高一数学必修1导学案全

第一课时集合的含义及表示方法

【课时目标】

1.集合与元素的特征和关系；

2.运用集合的两种常用表示方法一一列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

3.空集的含义与符号。

【知识梳理】

1.集合的含义：构成一个集合(set).

2.集合中元素的特性：

(1)确定性.设A是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元

素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

(3)无序性.集合与其中元素的排列次序无关.

3.常用数集及其记法：

自然数集记作;正整数集记作或;

整数集记作有理数记作;实数集记作。

4.元素与集合的关系：

如果a是集合A的元素，就记作；读作“”；

如果a不是集合A的元素：就记作—或一读作“”.

5.集合的常用表示方法：

(1)列举法

将集合的元素___________出来，并表示集合的方法叫列举法.

元素之间要用分隔，但列举时与无关。

(2)描述法

将集合的所有元素都具有性质表示出来，写成的形式,称之为描述

法.

6.集合相等

如果两个集合A,B所含的元素则称这两个集合相等，记为:

7.议一议

。与｛0｝是一样的吗？

。与｛0｝是一样的吗？

【基础训练】

1.下列研究的对象能否构成集合

(1)世界上最高的山峰

(2)高一数学课本中的难题

(3)中国国旗的颜色

(4)充分小的负数的全体

(5)book中的字母

(6)立方等于本身的实数

(7)不等式2x-8〈13的正整数解

2.集合的常用表示方法

用列举法表示下列集合：

(1)中国国旗的颜色的集合；

(2)单词mathematics中的字母的集合；

(3)自然数中不大于1C的质数的集合；

(4)同时满足4的整数解的集合；

l+x>2x-l

(5)由⑷+凹(a/wR)所确定的实数集合.

ab

(6)((x,y)|3x+2y=16,xEN,yGN)

用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整数的集合；

(2)使)，=2-土有意义的x的集合；

x

(3)方程x2+x+l=0所有实数解的集合；

(4)抛物线y=f2+3x-6上所有点的集合；

【例题精讲】

例1：集合M中的元素为1,x,x2-x,求x的范围？

例2:集合A中的元素由x=a+b(a£Z,b£Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？

1

(1)0(3)

V3-V2

例3.己知集合P={-l,a,b),Q={-l,a2,b2},且Q=P,求l+a2+b2的值.

例4.已知集合,如果真合中只有一个元素，则的值为;如果，则的取

值表示成集合为

【能力提升】

1.设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合：

①1£S,②若，则，请解答下列问题：

(1)若2£S,则S中必有另外两个数，求出这两个数；

(2)求证：若，则

(3)在集合S中元素能否只有一个？请说明理由；

(4)求证：集合S中至少有三个不同的元素.

【当堂检测】

1.用列举法表示下列集合：

2

(1){x|x2+x+l=O}

(2){x|x为不大于15的正约数}

(3){x|x为不大于10的正偶数}

(4){(x,y)10WxW2,0<y<2,x,y£Z}

2.用描述法表示下列集合：

(1)奇数的集合；

(2)正偶数的集合；

(3)不等式2x-3>5的解集；

(4)直舛坐标平面内属于第四象限的点的集合.

3.下列集合表示法正确的是

(1)(1,2,2}；(2){全体有理数};

(3)方程组的解的集合为{2,4}；

(4)不等式x<5>0的解集为小2-5>0}.

4.下列写法正确的是__________________

①Q；②当n£N时，由所有(T)n的数值组成的集合为无限集

③R；©-1GZ；⑤由匕ook中的字母组成的集合与元素k,o,b组成的集合是同一个集

合.

5.用£或任填空

1N-3N0N应N

1Z-3Q0Z0R

r22

0N*71R——Qcos300Z

7

6.由实数-x,|x|,,x,组成的集合最多含有元素的个数是_______个。

7.三个元素的集合1,a,,也可表示为0,a2,a+b,求a2005+b2006的值.

8.已知集合B={x|}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A.

9.集合A={x|y=x2+1},B={t|p=t2+1},C={y|x=},这三个集合的关系？

10.已知A={a|},试用列举法表示集合A.

想一想变式题：已知A={a|},试用列举法表示集合A.

第二课时子集，真子集

【课时目标】

（1）子集、真子集的概念，

（2）弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

【知识梳理】

1.子集的概念及记法：

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A为集合B的子集

（subset）,记为_____或_____读作“_____”或

符号语言可表示为：

图形语言可表示为:

2.子集的性质：

①AqA；②0=③则AqC

4

想一想：与能否同时成立？若能A与B的关系是什么？

3.真子集的概念及记法：

如果，并且AWB,这时集合A称为集合B的真子集(properset),

记为_____或_____读作“”或"”

符号语言可表示为：_____________________

试一试

举个真子集例子___________________________________

4.真子集的性质：

①是任何非空集合的真子集，符号表示为

②真子集具备传递性，符号表示为

【例题精讲】

一、一个集合的子集、真子集的个数

①例1.

②写出集合{a,b}的所有子集及其其子集；

写出集合{a,b,c}的所有了集及其真了集；

归纳总结一下

①一个集合里有n个元素，那么它有个子集；

②一个集合里有n个元素，那么它有个真子集；

③一个集合里有n个元素.那么它有个非空真子集.

二、元素与集合、集合与集合的关系

例2.以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来.

(1)a与{a}0与0

(2)与{20,,,}

(3)S={-2,-l,1,2},A={-1,l},B={-2,2}；

(4)S=R,A={x|x<0,xeR},B={x|x>0,xeR)；

(5)S={x|x为地球人),A={x|x为中国人},B={x|x为外国人)

尝试总结一下

①判断两个集合的包含关系，主要根据是__________________________,看两个集合里的

元素的关系，是包含，真包含，相等.

②元素与集合之间用_______集合与集合之间用

三、子集的性质

例3:设集合A={x|x2+4x=0,xeR),B={x|x2+2(a+l)x+a2-l=0,xeR}»若BA,

求实数a的取值范围.

【当堂检测】

1.判断下列表示是否正确：

(1)a{a}(2){a}G{a,b}(3){a,b}{b,a}

⑷{11}{-1,0,1}

2.指出下列各组中集合A与B之间的关系.

(1)A={-1,l},B=Z；

(2)A={1,3,5,15},B={x|x是15的正约数};

(3)A=N*,B=N

(4)A={x|x=l+a2,aWN*},B={x|x=a2-4a+5,a£N*}

3.写出集合{—1,0,1}的所有子集.

4.已知集合A二{x|x=a+,a^Z},B={x|x=,b^Z},C={x|x=,c®Z},试判断ABC满足的

关系

5.设不等式的解集为，集合，若(，求的取值范围.

6.设集合，

若(，求实数的值.

7.已知集合A={x|x2-l=0},B={x|x2-2ax+b=0},BA,求a,b的取值范围.

8.(1)已知(1,2)M{1,2,3,4,5),则这样的集合U有多少个？

(2)已知M={1,2,3,4,5,6,7,8,9),集合P满足:PM,且若,则10-£P,则这

样的集合P有多少个？

第三课时集合的运算-交集

【课时目标】

1.理解交集的概念及其交集的性质

2.理解区间的表示方法

【知识梳理】

1.交集的定义：

一般地，,称为A与B交集，(intersectionset),记作,

读作“”.

交集的定义用符号语言表示为：

交集的定义用图形语言表示为：

注意：(1)交集(AAB)实质上是A与B的公共元素所组成的集合.

(2)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是ACB=.

2.交集的常用性质：

(1)AC1A=A；

(2)An0=0；

(3)APB=BAA；

(4)(AriB)nc=An(Bnc)；

(5)ADBA,ADBB

6

3.集合的交集与子集：

思考:ACIB=A,可能成立吗？

[答]_____________

结论：APB=AAB

4.区间的表示法：

设a,b是两个实数，且@<人我们规定：

[a,b]=(a,b)=

[a,b)=(a,b]=

(a,+8)=(一8,b)

(-8,+OO)=

其中[a,b],(a,b)分别叫闭区间、开区间；[a,b),(a,b]叫半开半闭区间;

a,b叫做相应区间的端点.

注意：

(1)区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合，又一种符号语言

(2)区间符号内的两个字母或数之间用”号隔开

(3)8读作无穷大，它是一个符号，不是一个数

【例题精讲】

例1。求已知两个集合的交集

(1)设八={-1,0,1),B={0,1,2,3},求AAB；

(2)设A={x|x>0},B={x|xWl},求AAB；

(3)设八二以卜=31<,keZ},B={y|y=3k+lk£Z},C={z|z=3k+2,kGZ),D={x|x=6k+l,k

EZ),求ACIB；ADC；CAB；DAB；

例2.已知数集A={a2,a+1,-3),数集B={a-3,a-2,a2+l},若AAB={-3},求a

的值.

例3(1)设集合A={y|y=x2-2x+3,x£R},B={y|y=-x2+2x+10,xGR),求AAB；

(2)设集合A:{(x,y)|y=x+l,x€R}»B:{(x,y)|y=-x2+2x+,x£R},求AHB；

例4:已知集合人={2,5},B={x|x2+px+q=0,xER)

(1)若8={5},求p,q的值.

(2)若AGB=B,求实数p,q满足的条件.

例5:已知全集U={不大于20的质数},M,N是U的两个子集，且满足MPl()={3,5),

{7}19},{2,17},求M,N的值.

【当堂检测】

1(2010江苏卷)设集合.《二{-1,1,3},B={a+2,a2+4),AnB={3},则实数a=

2(2010浙江文数)设尸={x|xvl},Q={x|f〈4},则=

3(2010江西理数)2.若集合，，则=

4.设集合A二{小于7的正偶数},B={-2,0,2,4},求AAB；

5.设集合心{仪,丫)|y=-4x+6,x£R},B={(x,y)|x=y2-l}AAB；

6.设集合A二{x||x=2k+l,k£Z},B={y|y=2k-l,k£Z},C={x|x=2k,k£Z},

求AAB,BAC.

7.已知集合A二{x|x2+x-6=0},B={x|mx+l=0=0},若AClB=B,求实数m所构成的集合M.

8.已知集合M={x|xWT},N={x|x>a-2},若MCNN,则a满足的条件是什么?

第四课时集合的运算-并集

【课时目标】

1.理解并集的概念及其交集的性质

【知识梳理】

1.并集的定义：

一般地，,称为A与B并集，记作______,读作“

并集的定义用符号语言表示为：

并集的定义用图形语言表示为：—

注意：并集(AUB)实质上是A与B的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集

合中要注意元素的互异性.

思考：注意集合的并集运算和交集有什么不同？

2.并集的常用性质：

(1)AUA=A；(2)AU0=A；(3)AUB=BUA；

(4)(AUB)UC=AU(BUC)；(5)AAUB,BAUB

3.集合的并集与子集：

思考:AUB=A,可能成立吗？AU是什么集合？

［答］_________________________

结论：AUB=BAB

【例题精讲】

例1根据下面给出的A、B,求AUB

①八二卜1,0,1),B={0,L2.3}：

8

②人=旧]：*2-2x},B={x||x|^3）；

③A={梯形},B二{平行四边形}.

例2已知全集U=R,A={x|-4Wx<2},B=(-l,3),P={x|xWO,或x

2),

求：①(AUB)DP②UP③(AFIB)U.

例3已知集合A={y|y=xT,xGR},B={(x,y)|y=x2-l,xGR},C={x|y=x+1,y23},

求(AC)B.

例4:已知集合人=仅尻2-1=0},B={xIx2-2ax+b=0},AUB=A,求a,b的值或a,b所满足

的条件.

例5若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0),

(1)若AUB=APB,求a的值；

(2)ADB,APO,求a的值.

【当堂检测】

1（2010上海文数）已知集合，，则-------

2（2010广东文数）若集合，则集合

3.设A=（-l,3],B=[2,4）,求AUB；

4.已知知{y|y=x2T},B={y|x2=-y+2},求AUB；

5.写出阴影部分所表示的集合:

图2

6.集合U={1,2,3,4,5,6},B={1,4},A={2,3,5)

求：

7.若集合1)={1,2,4,m}.Q42,m2},满足PUQ二{1,2,4,m},求实数m的值组成的集

合.

8.已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|x2-ax-l=0},C={x|x2-mx+l=0},且AUB=A,AAC;C.

求a,ni的值或取范围.

第五课时补集、全集

【课时目标】

（1）子集、真子集的概念，

（2）弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

r知识梳理】

1.全集的概念：

如果集合U包含我们所要研究的各个集合，这时U可以看做一个全集（universalset）

全集通常记作_____

想一想：

N,Z,R能否看成全集？

2.补集的概念：

设由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集

（complementaryset）,记为,读作“”即：=

图形语言表示___________________

3.补集的性质：

①Q0=②CJJ=③。（。/）二_

【例题精讲】

例1：①方程组的解集为A,U=R,试求A及.

②设全集上艮A={x|x>l},B={x|x+a<0},是的真子集，求实数a的取值范围.

10

例2.集合U={x||x-l|<4}，集合A={x\x2v1},求G,A

【能力提升】

1.已知全集5={1,3x343x2+2x1,集合A={1,|2x-l|},如果={0},则这样的

实数x是否存在？若存在，求出x,若不存在，请说明理由.

【当堂检测】

1.已知，（，当取下列集合时，求

(1)A={-1,0}CL,A=

(2)A={x|-l<x<0}QA=

(3)A={x|-l<x<0}Cb,A=

(4)A={x|O<x<\}C；A=

(5)A={x|-1<x<5}Cb,A=

(6)/4={x|-l<x<5}C(jA=

2.已知集合，，则

3.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且AC知⑶,BnA={9},filjA=

4.已知全集，集合，则=

5.日知全集U=R,集合M={x||x-l|2},则

6.设U=,A=，若，则实数《1=___.

7.^U=Z,A={x|x=2k,k^Z},B={x|x=2k+1,k^Z},则

8.设全集，，若

则m—

9.设全集是数集U={2,3,a2+2a-3},已知A={b,2},={5},求实数a,b的值.

高一数学《集合》小测试

姓名分数

一、选择题

1.下列四组对象，能构成集合的是

()

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家

C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

2.若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则CU(MUN)=()

A.{1,2,3}B.{2}C.{I,3,4}D.{4[

3.以下六个关系式：①，②，③，④，⑤，

⑥是空集，其中错误的个数是()

A4B3C2D1

4.点的集合M={(x,y)Ixy20)是指

()

A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集

C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集

5.若{1,2}A{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A的个数是()

A.6B.7C.8D.9

6.满足的所有集合A的个数()

A.1个B.2个C.3个D.4个

7、设集合A=,B=，若AB,则的取值范围是)

A^a\a>2}B{@《1}CD{@<2}

8、设集合，，且，则()

A.B.C.I).

9、如图,U是全集,M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是)

A.B、

C.D、

10、集合，，，

且，则有)

A.B.

12

C.D.不属于P、Q、R中的任意一个

二、填空题

11.已知的真子集的个数是。

12.集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+l=O},若BA,贝！Ja=_

13、设全集U=,A=,CA=，贝!j=,=o

14.集合，，_.

15.已知集合A={x[},若AGR=，则实数m的取值范围是

16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得

正确得有31人，两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人.

三、解答题

17、已知集合人二,B=,AAB={3,7},

求。的值及集合4。8。

18、已知集合人=,B={x|2<x<10},C={x|x<a),全集为实数集R.

(1)求AUB,(CRA)GB；(2)如果AC1CW。，求a的取值范围。

19、已知集合，B=，若，且

求实数a,b的值。

第7课时函数的概念与定义域

【课时目标】

1.理解函数概念；

2.构成函数的三个要素；

3.求一些函数的定义域：

【知识梳理】

1.函数的定义：设是两个数集，如果按某种对应法则，对于集合口的

—元素，在集合中都有的元素和它对应，这样的对应叫做从

到的一个函数，记为.其中组成的集合

叫做函数的定义域.

2.①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.

②符号“f:A-B”表示A到B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应关系,

三者缺一不可.

③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.

④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.

⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.

【例题精讲】

一、函数的定义

例1:判断下列对应是否为函数：

2

(1)xf—(2)%—7=x,xsN,ywR；

x

(3),,；

(4),,•

二、同一函数

例2:下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①5)=x-5®y{=y/x-\y/x-\y1=^(x+l)(x-l)

x+3~

22

③力(幻=(j2x.5)2f2(x)=2x-5®f(x)=x-2x-l,g(t)=t-2t-l.

变式训练下列函数中哪个与函数是同一个函数？

(1)丁=(6;(2)y=y/x^；(3)y=y[x^

三、具体函数的定义域

例3:求下列函数的定义域：

(1)；(2)；(3).

四、抽象函数的定义域

例4:(1)已知的定义域为，求的定义域。

(2)已知的定义域为，求的定义域。

变式训练：已知的定义域为，求的定义域。

14

【当堂检测】

1.求下列函数的定义域：

(1)函数/(x)=l-4x的定义域为,

(2)函数/(幻=一4v乙的定义域为______________________________________o

x-4

(3)函数/。)=|］一1|一1的定义域为o

(4)函数/&)=>/6+J7=1的定义域为

2.求下列函数的定义域：

(1)函数f(x)=j2x二4+——(2)函数/(外=---------

x-3|x+11-2

\Jl-X

(3)函数/(x)=--⑷fM

|x+l|-3

1+-

X

3.已知函数的定义域为，则函数的定义域。

4.若函数的定义域为:求实数的取值范围.

变式：若函数的定义域为，求实数的取值范围.

第8课时函数的图像

【课时目标】

1.能正确画出一些常见函数的图象；

2.会利用函数的图象求一些简单函数的值域

3.从“形”的角度加深对函数的理解.

【知识梳理】

函数的图象：将函数自变量的一个值作为_______坐标，相应的函数值作为_______坐标,

就得到坐标平面上的一个点，当自变量所有这些点组成的

图形就是函数的图象.

2.函数图像的作法：(1)指点法(2)变换法

基础训练

练一练：画出下列函数的图象：

(1)；(2),；

3.函数的图象与其定义域,、值域的对应关系：函数的图象在轴上的射影构成的集合

对应着函数的在轴上的射影构成的集合对应着函数的

想一想：函数的图像如下

图2

1.定义域：___值域：___2.定义域：______值域:

【例题精讲】

一、函数的图像

例1:画出下列函数的图象：

(1)/(X)=2.¥-1(XG[-2,5])(2)/(X)=(X-1)2+1,XG[1,3)

(3)f(x)=\x-]\(4)f(x)=--

x

例2:画出函数的图象，并根据图象回答下列问题：

⑴比较〃-2)J⑴J⑶的大小;

⑵若(或，或)比较与的大小；

(3)分别写出函数()，()的值域.

变式训练：己知函数：

(1)若，试比较与的大小；

(2)若定义域和值域恭是，试求的值.

二、根据函数的图像求函数的值域

例工已知函数，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域:

(1)；(2)；(3).

例4.求函数的值域。

例5.求函数f(x)=Y_4|可+3,(x£[―3,4])的值域。

16

【当堂检测】

1.直线与抛物线的交点有个：直线与抛物线的交点可能有个；

2.函数的图象如图所示，填空：

（1）;（2）；（3）;（4）若，则与的大小关系

为

3.画出函数的图像并回答：

（1）求函数的值域；（2）若恒成立，求的取值范围。

4.画出函数的图像并求函数的值域。

第9课时函数的表示方法

【课时目标】.

1.掌握表示两个变量之间的函数关系的方法一一列表法、解析法、图象法；

2.能选用恰当的方法来求出两个变量之间的函数关系；

3.分段表示函数的解析式，

【知识梳理】

1.函数的表示方法

用来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法；

用_________来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解

析表达式，简称）;

用来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法.

2.分段函数

在定义域内不同部分上：有不同的，这样的函数叫做分段函数。

想一想：

分段函数是一个函数，还是几个函数____________________________________________

分段函数的定义域怎么表示_______________________________________________________

分段函数的值域怎么表示—

【例题精讲】

一、函数的表示法

例1：购买某种饮料听，所需钱数元.若每听元，试分别用列表法、解析法、图

象法将表示成的函数：并指出函数的值域.

二、函数的图像

例2.画出函数和的图象，并求的值.

三、分段函数的有关问题

例3.已知函数求的值。

例4.已知，（1）求的值。（2）若f（x）=3,求x的值。

例5.某市出租汽车收费标准如下：在以内(含)路程按起步价元收费，超过以外

的路程按元/收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式；并画出图象.

【当堂检测】

1.郑强去上学，先跑步，后步行，如果表示郑强离学校的距离，表示出发后的时间,

则下列图象中符合郑强走法的是

4y

2.已

知函

数

与

分别1234X1234

由下

表给

出：

X

fM2142g(x)2345

则函数y=g(/(x))的值域为

3.函数/(x)=7(0<X<1)的定义域为■

x(x>1)

4.已知等腰三角形的周长为24,它的底边长与腰长的解析式—

5.已知.则f(f(f(-l)))=.

6.作出下列函数的图像

呜)

⑵fM=

-2尤+2,xw[―,1]

7.如图在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终

点)移动，设P点移动的路程为，的面积为

(1)求八48户的面积与P移动的路程间的函数关系式;

18

(2)作出函数的图像，并根据图像求函数的值域。

第10课时高一数学函数的解析式

【课时目标】

1.函数解析式的常用求法；

2.利用消元法和换元法求解析式。

3.培养抽象概括能力和解决问题的能力.

【知识梳理】

一、解析式的表达形式

解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。

1.一般式是大部分函数的表达形式，例

一次函数：

二次函数：

反比例函数：

正比例函数：

2.分段式

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的

函数叫做分段函数。

例1、设函数，则满足的x的值为.

3.复合式

若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数叫做f和g的复合函数。

例2、已知，则，。

二、解析式的求法

根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、爽元法、配凑法、赋值(式)法、

方程法等。

L代入法

例1：若，求的解析式。

2.换元法

例2、(1)已知：，求。

(2)已知，求的解析式.

注意：使用换元法要注意的范围限制，这是一个极易忽略的地方。

3.配凑法

例3、已知：，求。

注意：1.使用配凑法也要注意自变量的范围限制：

2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑

法求解析式。

4.待定系数法

若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出

系数。

例4（1）函数在闭区间上的图象如下图所示，则求此函数的解析式.

（2）已知二次函数，满足当时有最大值，且与轴交点横坐标的平方和为

,求的解析式。

（3）.已知是一次函数：若，求；

5.赋值（式）法

例5、已知函数对于一切实数都有成立，且。（1）求的值；（2）求的解析式。

6.方程法例6.已知：，求。

7.由函数性质求解析式

20

例7.(1)设是定义在上的奇函数，当时，，求当时f(x)的解析式。

(2)设是定义在上的奇函数，当xvO时,f(x)=x+l,求f(x)的解析式。

【当堂检测】

I.已知函数，求：

(1)f(x)的最小值是；

(2)/{/[/(0)])=;

⑶若，则=；

(4)若，则的取值范围是：

(5)若，贝IJ的取值范围是；

2o(1)已知，求；

(2)已知，求；

(3)已知，求；

(4)已知为一次函数，且，求：

(5)己知为二次函数，且，求；

(6)已知为二次函数，其图象与x轴相交于A(-1,0)和B(2,0)两点,

且，求；

(7)已知为二次函数，当时，，，且与x轴交点的横坐标的平方和为13,求；

3.(1)，求；

(2)，求；

(3)，求；

(4)，求。

第11课时函数的单调性

【课时目标】

1.理解函数单调性的概念

2。掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性

3.提高观察、抽象的能力

【知识梳理】

1.单调增函数的定义

一般地，设函数的定义域为A,区间.如果对于区间I内的任意两个值，当时,

都有，那么就说在区间上是单调函数，I称为的单

调区间

注意：(1)“任意”“都有”等关键词

(2)单调性、单调区间是有区别的

2.单调减函数的定义

3.一般地，设函数的定义域为A,区间.如果对于区间I内的任意两个值，当时,

都有，那么就说在区间上是单调函数，I称为

的单调区间

4.函数图像与单调性

函数在单调增区间上的图像是的图像

而函数在单调减区间上的组像是的图像(填“上升”或“下降”)

5.函数单调性证明的步骤

(1)

(2)

(3)

(4)

【例题精讲】

一、根据函数图像写单调区间

画下列函数图像，并写出单调区间

⑴y=-x2+2⑵y=L(xwO)⑶/(X)=-X

x—2x+2,x>0

(4)f(x)=(x+2)\x-\\

二、证明函数的单调性

例2(1)求证：在区间上是增函数

22

（2）求证：函数在区间上是单调减函数

（3）求证：在上是增函数

三.较复杂函数的单调性证明：

例.3：判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.

四.已知函数单调性，求参数范围：

例4:已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范

围.

变式：已知函数的定义域为［-1,1］,且对任意的正数，都有，求满足的的

取值范围.

【能力提升】

I.用函数单调性的定义证明：函数在上是增函数.

2.利用函数单调性的定义讨论函数/(只=竺口］工4在(一2,内)上的单调性

x+2I2)

并加以证明

【当堂检测】

1.求下列函数的单调增区间：

(1)/(x)=x3(2)y=-6-2工(3)y=3x-2x2+1

x+()

(4)/(x+1)=x2-2x+1(5)y=

-x-l,x<0

24

2.函数单调增区间为

3。函数y=，6-2元单调减区间为

4.（1）若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为：

（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为；

（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为

5.已知函数和在上都是减函数，则在上是函数

6.若在上是增函数，且，则

（注：从、、中选择一个填在横线上）

7.函数在上递减，在上递增，则实数的取值范围是

10.8.函数是定义域上单调递减函数，且过点和，则的自变量的取值范围是-

11.9.己知函数f（x）是区间（0,+8）上的减函数，那么f（a2—a+1）与的大小关系

是

求证：在区间上是减函数

11。.讨论函数f（x）=Jkx-l的单调性。

第12课时函数的奇偶性

【课时目标】

i.掌握函数的奇偶性的判断方法。

2.掌握求函数奇偶性与单调性结合的综合问题。

3.体会高中数学中数形结合的思想。

【知识梳理】

1.奇偶性：

①定义：如果对于函数f（X）定义域内的任意X都有，则称f（X）为奇函数；

若，则称f（X）为偶函数.如果函数f（x）不具有上述性质，则f（X）不具

有.如果函数司时具有上述两条性质，则f（x）

②简单性质：

1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函

数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.

2）函数/.J）具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.

3）奇函数f（x）在定义域内，对称区间上单调性有什么特点？___________

偶函数又有怎样的特点？

4）奇函数在对称区间上最值有怎样的特点？

偶函数在对称区间上最值又有怎样

5）你能举一个既是奇函数也是偶函数的函数吗？

这样的函数有什么的特点？

6)函数奇偶性与单调性有什么联系与区别？

【基础训练】

判断下列函数的奇偶性.

(1)fM=x4(2)/(X)=X5(3)f(x)=x^-(4)/(x)=4

xx"

⑸⑹(7),

(8)f(x)=O(9)f(x)=2x4+3x2(10)/(x)=|x|->/?

(11)/Cv)-(x-l)2(12)/(x)=Y一国+1,Xw[—1,1]

/(X)=|X+1|+|JV-1|

/(x)=|x+l|-|x-l|

/(x)=Jx-l+\/\-X

/(X)=\lx2-1+yj\-X2

小结(判断奇偶性的方法)：

【例题精讲】

例1:判断下列各函数的奇偶性：

______x+2

(1)f(x)={x-l+\J\-X；(3)f(x)=«o(次区1)，

-x+2(A>1).

\J\-x2

(2)fM=

|x+2|-2

变式训练(1):已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x—2|,求x<0时，f(x)

的解析式.

变式训练(2):已知是定义域为的偶函数，当x0时，f(x)=x|x-2|,求x>0时,

f(x)的解析式.

26

变式训练(3):已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x—2|,求f(x)的解

析式.

例2:已知函数是定义域为的奇函数，求的值.

变式训练：是否存在实数a,使得函数f(x)=a+是奇函数？若存在，求常数a的值，若

不存在，说明理由。

例3:已知函数是偶函数，求实数的值.

例4:定义在(一2,2)上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m-l)+f(2m-D>0,

求实数m的取值范围.

变式训练：（1）.函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范

围是

（2）.函数是R上的奇函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是

（3）.函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是

（4）.函数是R上的奇函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是

【当堂检测】

1.已知且，那么

2.设函数为奇函数，则.

3.已知函数为奇函数，若，则

V9-x2

4.函数y=的图象关于对称

\x+4\+\x-3\

5.设奇函数/Vx）的定义域为［-5,5］.若当［0,5］时，f（x）的图象如下图，则

（1）不等式的解集是

（2）不等式灯'OX。的解集是

（3）不等式）（不）—/（一好＜0的解集是

x

28

第13课时函数的值域

【课时目标】

1.理解函数值域的概念

2.掌握利用直接法、配方法、换元法、图像法、分离常数法等求函数的值域的方法。

3.了解判别式法，反解法等求函数值域的方法。

【知识梳理】

复习函数的定义、定义域及值域的概念。

定义：

定义域：

值域：

【例题精讲】

(一)、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。

(1)例1.求下列函数的值域

(2)y=3x+2(-1<X<1)(2)y=3x+2,XG{-1,0,1)

(二)、图像法(数型结合法)：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法,

根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

(1)例2.求下列函数的值域

(2)y二,的值域为______________________

x

(3)变式：加上条件："”则其值域为

(4))，g为+3|+|工一5|

变式训练2:求最值。

(-x2+2x-l,xe[0,-foo)

f(x)=

—A~+2A—1,At(—8,0)

(三”配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题,

均可使用配方法。

例3.求下列函数的值域

(1)()(2)y=3-4x-2x2,xe[l,2](3)

(四)、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法。

例4.(1)求函数的值域。

变式：上题中加上条件："”求此函数的值域

(2)y=上四(3)