明：当与直线垂直时，记直线为，当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为，过作交于点，如下图所示，由图可知：为直角三角形且为斜边，所以，所以取最大值时，与直线垂直，故，但此时的方程为，即为，此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，所以，故答案为：.15.如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，令，则，故平面的法向量为，又，则点到平面的距离为.故答案为：16.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在内，点在上，则的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意得，，又因为点在内，所以，解得，而，不妨设，则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点.（1）求圆C的标准方程；（2）直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.解：（1）联立，解得，故半径为，故圆C的标准方程为；（2）设圆心到直线的距离为，则由垂径定理得，解得，即，解得，故直线l的方程为，即.18.已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.解：（1）直线的斜率为，从而的直线方程为：，即，联立方程与中线所在直线方程，可得，故点的坐标为.（2）因为为边上的高，所以的直线方程为：.设点的坐标为，由点在直线上可得；的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即，故可得，即点坐标为.则直线的斜率为，故直线方程为：.19.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则，又，平面，平面，所以平面.（2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则，则，，设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则取，则.设二面角大小为，则，所以二面角的正弦值为.【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设得，，，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．所以．因此二面角的正弦值为．20.如图:在四棱锥中,，，平面，，为的中点，，．（1）证明：；（2）求平面与平面所成夹角．解：（1）由，，故，又平面，、平面，故、，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中轴，由题意可得A0,0,0、、、、，则，，，，，由为的中点，故，则，，则，故，故；（2）由（1）知、、，且、，故，设平面与平面的法向量分别为m=x1,y则有、，即、，不妨分别取，，则可得、，则，故，即平面与平面所成夹角为.21.椭圆：长轴长为，左右焦点分别为和，为椭圆上一点，且，．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点，求证：直线，的斜率之和为定值．解：（1）椭圆长轴长为，所以，，因为为椭圆上一点，所以，又，所以，因为，所以，即，解得，由，知，所以椭圆的方程.（2）设，，，当直线的斜率不存在时，与椭圆有且只有一个交点，不合题意，当直线的斜率存在时，设的方程为，所以联立方程，整理得，所以，，由韦达定理得，，，直线，的斜率之和为定值.22.已知如图，点为椭圆短轴的两个端点，且的坐标为0,1，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.解：（1）由题知解得.故椭圆的方程为.（2）方法一：显然直线不能水平，故设直线方程为，设，由得，令得，.所以，令，得.故直线方程为，直线方程为.由得，将中换成得.，为线段中点，又为中点，四边形为平行四边形.方法二：设.直线方程为，当直线的斜率不存在时，设方程为，此时，直线方程的为，由得，同理，当直线斜率存在时，设方程为，由得.令得，.由韦达定理得.将代入得直线的方程为由得同理可得.，，综上所述，为线段中点，又中点，四边形为平行四边形.湖北省部分学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，因此该抛物线的焦点在横轴的正半轴上，且，所以该抛物线的焦点坐标为故选：C2.在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】如图所示，在三棱柱中，，，依题意，故选：A.3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】向量，，，，向量在向量方向上的投影向量的模为.故选：D.4.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为空间三点、、，则，，所以，，，，所以，，因为，则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为.故选：D.5.若点是圆:上一点,则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】圆:可化为表示点Px,y到点O0,0的距离的平方因为，所以的最小值为.故选：B.6.设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（）A4 B.6 C.24 D.26【答案】B【解析】结合题意：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以圆心距为，而，因为两圆相外切，所以，即.故选：B.7.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是 B.直线在轴上的截距为1C.若直线，则 D.过与直线平行的直线方程是【答案】D【解析】直线变为，对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误，对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误，对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误，对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确，故选：D8.已知为双曲线的右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，交：于点.若，，则双曲线的离心率为（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】由题意得，即双曲线的右准线.如图，过，作右准线的垂线，垂足为，，轴与右准线的交点为.因为，所以是的中点，,由双曲线第二定义可得，可得，又由相似三角形可得，所以，所以，因为，所以，，，又由相似三角形可得，因为，，，所以综上可化为，解得，所以.故选：C.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知椭圆上有不同两点，，，则（）A若过原点，则B.，的最小值为C.若，则的最大值为9D.，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为【答案】ABD【解析】因为椭圆，所以，则是其右焦点，对于A，设椭圆的左焦点为，因为过原点，所以由椭圆的对称性易知四边形是平行四边形，则，故A正确；对于B，因为，则，又，所以，当在线段与椭圆的交点位置时，等号成立，故B正确；对于C，当轴，点为椭圆的右顶点时，满足，此时，但，故C错误；对于D，因为Ax1,y1在椭圆上，所以所以，同理：，而由，可知，所以由，得，则，故可设的中点坐标为，又在椭圆上，所以，，两式相减，得，所以.所以直线的斜率为，则直线的方程为，令，得，即，所以直线的斜率，故D正确.故选：ABD.10.直线过抛物线C：（）的焦点F，且与C交于A，B两点，为C的准线，则（）A.B.C.（设）D.准线与以为直径的圆相切【答案】ACD【解析】抛物线C：（）的焦点为，焦点在直线上，则，解得，故A正确；抛物线C的方程为，焦点F1,0，准线为，由，消去并整理得，，设，则，，则，故B错误；由可知在第一象限，知，得，由方程，解得，因此，则，故C正确；线段的中点的横坐标，则线段中点到准线的距离为，因此准线与以为直径的圆相切，故D正确．故选：ACD．11.如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.的最小值为C.若直线与所成角的余弦值为，则D.若是的中点，则到平面的距离为【答案】ABD【解析】在正方体中，因为平面，平面，所以平面平面，故A正确；连接，由平面，平面，得，故在中，当点与重合时，取最小值，故B正确；如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，，假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，则，解得（舍去），或，此时点是中点，，故C错误；由且平面，平面，知平面，则到平面的距离，即为到平面的距离；是的中点，故，，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，即，取，则，，故，所以点到平面的距离为，即到平面的距离为，D正确．故选：ABD12.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（）A.观测点之间的距离是B.圆的方程为C.小汽车行驶路线所在直线的方程为D.小汽车会进入安全预警区【答案】BD【解析】由题意，得，所以，即观测点之间的距离是，故A错误；设圆的方程为，因为圆经过三点，所以，解得，所以圆的方程为，故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误；圆化成标准方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题.13.圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________．【答案】【解析】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以，圆心坐标为，半径，所以，此圆的标准方程是．故答案为：.14.对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为__________．【答案】【解析】直线的方程可化为，令，解得，所以直线过定点，当直线经过O0,0时，此时，即，故，当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明：当与直线垂直时，记直线为，当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为，过作交于点，如下图所示，由图可知：为直角三角形且为斜边，所以，所以取最大值时，与直线垂直，故，但此时的方程为，即为，此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，所以，故答案为：.15.如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，令，则，故平面的法向量为，又，则点到平面的距离为.故答案为：16.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在内，点在上，则的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意得，，又因为点在内，所以，解得，而，不妨设，则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点.（1）求圆C的标准方程；（2）直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.解：（1）联立，解得，故半径为，故圆C的标准方程为；（2）设圆心到直线的距离为，则由垂径定理得，解得，即，解得，故直线l的方程为，即.18.已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.解：（1）直线的斜率为，从而的直线方程为：，即，联立方程与中线所在直线方程，可得，故点的坐标为.（2）因为为边上的高，所以的直线方程为：.设点的坐标为，由点在直线上可得；的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即，故可得，即点坐标为.则直线的斜率为，故直线方程为：.19.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则，又，平面，平面，所以平面.（2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则，则，，设面的法