天津南开区2025届高三上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津南开区2025届高三上学期期末考试数学试卷一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，则.故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，当时，满足，但不成立，故充分性不成立；当时，满足，故必要成立，此时“”是“”是必要不充分条件；若，由，得或，所以“”是“”是必要不充分条件.综上，“”是“”是必要不充分条件.故选：B3.已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（）A.26，54 B.26，56 C.24，54 D.24，56【答案】A【解析】由题意数据的平均数为，方差为，根据平均数和方差性质可得数据的平均数为，方差为，故选：A4.设，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故.故选：D5.若函数为奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，则，故，得，当时，定义域为关于原点对称，且，满足题意，故，故选：B6.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于关于的不等式的解集是，所以则有且，所以等价于，解得，即不等式的解集为．故选：D.7.已知函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，由于直线与其图象两个相邻交点的距离等于，故，故，，，解得，故单调递增区间为.故选：C8.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，连接，由题意易知，，故四边形为平行四边形.设，取的中点，连接，在Rt中，，故点到的距离为，故点到的距离为，因此圆心到平面的距离为.由题易知球的半径，故平面截球得到的截面圆的半径，故截面圆的面积.故选：D9.已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】根据题意，，由，则，．由余弦定理可得，，所以，所以．故选：A二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数在复平面内对应的点为，则______.【答案】【解析】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以.故答案为：11.的二项展开式中，常数项为__________.【答案】【解析】的通项为，令，则，故常数项为，故答案为：12.圆与圆的公共弦长为__________.【答案】【解析】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为，又知，则到直线的距离为：，所以公共弦长.故答案为：.13.已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为__________；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为__________.【答案】①.；②.．【解析】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件，由题意，则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为,记三人中恰有两人命中为事件，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件，则，，，故答案为：；．14.在中，为线段上一点.，则__________；若在线段上运动，则的取值范围是__________.【答案】①.②.【解析】依题意，，所以，由于三点共线，所以.因为，且，所以.设.由向量减法的三角形法则可得.那么..已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角），可得.展开得：，把，，代入上式：，展开并整理：，合并同类项得.令，，这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向上，对称轴为.当时，取得最小值，.当或时，，.所以的取值范围是.故答案为：；15.已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】或.【解析】作出函数图像如下：设，，由图可知，至多只有四个根，于是必有两个不等实根.设当时，有个根，有个根，此时有个零点，根据二次函数根的分布可知，，解得；当，，有个根，有个根，此时有个零点，此时，解得，则，时，，，符合题意；当，，有个根，有个根，此时有个零点，此时，解得，则，时，，，不符合题意.综上可知，或.故答案为：或.三､解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）求；（3）求的值.解：（1）由正弦定理可得,故（2）由余弦定理可得，由于，故，（3）由余弦定理可得，故17.如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：取的中点，连接，.因为是的中点，所以且.又因为是的中点，直三棱柱中且，所以且.所以四边形是平行四边形，则.因为平面，平面，所以平面.（2）解：由已知，可得.根据勾股定理可得.，，.根据余弦定理可得，所以，则..设到平面的距离为.因为，根据三棱锥体积公式（为底面积，为高）可得：，即，解得.（3）解：依题意可知，两两相互垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.则，，，.，，，.设平面的法向量为n1=则，即，令，可得，，所以.设平面的法向量为，则，即，令，可得，，所以.设平面与平面夹角为，根据向量夹角公式可得：.18.已知离心率为的椭圆过点.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）为椭圆的左焦点，为上顶点，点在轴上，且.过点直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.解：（1）由已知得方程组解得.所以椭圆的方程为.椭圆离心率，所以.（2）先求出点的坐标，由（1）得.因为，向量，设，则.由于，即，根据向量数量积公式，得到，解得，所以.设直线，，代入椭圆方程，并整理得.，展开并化简得，，进一步得到，解得.由韦达定理可得，.计算，将，代入得.把，代入上式得.因为，即，化简得，即，解得，所以.直线的方程为.19.已知等差数列和等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）；（3）求.解：（1），又为等差数列，，设公差为，则，故的通项公式为，又，故，即通项公式为；（2），其中，，故，要想，则需要能整除12，又，故，此时，故；（3）因为，，所以，故，若为偶数，则①，②，式子①+②得，所以，若为奇数，则，所以.20.已知函数.（1）求曲线在其零点处的切线方程；（2）若方程有两个解，且.（i）求实数的取值范围；（ii）若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）令得，且，零点处切线的斜率为，切点的坐标为，故零点处的切线方程为；（2）（i）由得，设，则，①当时，，单调递增，则方程至多有一个解；②当时，当时，，单调递增；当x∈0,+∞时，，单调递减；若方程有两个解