4.6 正弦函数的图像和性质

授课题目4.6正弦函数的图像和性质选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长3课时授课类型新授课教学提示弦函数在一个周期上的简图．教学目标［0,2π］上的图像的步骤，能找出正弦函“五点法”图像分析函数性质的一般方法，逐步提升逻辑推理等核心素养．教学重点五点作图法作正弦函数的图像，正弦函数的性质的应用．教学难点五点作图法和正弦函数的性质的理解．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入4.6.1正弦函数的图像简谐运动是最基本也是最简单的机械振动．单摆是常见的简谐振动之一，以时间为横轴，摆球离开平衡位置的位移为纵轴，作出摆球偏离平衡位置的位移随时间变化的关系图，你发现什么规律了么？提问启发引导思考作答交流用生活中的现象创设情境的引发学生思考激发求知欲简谐运动形成的曲线是一条波浪起伏、周讲解倾听数形结合而复始的曲线，我们可以用正弦函数来刻画它.说明问题由三角函数的单位圆定义可知在第一象限内,sinx随x的增大而增大;在第二象限内,sinx随x结合图像引导观察图像思考帮助学生动态理解函数的特征的增大而减小;在第三象限内,sinxx的增大而减小;在第四象限内,sinx随x的增大而增大.根据单位圆的圆周运动特点,单位圆上任说明函数意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置,的周期不这说明自变量每增加或者减少2π,正弦函数说明理解唯一从而值将重复出现.这一现象可以用公式说明引入sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z最小正周探索新知来表示.期的必要一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个讲解理解性Tx取定义域内任意一个值时，都有数形结合f(x+T)＝f(x)，说明问题y＝f(x)为周期函数Ty解释思考渗透树形＝f(x)的一个周期．说明理解结合思想因此正弦函数y=sinx，x∈R是一个周期方法逐步函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都提升直观是它的周期，即常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它想象核心y＝f(x)的所有周期中存素养在一个最小的正数T0，那么这个最小的正数T0就称为y＝f(x)的最小正周期．显然，2π为正弦函数的最小正周期.说明思考利用正弦函数的周期性质可以简化正弦函数的图像与性质的研究过程．下面用描点法作出正弦函数y=sinx在[0,2π]上的图像．(1)列表把区间[0,2π]分成12等份,分别求出y=sinx在各分点及区间端点的正弦函数值.指导操作强调“五点法”是重要的作图方法和学生必备基本技能(2)描点作图．x，y内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，y＝sinx[0,2π]上的图像.引导分析观察函数y＝sinx在[0,2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个，描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起[0,2π]种作图方法称为五点法．2πy＝sinx[0,2π]x轴向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像.正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．例1y＝1+sinx[0,2π]提问思考借助实际上的图像．例子加深解 (1)列表.对“五点导分析法”作图的理解例题辨析(2)描点作图.讲解解决根据表中x,y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到函数y＝1+sinx在[0,2π]上的图像.强调交流练习4.6.11．设函数y=f(x)，x∈R的周期为2，且f(1)＝1，则f(3)= ．2.利用五点法作出下列函数在[0,2π]上的图像：(1)y＝sinx−1；(2)y＝−sinx．3.利用五点法作出正弦函数y＝sinx在上的图像.，2 2提问思考通过练习及时掌握学生情况巩固练习巡视动手查漏补缺求解指导交流情境导入4.6.2正弦函数的性质利用研究函数的经验，可否从正弦函数的提问观察从原有知识出发，引引定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？启发思考数形结合思考问题观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:定义域.R.值域.正弦曲线分布在两条直线y=1x,都有|sinx|≤1立．由此可知,正弦函数的值域是[-1,1],并且,x2k(k∈Z)时,y2x 2k(k∈Z)时，y取最小值，ymid=-1．2周期性.正弦函数是周期为2π数．奇偶性.由图像关于原点对称和诱导公sin(−x)=−sinx可知，正弦函数是奇函数．单调性.由图像可知，正弦函数y＝sinx在区间 2,22,2上单调递减．因此，由正弦函数的周期性可知，正弦函数y＝sinx在每一个闭区间+2k,+2k2 2 (k∈Z)上都是增函数，函数值从-11；在每一个闭区间+2k,+2k(k∈)上2 2 讲解理解通过讨说明论，学生由曲线形状看出函引导观察数的性质学生图像从函得到加深对知数性结论识的理解质几发展直观方面想象和数考虑学抽象核新知问题心素养探索说明启发结合图像启发引导说明都是减函数，函数值从1减小到-1．2x的集合.(1)y2sinx,xR；(2)y=1-2sinx，x∈R．3解1≤sinx≤1，所以2≤2sinx≤2，3 3 3即 2≤y≤2．3 3故函数的最大值为2，最小值为2．3 3y2sinxxRx的3取得最大值的x的集合{x|x2k,kZ}；2y2sinxxRx的3取得最小值的x的集合{x|x 2k,kZ}．2(2)以-2≤-2sinx≤2，-1≤1-2sinx≤3，即-1≤y≤3．故函数的最大值为3，最小值为-1．y=1-2sinx，x∈R取得最小值x的集合{x|x 2k,kZ}；2提问思考数形结合解决问题结合具体引导解决问题巩固函数的性质讲解交流提问思考例题辨析引导解决讲解交流提问思考引导解决y=1-2sinx，x∈Rx取得最大值x的集合{x|x2k,kZ}．2例3不求值，比较下列各组数值的大小：(1)sin与sin2； (2)sin5与sin7．7 7 8 8解根据正弦函数的图像和性质可知：因为0y=sinx在区7 7 2间0上是增函数，所以inin；， 2 7 7因为y=sinx在区2 8 8间上是减函数，所以inin．2 8 8例4求函数ysinx的定义域．解要使函数ysinx有意义，必须使sinx≥0．由正弦函数正弦函数y=sinx在[0,2π]上的图像可知，在x满足0≤x≤π函数的周期性得：2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}．温馨提示讲解交流帮助学生加强对正弦函数单调性的理解提问思考引导解决讲解交流帮助学生加强对正弦函数的图像和周期性的理解数形结合分析问题更加清晰提问思考明了强调思维的严谨性引导解决体会知识的简单应讲解交流用对含三角函数的函数式求定义域时，除了考虑函数式有意义之外，还要注意三角函数的周期性．探究与发现若某地一天6~14时的气温变化曲线近似满足函数y10sinx320，x[6,14]，8 4 求这一天6~14时的最大温差.补充体会说明领悟提问思考引导回答练习4.6.2下列各等式能否成立？为什么？(1)2sinx=3； (2)sin2x1．4求下列函数的值域：(1)y1x； (2)y=2sinx-1．2x的集合．(1)y=sin3x (2)y2sinx. 2 y=a+2sinxa小：(1)sin(-65°)与sin(-70°)；(2)sin与sin；8 7(3)sin与