上海市长宁区2025届高三上学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市长宁区2025届高三上学期一模数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集为，集合，则_______．【答案】【解析】由，则．故答案为：.2.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是_______（结果保留π）．【答案】【解析】如下图做出轴截面：代入圆锥体积公式：.故答案为：3.曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】，当时，，所以曲线在点处的切线方程为.故答案为：.4.以为圆心，为半径的圆的标准方程是_______.【答案】【解析】由题得圆的标准方程为.故答案为：.5.投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是_______．【答案】【解析】一枚骰子的点数有6种情况，则两枚骰子点数所对应总情况为36种.又注意到点数之和为7的情况有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6种，则掷得的点数之和为7的概率是.故答案为：6.的二项展开式中的常数项是_______．【答案】【解析】由题的二项展开式的第项为.令，则常数项为.故答案为：.7.已知函数的大致图像如图所示，则_______．【答案】【解析】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数；又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，.故答案为：.8.已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是_______．【答案】【解析】由题得，所以，与向量的同向单位向量为，所以向量在向量方向上的投影的坐标为．故答案为：．9.已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是_______．【答案】【解析】设，则在单调递增，又，所以，即，故.则.由题意是的充分条件，则，所以有，故实数m的取值范围是.故答案为：.10.若正实数满足，则的最小值是__________.【答案】9【解析】方法一:，则，等号成立时.所以的最小值是9.方法二:，则，等号成立时所以的最小值是9.故答案为：9.11.设O为坐标原点，从集合中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标，则的概率为_______．【答案】【解析】设与直线的交点为，由题意知A，B关于对称，可知为线段的中点，且，则，可得，，则，即，列表可得：xy1234567891╱3815243548638023╱5122132456077385╱71627405572415127╱92033486552421169╱1124395663532272011╱1328457484540332413╱1532863605548392815╱1798077726556453217╱设样本空间为，为事件A，可得，所以所求概率为．故答案为：．12.点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是_______．【答案】【解析】如图建立以D为原点空间直角坐标系，设，其中.则.则，当且仅当时取等号.则为使最小，则应使尽量的大，且P为中点.又点P、M、N均位于正方体表面上，则P、M、N在正方体同一面上，则当为正方体一面的对角线，P为对角线中点时，满足题意，此时，则.故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知复数z和，则下列说法正确的是（）A.一定是实数 B.一定是虚数C.若，则是纯虚数 D.若，则是纯虚数【答案】A【解析】设,则故为实数，故A正确，对于B，，当时，此时为实数，故B错误，对于C，则，当时，此时为实数，C错误，对于D,，则，则是实数，故D错误，故选：A14.已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】若，则或与不共线，故选项A与B错误；若，则，故选项C错误，选项D正确.故选：D.15.已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因在（其中）上单调递增，则，.又因，则取，则.故选：A16.数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”．①存在等差数列满足“性质Ω”；②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”；下列选项中正确的是（）A.①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题；C.①是假命题，②是真命题； D.①是假命题，②是假命题．【答案】B【解析】设等差数列的首项和公差分别为，若等差数列满足“性质Ω”；由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题，设等比数列的首项和公比分别为，若，，则显然不成立，因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若的面积为，请判断的形状，并说明理由．解：（1）由正弦定理可得,因为，所以，B∈0，π,所以.（2）,所以,由余弦定理，得,即，解得,所以是等边三角形.18.如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为是正方形，所以，因为底面，所以，又，,在平面内，所以平面,在平面内，所以，由底面，可得，所以，即有，因为，所以，和BD在平面内，且，所以平面．（2）解：方法1：设点到平面的距离为，由题可知,,.所以．得直线与平面所成角的正弦值.方法2：（建系）以为原点，射线为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系．可得则，设平面的一个法向量为，则，令x=1，可得，直线与平面所成角的正弦值等于向量与平面法向量的夹角余弦值的绝对值：.19.2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.（1）求所抽取的“青年人”的人数；（2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.①简述如何采用抽签法任选2人；②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图可得，解得：，又“青年人”占比为，所以所抽取的“青年人”人数为人；（2）①先将10名参会者进行编号：1、2、、10，并将10个号码写在完全相同纸片上，放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人，②“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为，所以10人中“中年人”共有5人，2人均为“中年人”的概率，2人中至少有1人为男性的概率，2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率，因，所以事件A与事件B不独立.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点．（1）求该椭圆的离心率；（2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标；（3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围．解：（1）设椭圆的标准方程为，，，由已知可得，因为点在椭圆上，所以，又，所以，，所以椭圆方程为，所以；（2）①，直线的解析式为，因为的面积为3，所以边上的高为，过做的平行线，则直线的解析式为，联立方程组，解得：或，所以点的坐标为或；（3）①若或垂直于轴，则，②若和不垂直于轴，设直线的解析式为，点Ax1,y1联立方程组，得，从而，，，同理，，因为，所以，综上，的取值范围是.21.双曲余弦函数，双曲正弦函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若函数在上的最小值是，求实数a的值；（3）对任意恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由，，则，令，解得，当时，，则双曲余弦函数在单调递增；当时，，则双曲余弦函数在单调递减；所以函数的单调增区间是．（2）.令，所以在上是严格增函数，则当时，，函数，当时，严格增，，舍去，当时，，解得.综上所述，实数a的值为.（3）①先证明：，令，则，所以在上单调增，则，则当，，即成立；令，则，所以在上单调增，则，则当，，即成立；故，得证.②再证明：，令，令为偶函数.令，且，则当时，由①结论可知，，则，即当时，，由偶函数性质得，从而单调增，又，所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；从而，即有．③再证明：任意，当时，恒成立.设，，其中，当时，，成立；当时，，在单调递增，则，由②已证，故，即任意，当时，恒成立.