名师伴你行高考一轮总复习新高考版数学 第9章

第九章平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程

［复习要点］1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次

函数的关系.

-------------------理清教材，巩固基础-----------------------

1基础普查

知识点一直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

⑴定义：当直线/与工轴相交时，取文¥it作为基准，、轴正向与直线/之间所成的角叫做直线/的倾斜

角.当直线/与x轴时，规定它的简斜角为0。.

⑵领斜角的范围为.

2,直线的斜率

⑴定义；一条直线的倾斜角〃的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母A表示，即左=,

倾斜角是90。的直线没有斜率.

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点Pl(K,yi),P2(X2,山)(二1为《)的直线的斜率公式为女=.

3.直线的方向向量

若PI(Myi),P2S，切是直线/上两点，则/的方向向量的坐标为;若/的斜率为k,则方向向量的

坐标为.

答案：1.⑴向上方向平行或重合(2)［0°,180°)2.⑴正切值tana(2点二23.8-K，9一2(1，Q

知识点二直线方程的几种形式

名称条件方程适用范围

点斜式斜率A与点(第，),1)y—y\=k(x—x\)不含直线工=箝

斜率上与直线在y轴上的截不含垂直于X轴的直

斜截式y=kx-\-b

距b线

续表

名称条件方程适用范围

x~x\不含直线上=为(刘=12)

两点式两点(用,yi),(X2,yi)

yn-yiX2~x\和直战y=ji(yi=")

截距式直线在1轴、y轴上的铝=1不含垂直于坐标轴和

截距分别为4,b过原点的直线

Ar+Bj+C=O平面直角坐标系内的

一般式

（A,B不同时为0）直线都适用

2考点排查

曲榭教/材

1.［必修2p99烁习丁1改编］已知直线/经过点/>(一2,5),且斜率为一*则直线/的方程为()

A.3x+4)--I4=0B.3x-4y+14=0

C.4x+3y-14=0D.4.v-3y+14=0

答案；A解析：由｝-5=—；。+2),^3,r+4y-14=0.

2.［必修2・P86,练习T3改编］若过点M(—2,m),N(现4)的直线的斜率等于1，则用的值为

答案：1

3.［必修2-P100A组T9改编］过点p(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.

答案；31一2尸0或工+厂5=0

易/错/问/题

1.斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围.

(1)当°=3时，直线以+(°—3》-1=0的倾斜角为.

⑵直线xcosa+y+2=0的倾斜角的范困是.

⑴答案：90。解析：当〃=3时，直线以+(〃-3»，-1=0可化为3/—1=0,其倾斜角为90。.

⑵答案：［o,:U亨，兀)解析：设直线的倾斜角为〃

依题意知，斜率女=-830(.

VcosaE［—1,1］,1,1］,

即tan夕七［-1,1］,

又夕£［0,力,，隹0,；U牛,，

2.直发方程的易错点：方程形式的变形及转化.

⑴给出下列直线方程：①工一3y=6；②2x-3y=O；③©+如二c,其中一定能化为截距式方程的是.

(2)过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.

⑴答案：①解析：工-3J=6化为戒距式方程为1+±=1;

2v-3y=0不能化为微距式方程；

当a,b,c中有1个或2个为。时，戊一力不能化为极距式方程，

Q)答案：4戈+3y=0或x+j+1=0

4

解析：①若直线过原点，则女=一不

J

4

所以y=-y,即4x+3y=0.

②若直线不过原点，

设直线方程为2+）=1,即/+），=〃，

则a=3+（—4）=—1,

所以直线方程为彳+），+1=0,

综上，所求直线方程为4x+3y=0或.i+），+l=O.

通/性/通/法

求斜率或倾斜角；函数法.

的倾斜角的变化范围是（）

nnnn

A.B.

3413.

4n2n

D.

C.2.T

答案：B解析：直线.2KCOSQ—}L3=O的斜率&=2COSQ,

由于砾ft

所以?Wco$

国此k=2cosa€[l,小].

设立线的倾斜角为仇则有tanGEH,市1,

由于呻0,31）,所以1,

即倾斜角的变化范围是:，f.

。《题型研究，重点突破►>»<

题型口直线的倾斜角与斜率

角度i.由参数求倾斜角

%/题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

1.[2021湖北四地七校联考]已知函数/）=a$inx—灰o$MaHO,5H0）,若jHL则直线以一班

+c=0的倾斜角为（）

71c兀

A-4B-3

_2ltn3几

cHD-T

[答案]D[解析]由《一[=(；+J知函数yw的图象关于直线对称，所以川))=(，，所以〃=一人

由直线以一8+c=0,知其斜率左=吊=-1,所以直线的倾斜角为界故选D.

2.已知两点小一1,2),且实数的£一坐一1，求直线AB的倾斜角a的范围.

解当阴=-1时，

当加£一1时，

:扁吁,f]/+8),

，啡弼'?]■

综上知，直线即的倾斜角a的范圉是本J.

//法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

斜率取值范围的两种求法

1.数形结合法

作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定.

2.函数图象法

根据正切函数图象，由倾斜角的范围求斜率范围，反之亦可.

角度II.利用斜率公式解决动直线与线段相交

问题

%/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

3,已知4(1,2),B(2,ll),若直线丫=(用-2}:1(阳HO)与线段AB相交，则实数小的取值范围是()

A.[-2,0)U[3,+«)B.(—8,-l]U(0,6]

C.[-2,T]U[3,6]D.[-2,0)U(0,6]

I答案]C

4.[2021湖亩长沙第一中学月考]已知点A(2,—3),8(—3,-2),直线/过点P(1J)且与线段A8有交点,设

直线/的斜率为k,则女的取值范围是()

A.%-4]U7,+~

3

4

4,

［答案］A［解析］解法一：由题意，得

-3-1,一2一13

2_।=-4,辆=_3_[=]

•，•直线/过点P(l,l)且与线段AB有交点,

3

二结合国象，可得或*W-4,

・•」的取值范围是(一g,-4]U+8).故选A.

解去二：解过点P(l.l)的直线方程为y-1=也一1),

即依一丁一忆+1=0.

支线/过点P(1J)且与线段A8有交点，

・・・(24+3T+1)(-3女+2T+1)WO,即伏+4)(必一3怜0,

解得弟或上一4,

的取值范围是(一8,-4]U+8).故选A.

法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

过定点的动直线与线段相交问题的解题策略

策略一：求得直线与线段相交的临界斜率，利用直线的倾斜角和斜率的关系求解；

直投过第二、四象限，斜率氏0,直或从/轴向y轴运动的过程中，斜率从0逐渐减小到一8；

直投过第一、三象限，斜率k>0,直线从x轴向)，轴运动的过程中，斜率从0逐渐增大到+8.

策略二；依据图形特征可知，线段的两个端点应在动直线上或分居直线的两仞，借助线性规划的有关知识，将

线段两个端点的坐标分别代入动直线方程Av+By+C=O(A,8不同时为0),其等号左边的代数式的乘积小于等于

零，以此直接建立不等式求解.

题型且直线方程

角度।.直线方程五种形式的应用

Bi式/题/调闱f(题题精选，每题都代表一个方向)

1.若A(1,—2),8(5,6),直线/经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为

借案］〃一3产0或x+厂5=0

2.经过点A(—5,2),且在1轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为.

|答案|纵+5y=0或/+2y+l=0

3.已知直线/的斜率尾，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程是.

［答案］厂6y+6=0或厂6厂6=0［解析］设直线/在y轴上的横距为瓦

则直线/的方程是尸提+从

令N=0,则二=一64

'・•立线/与两坐标轴围成的三角形的面积为3,

•/一6咖〃=3,

解得6n±1.

,支线’的方程是)=%+1或

即X—6)?+6=0或X—6y-6=0.

4.已知点P(2,l)到直线/的距离为2,且直线/过原点，则直线/的方程是.

［答案］x=0或3工+勺=0［解析］・；直线/过原点，

A可设直线/的方程为At+By=0(A2+BV0).

又点P(2,l)到直线/的距离为2,

\2A-\-B\

二诟铲第

化面得44B-3B2=0,

解禅8=0或4A=38,

；・支线I的方程是1=0或3x+4y=0.

5.［2021贵州遵义联考］数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且

重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.己知AABC的顶点4(2,0),

以0,4),AC=BC,则△A8C的欧拉线方程为f)

A.2x+y-3=0B.2(—丫+3=0

C.1一2厂3=0D.l2y+3=0

I答案1D|解析|线段A8的中点为M(l,2),kAB=~2,

魏段AB的垂直平分线为了-2=米一I),即A—2/+3=0,

；AC=BC,，Z\ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，

因此ZVIBC的欧拉线的方程为x—2y+3=0,故选D.

%/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

求直线方程的两种常用方法

1.直接法

设出适当的直线方程形式，根据已知条件，直接写出直线方程.

2.待定系数法

先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线的方程，

［易错警示］求直线方程

应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜横式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用极距式时，需讨论直

线是否过原点，

角度II.含参直线系过定点问题

Bi曲题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

6.［2021黑龙江哈尔滨第六中学阶段检测］已知实数小6满足〃+26=1,则直线or+3y+b=0必过定点，这

个定点的坐标为()

a=\-2b,

，立线依+3丁+方=0的方程即(1-2办*+3)+/?=0,

进一步可变形为6(1一女)+(4+3y)=0.

易将该直线经过直线1一方=0和x+3y=0的爻点.

1

1-2x=0,X=y

联立■…解得

1

产),

・'・交线曲+3)，+8=0必述定点.故选D.

r|3VI

解法二：比较x〃+8+3y=0和〃+2%-1=0的对应系数，令,=］=寸，解怦］

〔产飞，

是方程派+3y+方=0的解，

・•.(；，一§即为所求定点的坐标.

故选D.

7.［2021云南保山模拟］已知坐标原点为。，过点P(2,6)作直线2〃LL(4俄+叨+2〃=0(小，〃不同时为零)的乖

线，垂足为M,则QM的最大值为•最小值为.

［答案］5+<55一小［解析］根据题意，直线2mr-(4〃i+〃))，+2，?=0,

即的&-4,，)一心-2)=0,

2x-4y=0,x=4

解得]则直线恒过点(4,2).

产2,3=2,

设。(4,2),又由MP与直线垂直，且M为垂足，则点M的航迹是以PQ为直径的圆，其方程为。-3)2+0—4)2

=5,所以5-小W|OM|W5+小，即IOM］的曩大值为5+小,最小值为5—小，

/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

求含参直线系所过定点的坐标

1.直接法

求令参直线系恒过的定点、时，可将直线方程转化为点斜式来找定意.

例；含参直嫔系〃犹一y-/n+3=0可以转化为y-3=Mx-l),可知直线恒过点(1,3).

2,方程法

若经过参数分离后,能将直线系方程整理成火工，月+图-)，)=0(2为参数)的形式，则这个直线系恒过直线火山

曲y)=o,

y)=0和g(x,y)=0的交点，解方程组,、n便可求得定点坐标，

%y)=0

3.特殊法

取直线系中的两条特殊直线，求出其交点坐标，代入原方程卷证即可.

题型因直线方程的综合运用

角度।.与基本不等式有关的最值问题

1揶题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

I.［2021安徼模拟］过点尸(4,1)作直线/,分别交、轴、『轴的正半轴于A,B两点.

(1)当△AOB的面积最小时，求直线/的方程；

⑵当|。川+|08|取最小值时，求直线/的方程.

［解］设直线/:2+;=1(〃>0,b>0)t

因为直线/经过点P(4,l),

41

所与+L

⑴呢+［仔嘿哧,

1

-28

所以曲》16,SAAOB二2

当且仅当〃=8,力=2时，等号成立，

所以当〃=8,8=2时,AAOB的面积最小,

此E寸直线/的方程为1+91,即工+4厂8=0.

41

(2)因为,+3=1,。>0,b>0,

所以|。川+|OBkQ+…+与《+力=5+力+*9,

当且仅当。=6,3=3时，等号成立，

所以当|。川+|。8|取最小值时，直线/的方程为1+2厂6=0.

瞑/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

直线方程的综合问题的两大类型及解法

L与函数相结合的问题；一般是利用直线方程所表示的二与y的关系将问题转化为关于M或y)的函数，借助

函数的性质解决.

2.与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程根的存在性及个数、不等式的

性质、基本不等式等)来解决.

角度II.参数求值问题

th/题/调/研(题题精选，每题都代表••个方向)

2.直线(a—l)x+y—a—3=0("l),当此直线在x轴、y轴上的截距利最小时，实数。的值是()

A.1B.小

C.2D.3

［答案］D［解析］当x=0时，y=〃+3,

〃+3

当y=O时,

令『〃+3+安

a—\

=5+(aT)+3

因为所以。一1〉0,

所以£》5+2寸(。-1)•舟=9,

4

当且仅当。一1=~即〃=3时，等号成立.

3.已知直线h以-2y=2“-4,/2：2x+/y=2屋+4,当0</2时，直线人人与两坐标轴围成一个四边形,

当四边形的面积最小时，实数〃=.

［答案］1［解析］直线/i可苜成2)=2()；—2),

Li

直线/2可写成2(工一2)=於(2—

所以直线儿B恒过定点尸(2,2).

直我八的纵极距为2一出直线，2的横城距为/+2,

所以四边形的面积S=；X2X(2—a)+；X2X(〃2+2)=/—〃+4=(〃一学

当片;时,叫边形的面积最小.

%/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

设直线方程的常用技巧

I.已知直线纵截跖为人时，常设其方程为)=h+b.

2.已知直线横截距为〃时，常设其方程为工=而)，+”.

3.已知直线过点(如列)，且k存在时，常设其方程为y—w=Mx-&),

［拓展］直线系方程

⑴是点直线系方程；

过定点P(xo,)动的直线方程为A(x-xo)+B(y—yo)=0.

⑵交点直线系方程：

已知直线八：A\x+B\y+C\=Q,直线为：A〃+B2y+C2=O,八与〃相交，则过两直战交点的直线方程为4

+8iy+Ci)+〃(A2x+82_y+C2)=0,当％=0时，方程表示直线,力；当〃=0时，方程表示直线Ji.

提醒完成限时跟踪检测(四十二)

第二节两直线的位置关系

［复习要点］L能根据两条直线的斜率判断这两条直线的位置关系，

2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.

-------------------理清教材,巩固基础》》《-----------------------

1基础普查

知识点一两条直线的位置关系

1.两条直线平行

⑴对于两条不重合的直线尔12,其斜率分别为■fa,则有八〃/20.

(2)恃别地，当不重合的两条直线伍，2的斜率都不存在时，/I与/2的关系为.

2.两条直线垂直

(1)如果两条直线人，/2的斜率存在，设为h,0则人1/2=.

(2)如果人/2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，人与，2的关系为

3.两条直线相交

直线L；4x+81y+G=0与匕"/强弼方程组有——

+与产G=0的公共点的坐标与

一田方程组一

方程组13如tG力的解

—对应■|^可-|方程一有

答案：\.(i)h=ki⑵平行2.(l)h-fo=-l⑵垂直

3.唯一解无解无穷多解

知识点二三种距离公式

点PQ,yi),尸2(◎”)

|PiP2|=

之间的距离错误！

点ft(加州)到直线hAx+Byd二

+C=0的距离借误！

d-

两条平行线上+为+。=0

1丁QI

与At+与+。=0间的距离

迎+B?

考点排查

他接/教/材

1"必修2PI0LA组T10改编］已知P(-3,阳)，Q(阳5),且直线尸。垂直于直线x+y+1=0,则用二

答案；1

2.［必修2，P110，B组T2改编］已知点(°,2)到直线x—y+3=0的距离为1,则。二.

答案：-1九n

3」必修2P1I4A组T10改编］已知直线31+y-3=0与直线3+四41=0平行,则它们之间的距离为

答案:嘤

易/错涧/题

1.两直线位置关系的重点；平行和垂直中的参数的讨论.

⑴已知直线，nx+2av-l=0,h：(a+l)x-av=0,若h//h,则实数0的值为()

3

-民o

A.-2

C.一裁0D.2

(2)［2021辽宁锦州模拟］若直线/i：丘+(1-&)，一3=0和&：(k-l)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=.

⑴答案：C解析：若〃¥0,则由/|〃/?0%一=子，故2。+2=—1,即。=一/；若〃=0,4〃/2,故选C.

(2)答案:一3或1解析:由左伏-1)+(1-4)(2攵+3)=0,-2=1或%=一3.

2.距离问题中的易错点:平行线间的距离.

两平行直线3x-4y-l=0与6\-8)，+18=0间的距离是.

答案：2解析；两平行直线的方径分别是3,一4.丫-1=0和3/—4『+9=0,

由两平行线间的距离公式，得

所求距离d卡寻=2.

核沁/素磷

设m£R,过定点A的动直线工+吗=0和过定点B的动直线‘加一y—"1+3=0交于点P(x,y),则|朋卜俨3|的

最大值是.

答案：5解析：易知定点4(0,0),8(1,3),且无论m取何值，两直线垂直.

所以无论P与A,B重合与否，均有|用F+|PBF=|ABF=10(P在以AB为直经的圆上).

所以I例・|掰

W刎F+IP硝=5,

当且仅当|朋|=|P8尸小时，等号成立.

啖题型研究,重点突破吩。

题型1两直线的美系

角度I.应用两直线平行的充要条件求参数

%/题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

1.［多选］已知直线小伙-3）x+（4-M）y+1=0与岳2伏-3）x-2y+3=0平行，则k的值是（）

A.1B.3

C.5D.7

3

【答案］BC［解析］由两直线平行，得当&-3=0时，两直线的方程分别为》二-1和显然两直线平

行.

k—34—kI

当上一3。0时，曲—>=—可得&=5.

2（K-3）—23

综上,出的值是3或5.故选BC

2.已知弧b为正数，且直线戊+与-6=0与直线2v+3-3）），+5=0平行，则加+3方的最小值为.

［答案］25|解析］由两直线平行可得，〃。-3）=2"即28+3〃=砧，：+；=1,又〃，。为正教，所以2〃+

3/?=（2fl+3/2）-^+1j=13+y+™^13+2^y-^=25,当且仅当片方=5时，等号成立，所以2〃+3%的最小值

为25.

角度II.应用两直线垂直的充要条件求参数

Bi揶题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

3.已知上0,直线（从+1我+缈+2=0与直线丹一1=0垂直，则时的最小值为（）

A.1B.2

C,2^2D.2小

［答案］B

4.已知宜线6=0与宜线5工一2/+〃=0垂直，垂足为（7,1）,则〃的值为（）

A.7B.9

C.IID.-7

I答案］A|解析］由直线4x+肛y—6=0与直线5彳―2了+〃=0垂直，得20—2川=0,解得川二10.

直靠4.v+1Oy-6=0过点（r,1）,

所以射+10—6=0,解得1=-1.

因为点（一1,1）又在直线5L2J+〃=0上，所以一5—2+”=0,n=l.

%/法/指/导（来自课堂的最有用的方法）

两直线平行或垂直的两个关注点

1.当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑斜率存在的L股情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况,

2.要注意心)，的系数不能同时为零这一隐含条件.

［拓展］

利用直线的一般方程，判断平行或垂直

/i：41+5,+。=0(图+国+0)

直线方程

/2：A2x+B2y+C2=0(Ai+Bi^)

//与/2垂直的

4A2+8由2=0

充要条件

「与/2平行的

&然加附―0)

充分条件

/|与/2相交的如飘及呦

充分条件

1\与，2重合的

细B"0)

充分条件

角度此由直线位置关系巧设直线系方程

Bi命题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

5.己知点尸(-2,0)和直线/：(l+32)x+(l+2；)y-(2+52)=0(>l€R),则点P到直线/的距离d的最大值为(

A.2市B.

C.四D.2代

I答案IB|解析］由(1+32)/+(1+乂))，一(2+51)=0,得

(x+y—2)+A(3.r+2y—5)=0,

此方程是过直线x+y-2=0和3x+2y-5=0交点的直线系方程.

i+厂2=0,

解方程组,

3x+2y-5=0,

可知两直线的交点为。(1,1),

故支线/恒过定点0(1,1),如图所示,

可知d=[P//]W|POI=m，即故选B.

6.已知直线/|的方程为次+4,-12=0.求梃的方程，使得;

(l)b与八平行,且过点(一1,3)；

(2九与人垂直，且〃与两坐标轴围成的三角形面积为4.

［解］⑴谈加3x+4y+w=0（w^-12）,因为/2过点（-1,3）,将点（-1,3）代入得一3+4乂3+加=0,解得

片一9,

所以A的方程为3i+4y-9=0.

⑵设/?:4%—3y+/?=0,则心与x轴交子点人卜£,0）,与了轴交于点«0,

所以&A0B=；|盟=4.

“2=96,〃=±4#,

所以〃的方程为4L3J+4#=0或4x—3y—4^6=0.

%/法/指/导（来自课堂的最有用的方法）

常见的四大直线系方程

1,平行直线系方程

⑴与直线y="+b平行的所有直线可以表示为）=仙+犷S'W6）；

（2）与直线Ar+By+C=0平行的所有直线可以表示为加+Bj+。=0（。HQ.

2.垂直直线系方程

（1）与直线y=h+N&WO）垂直的所有直线可以表示为）?二一5+6'或x=一b'+力’：

（2）与直线Ax+By+C=O垂直的所有直缨可以表示为&-Ay+C=0.

3.过定点的直线系方程

过定点P（沏，川）的所有直线可以表示为4（工一与））+8。一刈=0（寿+82/0）,斛率存在时还可以表示为y-yo=

如一期），

4.过两直线交点的直线系方程

过两直线％Aix+Bi.y+Ci=O,〃；A”:一B2y+C2=O的交点的所有直线可以耒示为Aix+Biy+G+AA状+及了

+C2）=0（i为参数，不包括直线田.

题型2距离公式的应用

角度।.三种距离的简单应用

%/题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

1.如图,已知直线人〃/2,点A是/1,，2之间的定点，点发到m12之间的距离分别为3和2,点B是12上的

一动点，作ACLA8,且AC与人交于点C,则△A8C的面积的最小值为

［答案］6［解析1以A为坐标原点，平行于八的直线为木轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

ikB(a,-2),C(Z>,3).

VAClAfi,

6

二时一6=0,而=6,b=~t

「△ABC的面积5=//d+4、/从+9=1『+4Z\^1+9

=£72+9/+竽’1\/72+72=6(当JU又当a2=4时，等号成立).

2.与直线h3x+4y-12=0和直线/2；命+8y-9=0等距离的直线/的方程是.

9

［答案］⑵+16)，-33=0［解析］解法一：直线〃：61+8)，-9=0可化为次+与一5=0.

设与直线儿〃等距离的直线/的方程为3x+4y+(=0,

讪心+12|c(十+2

、厅+^^32+4-1

即|叶12尸卜I+］9,解得c二一3半3

・•・/的方程为12r+16y-33=0.

9

解法二：直线〃：6x+8.y-9=o可化为31+卬-8=0.

9

..-5+(-⑵33

•2―干

，与直线/i:3x+4y—12=0和直线，2：6x+8y—9=0等距离的直线/的方嘏是3x+4y一乎=0,

即12A+16)-33=0.

3.已知点P(2,-1).

⑴求过点P且与原点距离为2的直线/的方程；

⑵求过点P且与原点距离最大的直线/的方程，最大距离是多少？

解(1)过点P的直线/与原点距离为2,而点P的坐标为(2,-1),可见，

过P(2,一1)且垂直于x轴的直线满足条件，

此时/的斜率不存在，其方程为x=2.

若斜率存在，设/的方程为

)，+1=如-2),

即fcr—y—2女-1=0.

I—2k—II3

由已知得=2,解得攵=7

此时/的方程为3x-4y-10=0.

综上，可得直线/的方程为x=2或*一4)：-10=0.

⑵作图可得过点户与原点。的距离最大的直线是过点户且与P0垂直的直线，如图.

由UOP,得kikop=-l,

所以卜=一；=2,

kop

由支线方程的点斜式，得

y+l=2(x-2),

即lr=y=5=0.

即支线Zt-)'-5=0是过点PJL与原点。距离最大的直线，最大距离为丹襄三小.

%，题/感/懵小提示，大智慧)

1.解决动点到两定点距离相等的问题时，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所

连线段的垂直平分线上，从而使计算简便.

2.求点与直线上动点距离的最值时，一般不用两点间距离公式，而是转化为点线距离，

3.直线上+Bj+Q=O与两平行直线Ar+B)，+Ci=O,AT+BJ+C2=O的距离相等，等价于。，Co,C2成等

差数列.

4,若两定点P,。到某直线的距离相等，则该直线过线段P0的中点或该直线与直线P。平行，

角度II.三角形面积公式

&揶题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

4.已知△ABC的三个顶点坐标分别为4(1,1),B(4,2),C(3,5),则△4BC的面积是.

|答案|5|解析］解法一：・・・A(1,1),8(4,2),C(3,5),

—►―►

.力8=(3,1),AC=(2,4).

・・・LABC的面积叉加(.=；*|3X4-1X2|=5.

v—1X—1

解法二：易得直线A8的方程为3=匚］即工-3＞，+2=0,

13-3X5+21

点C到直线AB的距离为正+于一=加

V|AB|=A/(l-4)2+(l-2)2=7ib,

二t^ABC的面积S^ABC

=7xVibxVTo=5.

法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

三角形面积公式的坐标化形式

在AABC中，已知AB=(K,yi),AC=(X2tyi)f则△ABC面积的坐标表示为5少耽=；|用),2一工2)川.

证明：不妨取4(0,0%则直线AB的方程为四工一处)=0,

.・.点C到直线AB的距离为d=也音胆.

巾r+t

又|4身=出?+此

^S^\BC=^\AB\d

“¥?+)4

题型3对称问题

角度।,点关于点对称问题

%/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

1.已知直线/被两条直线叙+)，+3=0和七3x—5)—5~0截得的线段的中点为P(—1,2),则直线/的一

般式方程为()

A.3Ly+5=0B.3x+y+1=0

C.x-3y+7=0D.4+3厂5=0

［答案］B［解析］设直线J与/i的交点为A(刘，刈，

由已知条件，得直线/与，2的支点为B(-2—何，4—刈，并且满足

4疝+卯+3=0,

3(-2-xo)-5(4-)^o)-5=0,

扰+的

即｛4+3=0,

[3用一5优+31=0,

xo=-2,

解得

w=5.

因此直线/的方程为

5-2

厂2=万门(叶1),

即3x+y+l=0.

2.［2021豫南豫北精英为杭赛］直线or+y+34—l=0恒过定点M则直线%+3丁-6=0关于点N对称的直线

方程为（）

A.2H12=0B.2x+3y+12=0

C.2r-3y+12=0D.D-3y72=0

/+3=0,x=~3,

［答案］B［解析］由ai+y+3a—1=0可得〃（工+3）+）：—1=0,令-八可得:・N（一

b'-i=o,bi

3,1).谩直钱M+3y—6=0关于点N对称的直线方程为2K+3y+c=0(c4—6).

|-6+3-6||-6+3+d

则飞丁飞k

解得c=12或c=-6(舍去).

.所求直线方程为〃+3)，+12=0,故选B,

角度H.点关于直线对称问题

Bi忒/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

3.已知入射光线经过点例(一3,4),被直线/：二一y+3=0反射，反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线

的方程为.

［答案］6x-y-6=0［解析1设点例(-3,4)关于直线/：彳-y+3=0的对称点为M'(用如

则反射光线所在直线过点M',

b7

〃一（-3）XU，

所诉

-3+〃b+4

-z-----z—+3=0,

4Li

p=l,

解得

,=0.

又反射光线经过点N(2,6),

6—0

所以所求直线的方程为了-0二匚？(彳-1)，即6-y—6=0.

4.［2021豫北六校联考］已知点P在直线/；3"-1=0上,4(4,1),8(0,4),则||例一|P训最大时点P的坐标

为.

［答案］（2,5）［解析］设点EQ4）关于直线/的对称点为二（加，州）,

州一41

xo=~r

则有

3尸噤+0,

£乙

刘=3,

解殍片=3,即=

，支线AB'的方程为2x+y—9=0,

易知当点P与B',4共线时，|网一阀|最大.

2x+厂9=0,

由'得

,3x—y-1=0,

；.P（2,5）,

印阳LIPBII取最大值时点P的坐标为亿5）,

//法/指/导（来自课堂的最有用的方法）

关于特殊直线对称的点的坐标

1,A(“,协关于工轴的对称点为A'm,­b）.

2.B(a,用关于y轴的对称点为B'（一小b）.

与关于直线）的对'称点为

3.C(atC'（b—m,a+m）.

4.D(at6）关于直线）=一工+加的对称质为。'（/〃一瓦一〃+/〃）.

5.E(atb）关于直线工二〃的对称点为£（2小—a,b）.

6,F(a,协关于直线y=n的对称点为F（a,2〃一协，

角度此直线关于直线对称问题

Bi忒/题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

5.已知直线/：2r—3y+l=0,求直线四：3上一2y—6=0关于直线/的对称直线M的方程.

［解］在直线〃?上任取一点，

如桃2,0）,则M（2,0）关于直线/的对称点M'必在直线M上.

设对称点M'（回机则

2”（啕-3乂（智+1=。,

b-02

有、厂一1，

6

a=

解帝

30

b=百

设立线刑与直线/的交点为N,则

2x-3y+l=0,

由’得N(4,3).

3x-2y-6=0,

又：M经过点N(4,3),

由两点式，得直线小的方程为%-46y+102=0.

BA/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

直线中的对称问题

I.中心对称问题的两种类型及求解方法

x=2〃一加，

⑴点关于点对称：若点M(xi,州)和Mx,y)关于点P(m份对■称，则由中点坐标公式得彳进而求解,

ly=2/?-yi,

(2)直线关于点的对秫：

①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程;

②在已知直线上取一点，利用中点坐标公式求出它关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式

得到所求直线方程.

2.轴对称问题的两种类型及求解方法

⑴点关于直线对称：若两点P】3,对与尸2(4y2)关于直线/：Ai+By+C=0对称，则线段P/2的中点在对