《函数的单调性和最值》教学设计一

2/2《函数的单调性和最值》教学设计一教学设计一、创设情境，引入课题实例：科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线请你根据曲线图说说气温的变化情况.预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问）等.图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）.设计意图：从科考情境导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性.函数是描述事物变化规律的数学模型.如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应事物的变化规律.在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质.因此，研究函数的变化规律是非常有意义的.观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势.设函数的定义域为I，区间在区间D上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间.引导学生类比定义“递减”，接着给出下图，让学生准确回答单调性的变化情况.设计意图：从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知，明确相关概念，准确表述单调性.二、引导探索，生成概念问题1：（1）下图是函数的图象（以为例），它在定义域R上是递增的吗？（2）函数在区间上有何单调性？预设：学生会不置可否，或者凭感觉猜测，可追问判定依据.设计意图：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式，但仅凭函数解析式常常也难以判断其单调性.借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性.问题2：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大”？以二次函数在区间上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）.设计意图：先借助图形、动画和表格等直观感受“y随x的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出：若，则必须有.（2）已知，若，则能保证函数在区间上递增吗？拖动“拖动点”，改变函数在区间上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增.（3）已知，若，则能保证函数在区间上递增吗？拖动“拖动点”，观察函数在区间上的图象变化.设计意图：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成.（4）已知，若有，能保证函数在区间上递增吗？可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生进行反驳，然后追问：无数个x也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个验证吧？”.紧接着师生一起回顾子集的概念（课件展示教材上子集的定义），再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想.问题3：如何用数学语言准确刻画函数在区间D上递增呢？预设：请学生自愿尝试概括定义板书“任意，当时，都有，则称函数在区间D上递增”，要突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间D上递增吗？”.问题4：请你试着用数学语言定义函数在区间D上是递减的.预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示，并有意引导使用“任意，当时，都有，则称函数在区间D上递减”，以此打破必须“”的思维定式.抽象概括：设函数的定义域为D：如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是增函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间Ⅰ上单调递增.如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是减函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间Ⅰ上单调递减.如果函数在区间Ⅰ上单调递增或单调递减，那么就称函数在区间Ⅰ上具有单调性.此时，区间Ⅰ为函数的单调区间.若存在实数M，对所有的，都有，且存在，使得，则称M为函数的最大值.同样地，可以定义函数的最小值，函数的最大值和最小值统称为最值.三、学以致用，理解感悟判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由（举例或者画图）（1）设函数的定义域为，若对任意，都有，则在区间上递增.（2）设函数的定义域为R，若对任意，且，都有，则是递增的.（3）反比例函数的单调递减区间是.让学生分组讨论，然后进行展示性回答.若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（3）可追问怎么修改）.通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解.例1、设，画出的图象，并通过图象直观判断它的单调性.提出问题：1.你能用几种方法画出函数的图象？（描点法、平移法）哪种方法更好？让学生用两种方法画出函数的图象，体会两种方法的优劣.解：依题意知，其图象可由的图象向左平移3个单位长度得到（如图）该函数在区间上单调递减.2.如果把后面设定的范围去掉，函数的定义域是什么？你能画出它的图象并直观判断它的单调性吗？解：函数的定义域是.其图象如图所示.函数有两个单调递减区间，分别为，但不能说函数在定义域上递减.例2、根据函数的图象直观判断的单调性，并求出最小值.提出问题：1.你能用几种方法画出函数的图象？方法一：描点法.方法二：先把函数写成分段函数的形式然后画出其图象.方法三：利用图象变换，先画出函数的图象，然后把x轴下方的部分对称到x轴的上方.解：函数可以表示为画出该函数的图象（如图），由图象可知该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，取得最小值，最小值为0.2.拓展：你能说出函数的单调区间吗？（减区间为，增区间为）例3、判断函数的单调性，并给出证明.提出问题：1.这个函数是什么函数类型？（一次函数）追问：如何判断一次函数的单调性？（方法一：一次项系数的正负；方法二：利用图象）2.你能用单调性的定义证明它的单调性吗？教师引导学生分析证明方法并给出规范板书.解：画出函数的图象（如图）.由图象可以看出，函数在定义域R上可能是减函数.下面利用函数单调性的定义证明这一结论.任取，且，则.所以，即.由函数单调性的定义可知，函数在定义域R上是减函数.通过教师规范板书本例题，给学生以示范，并给合例题的证明过程，总结归纳用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：（1）设元（要指出任意性）；（2）作差；（3）变形（因式分解、配方、不等式等）；（4）断号；（5）定论.例4、判断函数的单调性，并给出证明.学生结合例3的示范，独立完成本例题，教师找两名学生板演.解：画出函数的图象（如图）.由图象可以看出函数在定义域上可能是增函数.任取，且，则.所以.由，可知，即.由函数单调性的定义可知，函数在定义域上是增函数.这个证明是在定义域内任取，通过计算与的差，得到，从而由函数单调性的定义判断函数在定义域上是增函数.例5、试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.证明：任取，且.因为，所以，则，即.这表明函数在区间上单调递减.同理可证，函数在区间上单调递增.思考题：物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明这个结论.设计意图：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力.四、回顾反思，深化认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？1.概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.2.证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.3.数学思想方法和思维方法：数形结合、等价转化、类比等.五、布置作业1.教材第62页练习.2.判断并证明函数的单调性.3.向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多，糖水越甜.请你运用所学的数学知识解释这一现象.板书设计3函数的单调性和最值一、创设情境，引入课题二、引导探索，生成概念增函数减函数、单调区间、最值设函数的定义域为D：如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是增函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递增.如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是减函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递减.三、学以致用，理解感悟例1例2例3例4例5四、回顾反思，深化认识五、布置作业教学研讨本案例采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.课堂上使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，可以对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解.如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一，另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，要思考如何让学生进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.重点是让学生领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性.教学设计很有必要从以下几个方面进行改进：在新授课上，应从学生的已有知