专题09-函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习(文)(解析版)

专题09函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．若函数(为常数)在区间上是增函数，则实数的范围是()。A、B、C、D、【答案】B【解析】设，则，，单调递增，在内单调递增，，故选B。2．函数满足：对任意实数，，则的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】，，，故选C。3．已知函数是定义在上的单调递增函数，则()。A、且B、且C、且D、且【答案】A【解析】，则恒成立，则，无要求，故选A。4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵定义在上的偶函数，∴，，又，，∴，∴，故选C。5．定义在上的函数满足：，且，，若，则()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由得函数的周期为，∴，∴，故选A。6．定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意可知为奇函数且在单调递减，要使成立，∴满足，解得，∴的取值范围为，选D。7．函数在单调递增，且对任意实数恒有，若，则的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵对任意实数恒有，故函数的图像关于直线对称，∵函数在单调递增，∴在上单调递减，故由，可得，即，即，求得，故选A。8．若为定义在上的奇函数，且，当时，，则()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，且为奇函数，∴，∴周期，∴、、、、、、、，∴，∴，故选D。9．已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意得，在上有解，即在上有解，即函数与函数的图像在上有交点，函数的图像是由函数的图像左右平移得到的，且当的图像经过点时，函数与函数的图像有界交点，此时代入点，有，得，∴，故选B。10．已知函数满足：，，则函数的最大值与最小值的和为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，则关于点中心对称，设，∵为奇函数，则关于点中心对称，关于点中心对称，则也关于点中心对称，最大值与最小值的和为，故选B。11．设函数()，则下列命题是错误的是()。A、若，则为奇函数B、若，则函数在上是增函数C、函数的图像关于点成中心对称图形D、关于的方程最多有两个实根【答案】D【解析】若，则，，即为奇函数，故A正确，若，则函数，在上为增函数，故B正确，由A可得，为奇函数，则它的图像关于原点对称，则函数的图像关于点成中心对称图形，故C正确，根据C结论和二次函数的图像和性质，可得关于的方程最多有三个实根，故D错误，故选D。12．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是()。A、函数为奇函数B、函数的图象关于点对称C、对任意的、，D、存在、，使得成立【答案】C【解析】对于A，，A错，对于B，的图象关于点对称，则关于点对称，则应为奇函数，，B错；对于C，令，则化为，，则，，故的值域为，对于任意的、，，C对；对于D，由C知D错，故选C。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）13．若函数的单调递增区间是，则。【答案】【解析】当时，为减函数，当时，为增函数，结合已知有，。14．若函数为奇函数，则。【答案】【解析】奇函数，即，即，∴，，当时，，故舍去，∴。15．已知函数满足：，且，则。【答案】【解析】，∴，。16．已知函数定义域为，对于任意的有，当时，，则；若当时，恒成立，则的取值范围是。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】【解析】∵对任意的有，且当时，，∴；设，则，∴，则，∵时恒成立，∴，又时，，而时在时取得最小值，∴，解得。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）讨论(且)在上的单调性。【解析】任取、，且，则：，3分∵，∴，∴，4分(1)当时，，，，，∴，，6分(2)当时，，，，，∴，，8分综上，对于任意且，均有，∴在上是增函数。10分18．（12分）定义在上的函数，，当时，，且对任意的、，有。(1)证明：；(2)证明：对任意的，恒有；(3)证明：是上的增函数；(4)若，求的取值范围。【解析】(1)证明：令，则，又，∴；2分(2)证明：当时，，∴，，∴，又，∴对任意的，恒有；5分(3)证明：设，则，∴，∵，∴，，∴是上的增函数；8分(4)解：，在上为增函数，∴，∴。12分19．（12分）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有。(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若，对所有，恒成立，求的取值范围。【解析】(1)∵，令，得，∴，1分令可得：，∴，∴为奇函数；3分(2)∵是定义在上的奇函数，由题意设，则，5分由题意时，有，∴，∴是在上为单调递增函数；6分(3)∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为，7分∴要使，对所有，恒成立，8分只要，即恒成立；9分令，得，∴或。12分20．（12分）已知定义域为的函数是奇函数。(1)求、的值；(2)判断的单调性，并用单调性定义证明；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。【解析】(1)∵是定义域为上的奇函数，∴，即，∴，1分又由，2分∴，，经检验可取，∴；4分(2)任取，且，则，6分∵，∴，，∴，∴为上的减函数；8分(3)∵是奇函数，∴等价于，9分∵为减函数，由上式可得：，10分即对一切有：对恒成立，。12分21．（12分）已知函数(，，)是奇函数，当时，有最小值，其中且。(1)试求函数的解析式；(2)问函数图像上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。【解析】(1)∵是奇函数，∴，即，2分∴，∵，，，∴，当且仅当时等号成立，于是，∴，4分由得即，∴，解得，又，∴，∴，∴；6分(2)设存在一点在的图像上，并且关于的对称点也在图像上的点，7分则，消去得，，9分∴图像上存在两点、关于对称。12分22．（12分）已知函数。(1)求的单调区间；(2)当时，恒成立，求的取值范围。【解析】(1)的定义域为，，1分令，解得，2分当，，则函数在上单调递减，3分当，，则函数在上单调递增；4分(2)令，则当时，恒成立，，5分①当，时，恒成立，