2025届新高考数学热点冲刺复习平面向量中一个重要定理的多种证明方法与应用

2025届新高考数学热点冲刺复习

平面向量中一个重要定理的多种证明方法与应用ABCO

奔驰原理:若点O是⊿ABC内的任意一点，则：ABCO一、奔驰原理的多种证明方法本文件包含以下内容：二、奔驰原理的相关结论（奔驰原理的推论）及证明三、奔驰原理及推论的逆定理与证明四、奔驰原理的应用

FABCOE

.证法1：过点A作BO的平行线，该线与射线CO交于点E,

过点A作CO的平行线，该线与射线BO交于点F,连接BE,CF;

奔驰原理：一、奔驰原理的多种证明方法

证明：连接OA、OB、OC,延长AO与BC交于点M,过点M作MN//OC,交OB于点N,

ABCONM证法2：（分三步）

成立。

成立。

奔驰原理：ABCOQR∴点A、O、R、Q四点共线,故中线AR过点O;同理可证其它两条中线都过点O;即点O是⊿ABC的重心。证明：如图，以OB,OC为邻边作平行四边形OBQC,OQ与BC交于点R,则

点R是线段OQ的中点，

证明：

连接OA、OB、OC,

则点O是⊿ABC的重心。由（2）得

点O是⊿DEF的重心;并且S⊿OEF=S⊿OFD=S⊿ODE.连接DE、EF、FD、DE、BF、CD、AE,则：ABCODEF

证法3：延长AO交BC于点E,则：ABCOE同理可得：

奔驰原理：

山东东营

徐新华ABCOE证法4：延长AO交BC于点E,则：

奔驰原理：

山东东营

徐新华证法5：以点O为原点、平行与BC的直线为x轴建立直角坐标系，ABCOxy

设A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC),易知yB=yC<0，yA>0,xB<0,xC>0,

奔驰原理：

证法6：过点B作OC的平行线与射线AO交于点F,AF与BC交于点E.

ABCOEF

奔驰原理：

ABCOEF山东东营

徐新华ABCO

证法7：

奔驰原理：ABCO

证法8：

奔驰原理：

山东东营

徐新华ABCO证法9：分两步来证明：

令OA=OB=OC=R,

（1）、若点O为⊿ABC的外心时，

奔驰原理：ABCOA’C’（2）、以点O为圆心，OB为半径作⊙O,OA,OC分别与⊙O交于点A’,C’;

xyABCO

证法10：分两步来证明：

证明：（1）、当点O为⊿ABC的外心时，建立如图所示的直角坐标系，

奔驰原理：ABCOA’C’（2）、以点O为圆心，OB为半径作⊙O,OA,OC分别与⊙O交于点A’,C’;

山东东营

徐新华ABCOEF证法11：

过点B作OC的平行线与射线AO交于点E,作EF//OB与OC交于点F.

奔驰原理：ABCOEF

山东东营

徐新华证法12：B1ABCOA1C1分别在射线OA,OB,OC上截取点A1,B1,C1,使得点O为⊿A1B1C1的重心，

令：OA=pOA1,OB=qOB1,OC=rOC1,

奔驰原理：1、若点O为⊿ABC的重心时，

ABCOQRMABCON证明：分两步来证明：[1].若点O为⊿ABC的两条中线AM,CN的交点（即点O为⊿ABC的重心），则OA=2OM.理由：连接MN，则MN是⊿ABC的中位线，∴MN//AC,

[2].如图，延长AO与BC交于点R,点R是BC的中点，延长OR至点Q，使得RQ=OR,

连接BQ,CQ,则四边形OBQC为平行四边形,

二、奔驰原理的相关结论（奔驰原理的推论）及证明(一）、奔驰原理相关结论的直接证明ABCO令OA=OB=OC=R,

2、若点O为⊿ABC的外心时，

ABCODEF

3、若点O为⊿ABC的垂心时，

4、若点O为⊿ABC的内心时，

ABCOM

过点B作CM⟂OA于点M，易得

ABCO奔驰原理及相关结论：

奔驰原理：相关结论：2、若点O为⊿ABC的外心时，

1、若点O为⊿ABC的重心时，

3、若点O为非直角⊿ABC的垂心时，

4、若点O为⊿ABC的内心时，

在前面,上述4个相关结论已经分别作出了验证，当然，它们又可作为奔驰原理的推论而得到证实。过程如下：ABCO1、若点O为⊿ABC的重心时，证明：易得S⊿BOC=S⊿COA=S⊿AOB,

2、若点O为⊿ABC的外心时，OA=OB=OC=R,

(二）、奔驰原理相关结论作为推论的证明ABCO3、若点O为⊿ABC的垂心时，4、若点O为⊿ABC的内心时，ABCODEF

NABCGM

∴点M,N分别在线段AB,AC上。三、奔驰原理及推论的逆定理与证明（一）、奔驰原理的逆定理与证明

ENABCGMFO则点O必为⊿ABC的垂心。

D1NABCO1OD证明：设点O1为⊿ABC的垂心，

由于⊿BOC与⊿COA有公共边OC,记边OB对应的高分别为h1,h2,

故点O为⊿ABC的垂心。

则点O为⊿ABC的重心。(已证）（二）、奔驰原理的4个结论的逆定理与证明则点O必为⊿ABC的外心。3、若点O为⊿ABC所在平面内一点，

ABCO证明：

故点O为⊿ABC的外心。则点O必为⊿ABC的内心。4、若点O为⊿ABC所在平面内一点，

ABCO证明：设点O到⊿ABC的边BC,CA,AB的距离分别为h1,h2,h3,

故点O为⊿ABC的内心。

1、点O为⊿ABC的重心

2、点O为⊿ABC的外心

3、点O为非直角⊿ABC的垂心

4、点O为⊿ABC的内心奔驰原理及相关结论总结：ABCO四、奔驰原理的应用1、已知点F1,F2分别为

椭圆C:的左右焦点，点P在椭圆C上，∠F1PF2=1200,点M为⊿PF1F2的内切圆的圆心，