2021年高中数学新人教A版必修第二册第七章复数达标检测卷 卷一 解析版

此卷只装订不密封班级姓名准考证号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号复数（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为数满足，所以，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．2．，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，故，故，故，故选B．3．欧拉公式（是自然对数的底，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据欧拉公式可得，当时，，复数对应的点在第一象限；当时，，复数对应的点在第二象限；当时，，复数对应的点在y轴负半轴上；当时，，复数对应的点在第四象限，故选B．4．复数的一个立方根是，它的另外两个立方根是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，的立方根为（其中），当时，得；当时，得；当时，得，故选D．5．若(，是虚数单位)，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，而表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，由图象可知：的最小值应为点到的距离，而，圆的半径为1，故的最小值为，故选D．6．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆【答案】C【解析】因为，所以，，因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，故选C．7．设是虚数单位，则的值为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，可得，则，，可得，可得，故选B．8．设有下面四个命题：若满足，则；：若虚数是方程的根，则也是方程的根；：已知复数，则的充要条件是；：若复数，则．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于中，若，设，则，所以是正确的；对于中，若虚数是方程的根，则也一定是方程的一个根，所以是正确的；对于中，例如，则，此时，所以不正确；对于中，若，则必为实数，所以是正确的，综上正确命题的个数为三个，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数是实数的充要条件是B．复数是纯虚数的充要条件是C．若，互为共轭复数，则是实数D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称【答案】AC【解析】对于A：复数是实数的充要条件是，显然成立，故A正确；对于B：若复数是纯虚数，则且，故B错误；对于C：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故C正确；对于D：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故D错误，故选AC．10．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数，则B．若复数满足，则C．若复数满足，则D．若复数，满足，则【答案】AC【解析】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；B选项，设复数，则，因为，所，若，则，故B错；C选项，设复数，则，因为，所以，即，所以；故C正确；D选项，设复数，，则，因为，所以，若，能满足，但，故D错误，故选AC．11．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（）A．点的坐标为B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．与z对应的点Z间的距离的最小值为【答案】ACD【解析】复数在复平面内对应的点为，A正确；复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；设，代入，得，即，整理得，即Z点在直线上，C正确；易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确，故选ACD．12．对任意，，，下列结论成立的是（）A．当，时，有B．当，时，若，则且C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且D．的充要条件是【答案】AC【解析】由复数乘法的运算律知，A正确；取，，满足，但且不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由能推出；但推不出，因此的必要不充分条件是，D错误，故选AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设i为虚数单位，，若，，则_________．【答案】【解析】由题得，，故答案为．14．关于的方程有实数解，则__________．【答案】2【解析】因为方程有实数解，所以可以看成实数，方程可整理成，根据复数相等的条件得，解得，故答案为2．15．已知复数．（1）若复数是实数，则实数___________；（2）若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为___________．【答案】，【解析】（1）是实数，则有，解得或．又当时，，所以是实数时，．（2）z所对的点位于第二象限，则有且，解得，故答案为，．16．复数是方程的一个根，那么的值等于________．【答案】【解析】因为复数是方程的一个根，所以，故答案为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，，．（1）求，，对应的复数；（2）判断的形状；（3）求的面积．【答案】（1），，；（2）直角三角形；（3）2．【解析】（1）对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为．（2）由（1）知，，，∴，∴为直角三角形．（3）．18．（12分）设复数，复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式．【答案】．【解析】因为，设，，，由题设知，所以．又，所以，所以．19．（12分）已知复数．（1）设，求的值；（2）求满足不等式的实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），．（2）不等式为，即，即，整理得且，解得或，所以实数的取值范围是．20．（12分）已知关于x的方程有实数根b．（1）求实数a，b的值；（2）若复数满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）是方程的实根，，，解得．（2）设，由，得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，当点在的连线上时，有最大值或最小值，，半径，当时，有最小值且．21．（12分）对任意一个非零复数，定义集合．（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合．（2）若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为是方程的一个根，即，所以或，易知不论还是，都有，所以．（2）不妨取，则，，所以，符合题意（或取）．22．（