江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 含解析

高二数学试卷注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（）A.13种B.42种C.种D.种【答案】B【解析】【分析】根据分步乘法计数原理求解即可．【详解】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法；6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法，从这些书中任取1本历史书和1本地理书，根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种.故选：B.2.已知直线与直线平行，则（）A.1B.3C.1或D.或3【答案】C【解析】【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或，第1页/共18页经检验，当或时，均满足两条直线平行.故选：C3.若直线与圆只有一个公共点，则（）A.B.1C.0D.2【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，可得直线与圆相切，再借助点到直线距离公式计算即得.【详解】依题意，直线与圆相切，而圆的圆心，半径为1，因此，解得，所以.故选：C4.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（）附：若，则，，.A.8413B.9772C.9974D.9987【答案】D【解析】【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于150g的概率，即可得解.【详解】由可知，，，则，故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987.故选：D5.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（）A.种B.种C.种D.种第2页/共18页【答案】C【解析】【分析】利用插空法可求得结果.【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序，然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中，从个空位中抽取个空位进行排序，由插空法可知，不同的串法有种.故选：C.6.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】在C的渐近线上得，.【详解】由知，又，所以.由，则为焦点F到渐近线即的距离，所以，在中，，由点在C的渐近线上，所以，即，所以，第3页/共18页所以C的方程为.故选：A7.小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（）注：设X，Y两个随机变量，则有.A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可.【详解】服从二项分布，.同理，，.故选：C.8.在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解即可.【详解】因为，则，又因为，，，则，且，，则，可得，则第4页/共18页，所以，即.故选：B.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（）A.直线至少经过点中的一个点B.直线必经过点C.样本相关系数与回归系数同号D.对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强【答案】BCD【解析】【分析】根据回归直线性质、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案.【详解】回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确.样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数为负时，两个变量为负相关，回归系数为负.故样本相关系数与回归系数同号，C正确.样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确.故选：BCD.10.如图，在八面体中，，，，均是边长为4的正三角形，且平面，，均垂直于底面，下列结论正确的是（）第5页/共18页A.B.为正三角形C.点到平面的距离为2D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理判断A；证明、，判断B；利用线面平行的性质求出点到平面的距离判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的余弦判断D.【详解】取的中点，连接，在正，正中，，由平面平面，平面平面，平面，则平面，同理平面，于是，四边形为平行四边形，，，而，，因此，，A正确；同理，，则，即为正三角形，B正确；由，平面，平面，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，连接，是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，而点到平面的距离为，因此点到平面的距离为，C错误；记的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，第6页/共18页则点，，，，，，，所以直线与直线所成角的余弦值为，D正确.故选：ABD已知AB分别为椭圆：D为C的上顶点，E为CE作M，分别与y轴交于点HG，则下列结论正确的是（）A.若D是的中点，则B.若M是C的左焦点，则G是的中点C.D.若M是的中点，则【答案】AC【解析】【分析】对A：求出直线的方程，与椭圆联立，求出点及的坐标，即可求解；对B：求出直线的方程，可得点的坐标，即可判断；对C：设，求出直线，的方程，求出点及DC，即可求解.第7页/共18页【详解】由是的中点，则，又，则直线的方程为，与联立可得，解得或，将代入，可得，，即，则，故，A正确.若是的左焦点，则，直线的方程为.令，得，所以.令，得，即当时，是的中点，B错误.设，直线，的斜率分别为，，则，，.直线，的方程分别为，，分别令，可得，，所以，.，C正确.由∽得，由∽得，可得.因为是的中点，所以.结合，可得，所以，D错误.第8页/共18页故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分把答案填在答题卡中的横线上.12.展开式中的系数为________.【答案】【解析】【分析】根据二项式定理通项公式法计算即可。【详解】根据二项式定理通项公式，知道展开式中的系数为.故答案为：.13.已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则________.【答案】2【解析】【分析】根据题意可得点，再利用抛物线的定义即可得结果.【详解】由题意得，设，的中点为，则.因为以为直径的圆与轴相切于点，则，即，解得，则，所以故答案为：214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的第9页/共18页1分的概率为_________，甲的总得分为1的概率为_________.【答案】①.②.【解析】1分”为事件，即可.②甲的总得分可能为0，1，2，分别求甲的总得分为0，2的概率，即得“甲的总得分为1的概率”.【详解】设样本空间为，甲在第一轮比赛中得1分为事件A，在第一轮比赛中，甲、乙两人所选卡片上的数字可能为（1，21，43，23，4只有一种情况（3，2）满足甲在第一轮比赛中得1分，即，所以甲在第一轮比赛中得1分的概率为.甲的总得分可能为012.由于对称性，不妨固定乙四轮所选卡片上的数字依次为（2244所选卡片上的数字有种排序方法.若甲的总得分为0，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（1，1，3，3若甲的总得分为2，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（3，3，1，1）.故甲的总得分为0，2的概率均为，甲的总得分为1的概率为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球.（1）求取出的3个球中有2个白球的概率；（2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】1）应用超几何分布的概率公式求概率即可.（2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可.【小问1详解】第10页/共18页所求概率为【小问2详解】X可能的取值为0，1，2.，.故X的分布列为012故.16.患病情况患不患服用情况病病服用中药预防方1090不服用中药预防5050方（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效?（2）从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值.附：，其中.第11页/共18页0.100.050.012.7063.8416.635【答案】（1）有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效（2），.【解析】1）利用的性质进行比较.（2）利用条件概率，分析情况得到答案.小问1详解】由已知得，所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效.【小问2详解】由题意可得，，，.，17.中，是边长为2的正三角形，平面，为上的动点.（1）求三棱锥的体积；（2）当最小时，求平面与平面所成角的余弦值.第12页/共18页【答案】（1）（2）【解析】1）求出底面积和高，根据棱锥体积公式计算即可；（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助二次函数性质，求得所以当时，有最小值.再求出面的法向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可.【小问1详解】容易求得.因为平面，所以是三棱锥的高.中，，所以三棱锥的体积.【小问2详解】取的中点O，连接，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以.设，则，，则，所以当时，有最小值.第13页/共18页此时，，.设平面的法向量为，则所以令，则，，所以.平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，则，所以当最小时，平面与平面所成角的余弦值为.18.甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下：甲乙投中5060未投中5040用频率估计概率，解答下列问题．（1）若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率．（2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立．①求甲投了第3次后停止比赛的概率；②求乙投了第4次后停止比赛的概率．【答案】（1）第14页/共18页（2）①；②【解析】1）利用频率求出两人投中的概率，然后根据两人的投中概率可求答案；（23次后停止比赛的所有情况，结合互斥事件的概率求解；②乙投了第4次后停止比赛，说明乙比甲多投中2次，按照轮次情况，分类求解概率即可.【小问1详解】甲同学投篮命中率为，乙同学的投篮命中率为．从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为．【小问2详解】①甲投了3次，则乙投了2次．由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况．第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为．第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为，故所求概率为．②乙投了4次，则甲投了4次．记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮．在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率，记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率，记事件为乙投中次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率．投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况．第15页/共