教学课件：《数值分析》(河海大学)

数值分析ComputationalMethod

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记好课堂笔记

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保证课堂纪律

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按时完成作业

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按时上课，不迟到早退几点要求本课程的基本要求掌握数值方法的基本原理掌握常用的科学与工程计算的基本方法能用所学方法在计算机上算出正确结果

Chapter1绪论

简介1

引论实际问题建立数学模型选择数值方法

编写程序计算结果对实际问题解释若不合理修改数值分析是计算数学的一个主要部分，着重研究适合于电脑使用的数值计算方法及相关理论数值分析的特点：面向计算机，只能和逻辑运算；有可靠的理论分析；要费时少，内存小；经数值试验后，证明是行之有效。在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类：模型误差观测误差截断误差4.舍入误差第二节数值计算的误差固有误差计算误差2

误差的定义定义

设x为准确值，x*

是x的一个近似值，称为近似值x*的绝对误差，简称误差。e

=x

x定义

称满足的正数

*为近似值x*的绝对误差限，简称为误差限。定义

称为近似值x*的相对误差。常取作为相对误差.

定义

称满足的正数

为近似值x*的相对误差限。相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差.舍入误差:由于电脑的字长有限,参加运算的数据、运算的过程以及结果的存放,由此产生的误差称为舍入误差.例如用下列近似公式计算

由于

所以

截断误差为截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差.舍入误差:由于电脑的字长有限,参加运算的数据、运算的过程以及结果的存放,由此产生的误差称为舍入误差.

有效数字定义

如果近似值

的误差限是其某一位上的半个单位，且该位直到

的第一位非零数字一共有n位，则称近似值

具有n位有效数字，用这n位有效数字表示的近似数称为有效数。n位误差不超过该位的半个单位自左至右看，第一个非零数。定义

若准确值x的近似值

x*用规格化形式表示为则称近似值

有n位有效数字。其中：*判别有效数字位数的两种方法：

1.定义法，2.公式法。定理

令准确值x的近似值x

用规格化形式表示为若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为反之若x*的相对误差限

满足则x*至少具有n位有效数字。又

所以，

故，

所以，至少有n位有效数字。证毕

和、差、积、商的误差结论1和的误差是误差之和.结论2和或差的误差限不超过误差限的和.结论3乘积的相对误差等于两数相对误差之和.结论4绝对误差可以近似地由微分运算来描述;相对误差可以近似地由对数的微分来描述.对多元函数u=f(x1,x2,

,xn)有关系式误差传递公式………..例设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关系.例设

，

，求它们的绝对误差限。例已知的相对误差为，求的绝对误差（限）和相对误差（限），又若使的绝对误差限或相对误差限是，则的绝对误差限和相对误差限分别为多少1．3

误差定性分析与避免误差危害条件数与病态问题称

为计算函数值问题的条件数.数值稳定性

若初始数据的误差在大量的计算下,传播不大,就认为该算法是稳定的。否则，就认为不稳定。例计算

并估计误差。解已知

取算法1n012340.63210.36790.26420.20740.1704n567890.14800.11200.2160-0.72807.552又因为

所以取令算法2n987650.06840.10350.11210.12680.1455n432100.17080.20730.26430.36790.6321分析算法1

所以,（不稳定）

分析算法2

所以,

（稳定）3.避免误差危害的若干原则避免分母过小；避免两相近数相减；防止大数‘吃掉’小数；简化计算步骤，减少运算次数。

1.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值（即绝对值太小的数不宜做除数）分母只变0.0001,但结果相差112.2

2.避免两个相近的数相减例

计算的近似值。

已知解1

解2分析解1有2位有效数字分析解2

有6位有效数字例求的近似值。一般地有：(1)当x充分大时,应作变换(2)当x1与x2接近时,应作变换(3)当x接近于零时,应作变换3避免大数吃小数的现象例

求二次方程x2+104x

0.01=0的根,取10位浮点制。解1所以,(不合理)解2而用:

4尽可能减少运算次数

一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量，常用N表示。计算量的单位为flop，表示完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。例

计算x64在某点的值。算法1

x64=x

x

x。计算量N=63flop算法2

x64=x

x2

x4

x8

x16

x32

x。N=11flop例

计算多项式的值。秦九韶算法：计算量N=n算法3

,x64=x32

x32。N=6flopx2,x4,x8,x16,

x32所以,例设

求解

所以,

解毕。2.5.埃尔米特插值在插值节点上不仅要求函数值相等，而且要求导数值甚至高阶导数值也相等，满足这种条件的插值多项式称为埃尔米特插值多项式.例如：

4个条件决定了插值多项式是3次多项式且有4个都是3次多项式的插值基函数。

仅有两个互异节点x0,x1，插值条件为的三次Hermite插值公式为+++3)(xH=其中00)(yαx11)(yαx11)(yβx00)(yβx++3)(xH=00)(yαx11)(yαx11)(y′βx00)(y′βx.Hermite插值多项式的余项以两点三次Hermite插值公式为例:定理设函数f(x)在包含x0,x1的区间[a,b]内存在四阶导数,则当x

[a,b]时,有其中

(a,b)且与x有关。2．3牛顿插值

均差

1.定义：称为关于点的一阶均差(差商),为关于点的二阶均差,

为关于点的k阶均差。

约定的0阶均差。为关于点有时也记为。2均差的性质性质1f(x)关于节点x0,x1,

,xk的k阶均差可以表示为函数值f(x0),f(x0),,f(xk)的线性组合,即性质2对称性：均差与节点的排列次序无关。如性质3

若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且互异节点x0,x1,

,xn

[a,b]，则n阶均差与导数有关系（均差表）一阶均差二阶均差三阶均差3.牛顿插值公式一般，

其中，称为n次牛顿插值多项式。称为牛顿插值多项式的余项。

由插值多项式的唯一性知，

。所以,Nn(x)的确是插值多项式.3Newton插值多项式已知数据表

构造一个n次多项式满足条件于是,该插值问题得到解决.且是均差表中的对角线元素.（均差表）一阶均差二阶均差三阶均差据牛顿插值公式的形式知

所以，牛顿插值公式有继承性。一阶均差二阶均差三阶均差2.4等距节点的牛顿插值公式

若插值节点,满足:,称为步长，插值节点又可写为，据此建立的牛顿插值公式称为等距节点的牛顿插值公式。记

称为向前差分

称为向后差分称为中心差分

分别称为向前差分算子，向后差分算子，中心差分算子，不变算子，移位算子。，

二阶向前差分

m阶向后差分 二阶中心差分m阶向前差分

差分与均差的关系：差分与导数的关系：牛顿前插公式要计算附近点的函数值，令，余项为牛顿后插公式要计算附近点的函数值，令

，

余项为。

2.6分段低次插值高次插值的病态性质实际上，满足插值条件越多不一定有插值效果越好，龙格给出了例子，取个等距节点构造拉格朗日插值多项式，当时，随着增大而增大，不收敛于这一事实称为龙格现象。高次插值的Runge现象Runge现象2分段线性插值

设f(x)在各节点a=x0<x1<

<xn=b处的函数值分别为y0,y1,

,yn。

在曲线y=f(x)上相邻两点(xi-1,yi-1),(xi,yi)之间用直线连接(i=1,2,

,n),这n条直线段组成折线。此折线对应的函数In(x)称为分段线性插值函数。分段线性插值函数In(x)满足：(1)在每个小区间[xi-1,xi]上是线性函数;(2)在区间[a,b]上连续;(3)In(xi)=yi,i=0,1,

,n。In(x)在每个小区间[xi-1,xi]上的表达式为:+,11----iiixxxxiy1---iiixxxx1-iy)(=nxI分段线性插值的余项定理设函数f(x)在[a,b]上有二阶导数,则在[a,b]上的分段线性插值函数In(x)的误差估计为其中x

[a,b],定理若在收敛于自身。上连续，则其分段线性函数一致3分段三次Hermite插值

设f(x)在各节点xi处的函数值为yi导数值为y

i,i=0,1,

,n。

在曲线y=f(x)上相邻两点(xi-1,yi-1),(xi,yi)之间用三次Hermite插值多项式S3(x)连接(i=1,2,

,n),满足:(1)在每个小区间[xi-1,xi]上是三次多项式;(2)S3(x)和S

3(x)在区间[a,b]上连续;(3)S3(xi)=yi,S3(xi)=y

i,i=0,1,

,n。S3(x)在每个小区间[xi-1,xi]上的表达式为:分段三次Hermite插值的余项定理设函数f(x)在[a,b]上有四阶导数,则在[a,b]上的分段三次Hermite插值函数S3(x)的误差估计为其中x

[a,b],例求在并估计误差。又设，问步长为多少。上的分段埃尔米特插值,解其中:误差:，

若，则

解毕2.7样条插值1.概念

定义：若是分段三次多项式，且整体插值区间上有二阶连续导数，则称是三次样条函数,又若,

则称是三次样条插值函数。

常见边界条件第一边界条件