广东省东莞市东莞外国语学校2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题 附答案

试卷第=page11页，共=sectionpages44页试卷第=page22页，共=sectionpages44页2023-2024莞外高三上学期第二次月考一、单选题（选对得5分，选错得0分.）1．设集合，，则（

）A．B．C． D．2．已知，则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C． D．3．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．4．已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（

）A． B． C． D．5．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（

）

A．年甲系列产品收入比年的多B．年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多C．年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的D．年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍6．已知展开式中的系数为48，则实数（

）A．1 B． C．2 D．7．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则A． B． C． D．8．在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．12π B．24π C．48π D．96π二、多选题（选对得5分，漏选得2分，选错得0分）9．若，，且，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C． D．10．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则11．已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（

）A．的最小值是，最大值是 B．的周期为C． D．12．如图，正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是（

）A．直线与是异面直线B．三棱锥的体积为C．过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则D．点到平面的距离是一个常数三、填空题（做对得5分，做错得0分.）13．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有条鱼.14．函数的单调递增区间为.15．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为.16．已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为．四、解答题17．正三棱柱中，是的中点，连接，交于点，，．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)求直线与平面ABC所成角的正切值18．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄23456患病人数2120151410(1)求关于的线性回归方程；(2)计算变量的相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强?附：回归方程中，，相关系数.19．在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使．(1)求证：；(2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．20．已知函数，其中.(1)若在处取得极值，求a的值；(2)当时，讨论的单调性．21．某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数;(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．附：若随机变量服从正态分布，则，22．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．答案第=page33页，共=sectionpages88页答案第=page22页，共=sectionpages88页2023-2024莞外高三上学期第二次月考参考答案1．B【详解】由题意可得，即，所以.故选：B2．B【详解】解：，，，所以故选：B3．A【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以至多有一个零点，因为，，所以在零点在区间，故选：A．4．D【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为，对于A选项：的定义域为，所以A选项错误；对于B选项：的定义域为，所以B选项错误；又知当时，，对于C选项，的定义域为，当时，，所以C选项错误；对于D选项，的定义域为，当时，，故选D.5．C【详解】对于A：年甲系列产品收入占了总收入的，年甲系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年甲系列产品收入比年的多，故A选项不符题意；对于B：年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的，该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多，故B选项不符题意；对于C：年丁系列产品收入占了总收入的，年丁系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的，故C选项符合题意；对于D：年戊系列产品收入占了总收入的，年戊系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍，故D选项不符题意.6．A【详解】二项式的通项公式为：的展开式中，的系数为，解得．故选：A7．C【详解】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．8．C【详解】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，则，所以，则，外接圆的半径为，所以棱柱外接球的半径为，令，则，则，在上单调递减，在上单调递增，以当时，，则该三棱柱外接球表面积最小值为.故选：C.9．AB【详解】，则，当且仅当时取等号，A正确；，即，，则，当且仅当时取等号，B正确，C错误；，D错误．故选：AB10．ABC【详解】由题意，A项,设所在平面,,只需即满足题设,故A错误；B项，设且且,此时，B错误；C项，当，，时，可能垂直于，C错误；D项，当，，，则，故D正确.故选：ABC.11．ABD【详解】由于，所以图象关于直线对称，由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，所以是周期为的周期函数，B选项正确.当时，，当时，，所以，当时，的开口向上，对称轴为，所以，据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确.，C选项错误.，，所以，D选项正确.故选：ABD12．ACD【详解】选项A.取的中点，连接,则又，所以,所以四点共面.又平面,平面,则平面由,所以平面，又平面所以直线与是异面直线，故A正确选项B.,故B不正确.选项C.在正方体中，分别以为轴建立空间直角坐标系.取的中点，连接,则,设平面的法向量,则,即取设平面的法向量,则,即由，可得，即平面平面，设,连接,且平面平面此时由与相似，由，可得，即此时点满足.过点在平面内作,则平面由,则与不平行，所以与一定相交，设为.又平面，则平面.所以过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则所以选项C正确.选项D.设点到平面的距离为.由选项A的解答可知，平面所以点到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离.则点到平面的距离等于点到平面的距离.,即,所以由在正方体中，由题意，为给定三角形，所以，为定值，故点到平面的距离为常数.故D正确.13．40000【详解】设水库里大概有x条鱼，则，解之得14．【详解】由，或，所以该函数的定义域为，二次函数的对称轴为，因为函数是正实数集上的减函数，所以函数的单调递增区间为二次函数的递减区间，即为，而，所以的单调递增区间为，故答案为：15．【详解】由题意可得l的一个单位方向向量为，,故点P到直线l的距离.16．1【详解】因为，所以为上的奇函数．又，所以在上单调递增．不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令，所以，所以当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数．所以，设，显然为上的增函数，因为，，所以存在，使得，所以，此时，所以，即的最大值为1．17．【详解】（1）正三棱锥中，是的中点，，三棱锥的体积为：………3（2）连接，是矩形，是的中点，为的中点，，平面，平面，平面.……………6（3）取中点，连接，为的中点，，平面，平面，即为直线与平面所成角，

，，分别为的中点，，，即.…………………1018．【详解】（1），，，，，……………4，所以与之间线性回归方程为.……………6（2），则，…10因为且非常接近，所以该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.…………1219．【详解】（1）证明：，平面，平面，∵平面，，又，平面，平面，∵平面，∴；………5（2）由题意，两两垂直，以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为，，易得，设，则，………………6当时，两点重合，平面的法向量为，设平面的一个法向量为，且，，故，不妨取，得，则，…………………8设平面与平面所成角为，则，不合题意，舍去；故，设平面的一个法向量为，且，故，不妨取，解得．………10故化简可得，解得：或，因为，所以或12．…………1220．【详解】（1），由题意，，解得，…2当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，故为的极值点，满足题意，故………………………4（2）定义域为，，，……5①时，，令，解得或，令，解得，函数在，内单调递增，在内单调递减；②当时，，故函数在上单调递增；③当时，，令，解得或，令，解得，故在，内单调递增，在内单调递减．综上：当时，在，内单调递增，在内单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，内单调递增，在内单调递减．……………1221．【详解】（1）设样本平均数的估计值为则．解得．所以样本平均数的估计值为62．前三组的频率和为，前四组的频率和为，第四组的频率为，所以分位数为.………4（2）因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中．所以．所以．所以估计能参加复试的人数为．……………8（3）由该学生获一等奖的概率为可知：．则．令．．当时，;当时，．所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．所以．所以的最小值为．…………1222．【详解】（1）由题意知：定义域为：且令，，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，，使得当时，；时，即