中考数学二轮培优复习专题26 解答题重点出题方向二次函数的实际应用（解析版）

专题26解答题重点出题方向二次函数的实际应用（解析版）模块一中考真题集训类型一最大利润问题1．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？思路引领：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100解得x=25y=30答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．总结提升：本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．2．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？思路引领：（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，由题意可知：9k+b=10511k+b=95解得：k=−5b=150∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）w＝y（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x为整数，当x＜19时，w随x的增大而增大，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．3．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m=12x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第时间第x天…259…销售量y/kg…333026…（1）求y与x的函数解析式；（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？思路引领：（1）利用待定系数法求解即可；（2）设销售这种水果的日利润为w元，得出w＝（﹣x+35）（12x+18﹣8）=−12（x−152）2+30258解：（1）设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：2k+b=335k+b=30解得k=−1b=35∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）；（2）设销售这种水果的日利润为w元，则w＝（﹣x+35）（12x+18﹣=−12x2+=−12（x−152∵1≤x≤10，x为整数，∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．总结提升：本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？思路引领：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80解得k=−2b=160∴y＝﹣2x+160；（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，而x≤54，∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．总结提升：本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．5．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？思路引领：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可；（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意可得，66001.1x+50解得x＝40．经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，∴1.1x＝44．∴第二批每个挂件的进价为40元．（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴当x≥52时，w随y的增大而减小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴w≥55，∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．总结提升：本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．6．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y=−110（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？思路引领：（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣50，可得z与x的函数解析式，再求出x=−b2a=−（2）当z＝17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的函数关系式，从而解决问题．解：（1）z＝y（x﹣30）﹣50＝（−110x+9）（x﹣=−110x2当x=−b2a=−122×(−（2）当z＝17.5时，17.5=−110x2解得x1＝45，x2＝75，∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，∴45≤x≤75，∵y=−110x+9．y随∴x＝45时，销售量最大．总结提升：本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键．7．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？思路引领：（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，（2）设李大爷每天所获利润是w元，由总利润＝每千克利润×销量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3（x−416）2解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数），答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数）；（2）设李大爷每天所获利润是w元，由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x−416）2∵﹣3＜0，x为正整数，且|6−416|＞|7∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7−416）2答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．总结提升：本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．8．（2022•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本）……22232425……每天销售量（本）……80787674……（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？思路引领：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元得5a+4b=1563a+5b=130，可解得A款纪念册每本的进价为20元，B（2）①根据两款纪念册每天销售总数不变，可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，待定系数法可得y＝﹣2x+124，即可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w元，则w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，根据二次函数性质可得答案．解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据题意得：5a+4b=1563a+5b=130解得a=20b=14答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，∵两款纪念册每天销售总数不变，∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，根据表格可得：80=22k+b′78=23k+b′解得k=−2b′=124∴y＝﹣2x+124，当y＝80﹣2m时，x＝22+m，即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w元，由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．总结提升：本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和函数关系式．9．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每千克售价x（元）……202224……日销售量y（千克）……666054……（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？思路引领：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由表中数据得：20x+b=6622x+b=60解得：k=−3b=126∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵﹣3＜0，∴当x＜30时，w随x的增大而增大，∴当x＝28时，w最大，最大值为420，∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．总结提升：本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．10．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？思路引领：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：14k+b=22016k+b=180解得：k=−20b=500故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，∵y＝﹣20x+500，∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）＝﹣20x2+760x﹣6500＝﹣20（x﹣19）2+720，∵﹣20＜0，∴当x＜19时，w随x的增大而增大，∵13≤x≤18，∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．总结提升：本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．类型二图形面积最大问题11．（2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为150平方厘米．思路引领：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为60−2x3cm（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为60−2x3cm∴x•60−2x3解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为60−2x3cm∴S＝x•60−2x3，即S=−23x2+20x=−23（∵−2∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．总结提升：此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．12．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．思路引领：设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列函数关系式，从而利用二次函数的性质求其最值．解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由题意可得：y＝x（47﹣2x+1），即y＝﹣2（x﹣12）2+288，∵﹣2＜0，∴当x＝12时，y有最大值为288，当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），∴鸡场的最大面积为288m2．总结提升：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．13．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？思路引领：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤103，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=（8﹣x）∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为10m，∴0＜x≤10根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x=103时，y取最大值，最大值为﹣3×（103−4）2+48=答：当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403总结提升：本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．14．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？思路引领：（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2∵﹣3＜0，∴当x=72时，总种植面积有最大值为1474即BC应设计为72m总种植面积最大，此时最大面积为1474m总结提升：本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．类型三物体的运动轨迹是抛物线的问题15．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即CEDE求：（1）点A的坐标；（2）该抛物线的函数表达式；（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：3≈思路引领：（1）由抛物线的图象可直接得出结论；（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，∴A（0，4）．（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，∵A（0，4），∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a=−1∴抛物线的解析式为：y=−12（x﹣4）（3）在Rt△CDE中，CEDE=3∴CE＝1.5，DE＝2．∴点D的纵坐标为﹣1.5，令−12（x﹣4）2+12＝解得，x＝4+33≈9.19或x＝4﹣33∴D（9.19，﹣1.5）．∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．∴OC的长约为7.2米．总结提升：本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．16．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：3≈1.73，5思路引领：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论；（2）当a=19时，y=−19x（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，0.167）代入a=25②由K在线段y=−12x+20上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得a=564．由解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），设CE：y＝kx+b（k≠0），将C（8，16），E（40，0）代入得：16=8k+b，0=40k+b，解得k=−∴线段CE的函数表达式为y=−12x+20（8≤（2）当a=19时，由题意得−1解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的横坐标为22.5．∵22.5＜32，∴成绩未达标．（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．∴设a=m将（100，0.250）代入得0.25=m100，解得∴a=25将（150，0.167）代入a=25v2∴a=25v2能相当精确地反映a与②由K在线段y=−12x+20上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x由a=25v2得又∵v＞0，∴v=85∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．总结提升：本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．17．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》思路引领：（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把（0，53）代入解析式得：53=a（0﹣解得：a=−4∴y关于x的函数表达式为y=−427（x﹣3）（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：令y＝0，则−427（x﹣3）解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．总结提升：本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．18．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）．思路引领：（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），∴h＝8，k＝23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：20.00＝a（0﹣8）2+23.20，解得：a＝﹣0.05，∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，解得：x＝8+20(23.20−t)或x＝8−∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+20(23.20−t)第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，解得：x＝9+25(23.24−t)或x＝9−∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+25(23.24−t)∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），∴20(23.20−t)＜∴d1＜d2，故答案为：＜．总结提升：本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．19．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．思路引领：（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−110x2+x（2）当y＝1.6时，−110x2+x+710=1.6，解得x＝1或x解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a=−1∴y=−110（x﹣5）2+3.2=−110x2答：抛物线的表达式为y=−110x2+x（2）当y＝1.6时，−110x2+x解得x＝1或x＝9，∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．20．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y=−160x2+bx+（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？思路引领：（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．解：（1）作BE⊥y轴于点E，∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝503m，∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），∴点B的坐标为（503，15），∵点A（0，65），点B（503，15）在二次函数y=−160x2+bx+∴c=65−解得b=3即b的值是32，c（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，因为点（0，0），（5，503）在该函数图象上，∴m=05k+m=50解得k=103即x关于t的函数解析式是x＝103t；②设直线AB的解析式为y＝px+q，∵点A（0，65），点B（503，15）在该直线上，∴q=6550解得p=−3即直线AB的解析式为y=−33则h＝（−160x2+32x+65）﹣（−33x+65）∴当x=−5362×(−160)=∵253＜503∴x＝253时，h取得最值，符合题意，将x＝253代入x＝103t，得：253=103t解得t＝2.5，即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是1254m总结提升：本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．21．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．思路引领：（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a=−150，b=910，知y=−150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故−150×752（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a=−150，b∴y=−150x2+∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=−150×75∴基准点K的高度h为21m；②∵a=−1∴y=−150x2+∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即−150×752解得b＞9故答案为：b＞9（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=−2∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）当x＝75时，y=−2125×（75﹣∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．类型四拱桥隧道问题22．（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．思路引领：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a=−9（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a=−9∴抛物线的解析式为y=−925（x﹣5）（2）令y＝6，得−925（x﹣5）解得x1=533+5，∴A（5−533，6），B总结提升：本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．模块二2023中考押题预测23．（2023•南海区一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，大沥镇超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套．（1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？（2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？思路引领：（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠，且已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套，可得x的范围，从而可得关于x的方程，求解即可．（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为w元，根据题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．解：（1）由平均费用为56元1套，可知该超市定制这款垃圾桶超过了200套．设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据题意得，60×200+60（x﹣200）×80%＝56x，解得x＝300．所以该超市定制这款垃圾桶300套．（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为w元，根据题意，得w＝（80﹣56﹣m）（20+2m），＝﹣2m2+28m+480＝﹣2（m﹣7）2+578，∵﹣2＜0，且0＜m＜24，∴当m＝7时，w有最大值．答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．总结提升：本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（2023•咸宁模拟）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？思路引领：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；（3）分两种情况解答：①当40≤x＜58时；②当58≤x≤71时，依据：总利润＝单件利润×销售量﹣工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．解：（1）当40≤x＜58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x+b1，由图象可得，60=40k解得：k1∴y＝﹣2x+140；当58≤x≤71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x+b2，由图象得，24=58k解得k2∴y＝﹣x+82．综上所述：y=−2x+140(40≤x≤58)（2）设人数为a，当x＝48时，y＝﹣2×48+140＝44，则（48﹣40）×44＝106+82a，解得a＝3．答：该店员工人数为3．（3）设每件服装的价格为x元时，每天获得的利润为w元．当40≤x＜58时，w＝（x﹣40）（﹣2x+140）﹣82×2﹣106＝﹣2x2+220x﹣5870＝﹣2（x﹣55）2+180，当x＝55时，w最大值＝180．当58≤x≤71时，w＝（x﹣40）（﹣x+82）﹣82×2﹣106＝﹣x2+122x﹣3550＝﹣（x﹣61）2+171，当x＝61时，w最大值＝171．∵180＞171∴w最大值为180答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．总结提升：本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．25．（2022•云安区模拟）云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？（2）在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．思路引领：（1）设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，根据购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元列出方程组，解方程组即可；（2）根据总利润＝每个A类头盔的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．解：（1）设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，根据题意得：3a+4b=2886a+2b=306解得a=36b=45答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；（2）根据题意得：y＝（x﹣36）（100−x−505×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x﹣∵﹣2＜0，50≤x≤100，∴当x＝68时，y有最大值，最大值为2048，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．总结提升：本题考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析和方程组．26．（2022•市南区三模）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+52x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p=12x（1≤x（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？思路引领：（1）根据题意可设y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），再利用待定系数法即可求解；（2）设利润为w元，根据“获得的利润＝（每件产品售价﹣每件产品成本﹣每件产品的杂费）×月销售量”列出函数，再根据二次函数的性质求出每段的最大值，最后对比即可求解；（3）设降价m元销售（m为整数），所获的利润为w′元，根据题意可得w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×4000350+50m，根据每件产品获利大于0和要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出得9≤m＜20，再由4000350+50m解：（1）设y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），由图可知，y1经过点（1，600）和（4，450），∴k+b=6004k+b=450∴k=−50b=650∴y1＝﹣50x+650（1≤x≤6），当x＝6时，y1＝y2＝﹣50×6+650＝350，∴设y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），∵y2过点（10，430），∴430＝a（10﹣6）2+350，∴a＝5，∴y2＝5（x﹣6）2+350＝5x2﹣60x+530（6＜x≤12）；（2）设获得的利润为w元，由题意可得w＝（z﹣50﹣p）•y，当1≤x≤6时，w=(60+5整理得：w＝﹣100x2+800x+6500＝﹣100（x﹣4）2+8100，∵﹣100＜0，∴当x＝4时，获得最大利润，最大利润为8100元，当7≤x≤12时，此时z＝60+52×6=75（元），则w＝（75﹣50﹣3）[5（x﹣6）2+350]＝110（x﹣6）2+7700，∵110＞0，∴当7≤x≤12时，y随x的增大而增大，∴当x＝12时，获得最大利润，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660（元），∵11660＞8100，∴该产品在去年12月获得最大利润，最大利润为11660元；（3）设降价m元销售（m为整数），所获的利润为w′元，由题意得：w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×4000∵要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，∴4000350+50m解得：m≥9，∵70﹣50﹣m＞0，即m＜20，∴9≤m＜20，∵4000能被350+5m整除，∴m可以取9，13，当m＝9时，w′＝（70﹣50﹣9）×4000﹣6000×4000当m＝13时，w′＝（70﹣50﹣13）×4000﹣6000×4000∵14000＞4000，∴当每件该产品降价9元时，获利最大．总结提升：本题主要考查二次函数的应用、一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．27．（2022•东莞市校级一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？思路引领：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；（2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；再由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：3120x解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，∴x+9＝26+9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．（2）设乙种灯笼的销售单价在50的基础上提高了a元，由题意可知，y＝（50+a﹣35）（98﹣2a）＝﹣2a2+68a+1470，∵﹣2＜0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：a=−b物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴a+50≤65，∴a≤15，∵a＜17时，y随x的增大而增大，∴当a＝15时，y最大＝2040．15+50＝65．∴乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．总结提升：本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．28．（2023•凤翔县模拟）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起跳台的高度OA为60m，基准点K到起跳台的水平距离为70m，高度为18m．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=−1（1）若运动员落地点恰好到达K点，求b，c的值．（2）若运动员飞行的水平距离为21m，恰好达到最大高度68.82m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．思路引领：（1）把（0，60），（70，18）代入函数解析式求解即可；（2）运动员飞行的水平距离为21m时，恰好达到最大高度68.82m，即是抛物线的顶点为（21，68.82），可得抛物线解析式为y=−150(x−21)2+68.82，当解：（1）将（0，60），（70，18）代入y=−1c=6018=−解得b=4∴b的值为45，c（2）能超过，理由：∵运动员飞行的水平距离为21m时，恰好达到最大高度68.82m，∴y与x的函数关系式为y=−1当x＝70时，y＝20.8＞18，∴他的落地点能超过K点．总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．29．（2022•东城区一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为0.88米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．（精确到0.1米）思路引领：（1）根据常量和变量的定义可得答案；（2）根据点的坐标描点、连线即可；（3）①根据图象与y轴的交点坐标可得答案；②求出y与x的关系式，再把y＝2代入即可．解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，故答案为：d，h；（2）如图，（3）①当x＝0时，y＝0.88，∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，故答案为：0.88；②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，c=0.88a+b+c=2.38解得a=−0.5b=2∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案为：0.7．总结提升：本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．30．（2022•巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．思路引领：（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．解：（1）根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴函数最大值为16，∴弹球第一次弹出的最大高度为16；（2）当y＝0时，则﹣x2﹣8x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣8，∴第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣b），当x=b2时，y＝16∴−b2×解得b＝42或b＝﹣42（舍去），∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣42），∴第二次相邻两落点之间的距离为42，设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣42）（x﹣c），当x=2+c2时，y解得c＝42+4或c＝42∴所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣42）（x﹣42−∴第三次相邻两落点之间的距离为|42+4﹣42∴相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣42）（x﹣42−总结提升：本题考查二次函数的应用，关键是根据题意建立坐标系，写出函数解析式．31．（2022•安顺模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（32，38），点B的横坐标为−32，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（1）求抛物线C1的函数表达式．（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？思路引领：（1）将点A坐标代入C：y＝a﹣2a中，求出a值即可；（2）求出抛物线C的顶点，求出实际最大高度，可得结果；（3）根据达到最大高度达到要求得到不等式，求出b的范围，从而算出B离地面的高度．解：（1）∵C1：y＝ax2﹣2ax，将A（32，38）代入，得：38=a×(解得：a=−1∴C1：y=−12x2+（2）由（1）得：y=−12x2+x=−12（x﹣∴C1的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，12∵O处距离地面1米，∴最大高度为12+1∴未达到要求；（3）C3：y＝2ax2+bx（a≠0），对称轴为直线x=−b4a，顶点（−b∵最大距离达标，∴−b∵B的横坐标为−3∴yB=9由（1）知a=−1∴b2解得：b≥2或b≤﹣2，∵x=−b∴a，b同号，则b≤﹣2，∴yB∴高度至少应为1+3∴该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为1.75米．总结提升：本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，理解题干中的实际情景．32．（2022•孟村县校级模拟）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；（2）请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？（3）此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（2≈思路引领：（1）先把题中的数字转化为点的坐标，再代入顶点式求解；（2）当x＝3时，求y值即可；（3）由y＝3.2求x的值．解：（1）由题意及图形知：抛物线的顶点为：M（0，4），过点A（﹣4，2.4），设抛物线的解析式为：y＝ax2+4，∴（﹣4）2x+4＝2.4，解得：a=−1∴抛物线的解析式为y=−110x（2）当x＝3时，y=−1所以小明的这次跳起投篮能投中；（3）当y＝3.2时，3.2=−110x解得：x＝±22，由题意知：x＜0，∴x＝﹣22，∴﹣22−（﹣4）≈所以他距运动员小明至少1.2米．总结提升：本题考查了二次函数的应用，数形结合思想是解题的关键．33．（2022•碧江区校级一模）如图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞抽象成抛物线，其最大高度为4.5m，宽为6m，将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平面直角坐标系如图所示，OM＝6．（1）求OAM这条抛物线的函数关系式；（2）若一艘高于水平面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm，设它顶部最宽处为dm，求d的值不得超过多少小船才能顺利通过？思路引领：（1）设y＝a（x﹣h）2+k，把顶点坐标为（3，4.5）代入可得解析式；（2）将y＝3代入解出x的值可得答案．解：（1）设OAM这条抛物线的函数关系式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意得顶点坐标为（3，4.5），∴y＝a（x﹣3）2+4.5，∵函数图象经过点M（6，0），∴0＝a（6﹣3）2+4.5，∴a＝﹣0.5，∴y＝﹣0.5（x﹣3）2+4.5＝﹣0.5x2+3x，∴OAM这条抛物线的函数关系式为y＝﹣0.5x2+3x；（2）当y＝3时，3＝﹣0.5x2+3x，解得：x1＝3+3，x2＝3−∵顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm，∴d+2×0.2≤3+3−（3解得d≤23−∴d的值不得超过（23−0.4）m总结提升：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题．34．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？思路引领：（1）由图设该函数解析式为y＝kx，即可依题意求出y与x的函数关系式．（2）本题涉及分段函数的知识．需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可．（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟．用配方法的知识解答该题即可．解：（1）设y＝kx，把（1，2）代入，得：k＝2，∴y＝2x，（0≤x≤40）；（2）当0≤x≤8时，设y＝a（x﹣8）2+64，把（0，0）代入，得：64a+64＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣8）2+64＝﹣x2+16x，当8＜x≤15时，y＝64；（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟，当0≤x≤8时，W＝﹣x2+16x+2（40﹣x）＝﹣x2+14x+80＝﹣（x﹣7）2+129，当x＝7时，Wmax＝129；当8≤x≤15时，W＝64+2（40﹣x）＝﹣2x+144，∵W随x的增大而减小，∴当x＝8时，Wmax＝128，综上，当x＝7时，W取得最大值129，此时40﹣x＝33，答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．35．（2022•大名县校级四模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：t（s）00.20.40.60.8…x（m）00.511.52…y（m）0.250.40.450.40.25…（1）当t＝0.4s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与t之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数关系式；如果不存在，请说明理由；（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取值范围．思路引领：（1）根据待定系数法求出抛物线L的关系式，再根据顶点坐标公式进行计算即可；（2）根据y与x的函数关系式，x与t的函数关系式进而得到y与t的函数关系式，再进行判断即可；（3）根据y与x的函数关系式可求出点D的坐标，再代入乒乓球反弹后抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的关系式可求出p的值，再根据乒乓球反弹后抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的关系式以及解直角三角形可求出CE的最大值和最小值即可．解：（1）由题意得，OB＝0.03m，设抛物线L的关系式为y＝ax2+bx+c，将（0，0.25），（1，0.45），（2，0.25）代入得，c=0.25a+b+c=0.45解得a=−0.2b=0.4∴抛物线L的关系式为y＝﹣0.2x2+0.4x+0.25，∵a＝﹣0.2＜0，∴当x=−b2a=1时，y最大值当x＝1时，t＝0.4，设x与t的函数关系式可能是x＝kt，把（0.2，0.5）代入得，0.2k＝0.5，解得k＝2.5，∴x与t的关系式可能为x＝2.5t，经验证：（0，0）（0.4，1）（0.6，1.5）（0.8，2）都满足x＝2.5t，∴x与t的关系式一定是x＝2.5t，∴y＝﹣0.2×（2.5t）2+0.4×2.5t+0.25＝﹣1.25t2+t+0.25，∴y是t的二次函数，关系式为：y＝﹣1.25t2+t+0.25，故答案为：0.4，y是t的二次函数，关系式为：y＝﹣1.25t2+t+0.25；（2）由题意得，BG＝CG=12BC＝1.37（∴OG＝OB+BG＝0.03+1.37＝1.4（m），当x＝1.4时，y＝﹣0.2×1.42+0.4