备战2023年高考数学一轮复习-第1讲-直线的方程

第1讲直线的方程第八章平面解析几何考向预测核心素养直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.直观想象、数学运算01基础知识回顾一、知识梳理1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则____就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，____________________________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为___________________．x轴正向与直线l向上的方向3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝____________(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝________．正切值tanα4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式__________________不含直线x＝x0斜截式______________不含垂直于x轴的直线两点式_______________(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名称方程适用范围截距式____________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________________平面直角坐标系内的直线都适用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

常用结论1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系2.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P58习题2.1T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

)A．1

B.4

C.1或3

D.1或4√2．(人A选择性必修第一册P60例1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．答案：x－y－5＝03．(人A选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(

)(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(

)(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(

)×××√√√2．(不理解直线位置关系致误)如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(

)A．第一象限

B.第二象限C．第三象限

D.第四象限√02核心考点共研考点一直线的倾斜角与斜率(思维发散)复习指导：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．√【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，√

本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB恒相交，则k的取值范围是________________．解析：直线l过定点P(0，0)，(1)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；(2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．|跟踪训练|1．已知直线方程为xcos300°＋ysin300°＝3，则直线的倾斜角为(

)A．60°

B.60°或300°C．30°

D.30°或330°√因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)，所以倾斜角为30°，故选C.考点二直线的方程(自主练透)复习指导：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(

)A．2x＋y－12＝0

B.2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D.2x－y＋8＝0√√√√故方程可以表示平行于x，y轴和经过坐标原点的直线，故C正确；当a＝0，b≠0时，方程为bx＝0，当b＝0，a≠0时，方程为ay＝0不能表示平行于x，y轴的直线，故D正确．3．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________．解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－7＝04．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________________．巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意]

(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.考点三直线方程的综合应用(思维发散)复习指导：求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．

(一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．|跟踪训练|已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．03课后达标检测√√√3．(2022·江西省抚州检测)已知k＋b＝0，k≠0，则直线y＝kx＋b的位置可能是(

)解析：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即b＝－k，所以y＝kx－k＝k(x－1)，令y＝0，得x＝1，所以直线与x轴的交点坐标为(1，0)．只有选项B中的图象符合要求．4．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(

)A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)√5．(多选)(2022·昌平一中期中考试改编)直线l过点P(2，－1)且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为(

)A．x－y－3＝0 B.2x＋y－3＝0C．x＋2y＝0 D.x＋y－1＝0√√7．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是________．解析：如图，要想使折叠后O点落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合，又当折叠后O与C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，所以k的取值范围是答案：[－2，0]8．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝_____；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________．答案：5

19．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解：(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.10．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线DE的方程．因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.√√对于B，当m＝0