小学数学附加题一元二次方程应用题及答案

小学数学附加题一元二次方程应用题及答案1.一个矩形的长比宽多2cm，面积是15cm²，求这个矩形的长和宽。答案：设宽为xcm，则长为(x+2)cm，可列方程x(x+2)=15，即x²+2x-15=0，因式分解得(x+5)(x-3)=0，解得x₁=3，x₂=-5（舍去），所以宽是3cm，长是5cm。2.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？答案：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40-x)元，每天可售出(20+2x)件，可列方程(40-x)(20+2x)=1200，展开得800+60x-2x²=1200，整理得x²-30x+200=0，因式分解得(x-10)(x-20)=0，解得x₁=10，x₂=20，所以每件衬衫应降价10元或20元。3.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。答案：设一条直角边为xcm，则另一条直角边为(14-x)cm，可列方程1/2x(14-x)=24，即x²-14x+48=0，因式分解得(x-6)(x-8)=0，解得x₁=6，x₂=8，所以两条直角边的长分别是6cm和8cm。4.某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年与上一年的增长率相同，那么这增长率是多少？答案：设增长率为x，原来的产量为单位“1”，则第一年的产量是(1+x)，第二年的产量是(1+x)²，可列方程(1+x)²=1+44%，即(1+x)²=1.44，开方得1+x=±1.2，解得x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（舍去），所以增长率是20%。5.用一条长40cm的绳子围成一个面积为75cm²的矩形，问矩形的长和宽各是多少？答案：设矩形的长为xcm，则宽为(20-x)cm，可列方程x(20-x)=75，即x²-20x+75=0，因式分解得(x-15)(x-5)=0，解得x₁=15，x₂=5，所以长是15cm，宽是5cm。6.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？答案：设每件售价定为x元，则每件利润为(x-8)元，销售量为(200-(x-10)÷0.5×10)件，可列方程(x-8)(200-(x-10)÷0.5×10)=640，化简得(x-8)(400-20x)=640，展开得400x-20x²-3200+160x=640，整理得x²-28x+192=0，因式分解得(x-12)(x-16)=0，解得x₁=12，x₂=16，所以应将每件售价定为12元或16元时，每天利润为640元。7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。答案：设原来的两位数中十位数字为x，则个位数字为(5-x)，原来的两位数为10x+(5-x)=9x+5，对调后的新两位数为10(5-x)+x=50-9x，可列方程(9x+5)(50-9x)=736，展开得450x-81x²+250-45x=736，整理得81x²-405x+486=0，即x²-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x₁=2，x₂=3。当x=2时，原来的两位数是23；当x=3时，原来的两位数是32。8.某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是144平方米，求甬路的宽度。答案：设甬路的宽度为x米，将甬路平移到一边可得方程(40-2x)(26-x)=144×6，展开得1040-40x-52x+2x²=864，整理得2x²-92x+176=0，即x²-46x+88=0，因式分解得(x-2)(x-44)=0，解得x₁=2，x₂=44（舍去），所以甬路的宽度是2米。9.有一个面积为150m²的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各是多少？答案：设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为(35-2x)m，可列方程x(35-2x)=150，即2x²-35x+150=0，因式分解得(2x-15)(x-10)=0，解得x₁=7.5，x₂=10。当x=7.5时，35-2x=20＞18（舍去）；当x=10时，35-2x=15，所以鸡场的长是15m，宽是10m。10.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么商场平均每天可多售出200张。商场要想平均每天盈利180元，每张贺年卡应降价多少元？答案：设每张贺年卡应降价x元，则每张盈利(0.3-x)元，每天可售出(500+200×(x÷0.05))张，可列方程(0.3-x)(500+200×(x÷0.05))=180，化简得(0.3-x)(500+4000x)=180，展开得150+1200x-500x-4000x²=180，整理得4000x²-700x+30=0，即40x²-7x+0.3=0，因式分解得(4x-0.3)(10x-1)=0，解得x₁=0.075，x₂=0.1，所以每张贺年卡应降价0.075元或0.1元。11.一个容器盛满纯药液20升，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液5升，每次倒出的液体是多少升？答案：设每次倒出x升，第一次倒出后剩下纯药液(20-x)升，此时容器内药液浓度为(20-x)÷20，第二次倒出纯药液[(20-x)÷20]×x升，可列方程20-x-[(20-x)÷20]×x=5，整理得x²-40x+300=0，因式分解得(x-10)(x-30)=0，解得x₁=10，x₂=30（因为倒出的液体不能大于20升，舍去），所以每次倒出的液体是10升。12.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？答案：设这个小组有x人，每个人要送(x-1)张贺卡，可列方程x(x-1)=72，即x²-x-72=0，因式分解得(x-9)(x+8)=0，解得x₁=9，x₂=-8（人数不能为负数，舍去），所以这个小组共有9人。13.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？答案：设这种台灯的售价应定为x元，则每个台灯的利润为(x-30)元，销售量为(600-10×(x-40))个，可列方程(x-30)(600-10×(x-40))=10000，展开得(x-30)(1000-10x)=10000，即1000x-10x²-30000+300x=10000，整理得x²-130x+4000=0，因式分解得(x-50)(x-80)=0，解得x₁=50，x₂=80。当x=50时，销售量为600-10×(50-40)=500个；当x=80时，销售量为600-10×(80-40)=200个。所以售价应定为50元，应进台灯500个或售价应定为80元，应进台灯200个。14.有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。答案：设十位数字为x，则个位数字为(x+2)，这个两位数为10x+(x+2)=11x+2，可列方程3x(x+2)=11x+2，展开得3x²+6x=11x+2，整理得3x²-5x-2=0，因式分解得(3x+1)(x-2)=0，解得x₁=2，x₂=-1/3（舍去），所以十位数字是2，个位数字是4，这个两位数是24。15.某工厂生产的某种产品，今年产量为500件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产量达到2600件，求这个百分数。答案：设这个百分数为x，则明年的产量为500(1+x)件，后年的产量为500(1+x)²件，可列方程500+500(1+x)+500(1+x)²=2600，化简得1+(1+x)+(1+x)²=5.2，展开得1+1+x+1+2x+x²=5.2，整理得x²+3x-2.2=0，利用求根公式可得x=[-3±√(3²-4×1×(-2.2))]÷(2×1)=[-3±√(9+8.8)]÷2=[-3±√17.8]÷2，解得x₁=0.6=60%，x₂=-3.6（舍去），所以这个百分数是60%。16.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？答案：每件商品的利润为(a-21)元，可列方程(a-21)(350-10a)=400，展开得350a-10a²-7350+210a=400，整理得10a²-560a+7750=0，即a²-56a+775=0，因式分解得(a-25)(a-31)=0，解得a₁=25，a₂=31。因为物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，21×(1+20%)=25.2，所以a=31舍去。当a=25时，350-10a=350-10×25=100件。所以需要卖出100件商品，每件商品应售价25元。17.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？答案：设共有x个队参加比赛，每个队都要和其他（x-1）个队比赛两次，可列方程x(x-1)=90，即x²-x-90=0，因式分解得(x-10)(x+9)=0，解得x₁=10，x₂=-9（舍去），所以共有10个队参加比赛。18.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。若认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？答案：设x天上市，设市场售价为y₁元，种植成本为y₂元。当0≤x≤200时，y₁=300；当200<x≤300时，y₁=-0.5x+400。y₂=0.01(x-150)²+100。当0≤x≤200时，纯收益=300-[0.01(x-150)²+100]=-0.01(x-50)²+225，所以当x=50时，纯收益最大为225元。当200<x≤300时，纯收益=(-0.5x+400)-[0.01(x-150)²+100]=-0.01x²+17.5x-2750=-0.01(x-175)²+306.25，所以当x=175时，纯收益最大为306.25元。综上，在第175天上市时纯收益最大。19.某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？答案：设每千克水果应涨价x元，由题意可得(10+x)(500-20x)=6000，展开得5000-200x+500x-20x²=6000，整理得20x²-300x+1000=0，即x²-15x+50=0，因式分解得(x-5)(x-10)=0，解得x₁=5，x₂=10。因为要使顾客得到实惠，所以每千克应涨价5元。20.某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善大气环境质量，决定分两期治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？答案：设每期减少的百分率为x，则450(1-x)²=288，即(1-x)²=0.64，开方得1-x=±0.8，解得x₁=0.2=20%，x₂=1.8（舍去），所以每期减少的百分率是20%。21.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？答案：设每件衬衫应降价x元，则(40-x)(20+2x)=1200，展开得800+60x-2x²=1200，整理得x²-30x+200=0，因式分解得(x-10)(x-20)=0，解得x₁=10，x₂=20，因为要尽快减少库存，所以每件衬衫应降价20元。22.某公司2018年的盈利额为200万元，预计2020年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2019年的盈利额为多少万元？答案：设每年盈利额增长的百分率为x，则200(1+x)²=242，即(1+x)²=1.21，开方得1+x=±1.1，解得x₁=0.1=10%，x₂=-2.1（舍去），所以2019年的盈利额为200×(1+10%)=220万元。23.一个等腰三角形的腰长与底边的比是5:6，它的底边上的高是4√3，求这个等腰三角形的面积。答案：设腰长为5x，底边长为6x，底边上的高将等腰三角形分为两个直角三角形，根据勾股定理可得(5x)²-(3x)²=(4√3)²，解得x=2，所以底边长为12，面积为1/2×12×4√3=24√3。24.某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，床位可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出。以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高多少元？答案：设每床每晚提高2x元，则减少10x张床位租出，利润为y元。y=(10+2x)(100-10x)=-20x²+100x+1000=-20(x-2.5)²+1125，因为x为整数，所以当x=2时，y=1120；当x=3时，y=1120，所以每床每晚应提高4元或6元。25.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？答案：设每台冰箱应降价x元，则(2400-2000-x)(8+4×x÷50)=4800，整理得x²-300x+20000=0，因式分解得(x-100)(x-200)=0，解得x₁=100，x₂=200，因为要使百姓得到实惠，所以每台冰箱应降价200元。26.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？答案：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后有x+1个人患流感，第二轮传染后有x(x+1)+x+1个人患流感。所以x(x+1)+x+1=121，即x²+2x-120=0，因式分解得(x+12)(x-10)=0，解得x₁=10，x₂=-12（舍去），所以每轮传染中平均一个人传染了10个人。27.某商场将进价为1500元的电视以1800元售出，平均每天能售出6台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种电视的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台，商场要想在这种电视销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到实惠，每台电视应降价多少元？答案：设每台电视应降价x元，则(1800-1500-x)(6+3×x÷50)=3600，整理得x²-100x+2000=0，因式分解得(x-20)(x-80)=0，解得x₁=20，x₂=80，因为要使百姓得到实惠，所以每台电视应降价80元。28.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元。如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？答案：设需要售出x部汽车。当0<x≤10时，[28-(27-0.1(x-1))]x+0.5x=12，整理得x²+14x-120=0，因式分解得(x+20)(x-6)=0，解得x₁=6，x₂=-20（舍去）。当x>10时，[28-(27-0.1(x-1))]x+x=12，整理得x²+19x-120=0，解得x=(-19±√961)/2，x₁=-24（舍去），x₂=5。因为5<10，所以不符合题意，舍去。所以需要售出6部汽车。29.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？答案：设每千克水果应涨价x元，由题意得(10+x)(500-20x)=6000，展开得5000-200x+500x-20x²=6000，整理得20x²-300x+1000=0，即x²-15x+50=0，因式分解得(x-5)(x-10)=0，解得x₁=5，x₂=10。因为要使顾客得到实惠，所以每千克应涨价5元。30.有一块长方形的铝皮，长24cm，宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高。答案：设盒子的高为xcm，则(24-2x)(18-2x)=1/2×24×18，展开得432-48x-36x+4x²=216，整理得4x²-84x+216=0，即x²-21x+54=0，因式分解得(x-3)(x-18)=0，解得x₁=3，x₂=18（舍去），所以盒子的高为3cm。31.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？答案：设每件售价定为x元，则每件利润为(x-8)元，销售量为(200-(x-10)÷0.5×10)件。可列方程(x-8)(200-(x-10)÷0.5×10)=640，化简得(x-8)(400-20x)=640，展开得400x-20x²-3200+160x=640，整理得20x²-560x+3840=0，即x²-28x+192=0，因式分解得(x-12)(x-16)=0，解得x₁=12，x₂=16，所以应将每件售价定为12元或16元时，每天利润为640元。32.某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到72000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？答案：设这两个月的产值平均月增长的百分率为x，则50000(1+x)²=72000，即(1+x)²=1.44，开方得1+x=±1.2，解得x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（舍去），所以这两个月的产值平均月增长的百分率是20%。33.一个直角梯形的下底比上底长4cm，高比上底短1cm，面积是40cm²，求这个直角梯形的上底长。答案：设上底长为xcm，则下底长为(x+4)cm，高为(x-1)cm。根据梯形面积公式可列方程：[(x+x+4)×(x-1)]÷2=40，整理得(x+2)(x-1)=40，即x²+x-2-40=0，x²+x-42=0，因式分解得(x+7)(x-6)=0，解得x₁=6，x₂=-7（舍去），所以这个直角梯形的上底长是6cm。34.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140-2x。如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大利润是多少？答案：设每天的销售利润为y元，则y=(x-20)m=(x-20)(140-2x)=-2x²+180x-2800=-2(x²-90x+1400)=-2[(x-45)²-45²+1400]=-2(x-45)²+1250。因为-2<0，所以当x=45时，y有最大值1250。所以每件商品的售价定为45元最合适，最大利润是1250元。35.某小区要在一块长32米，宽20米的矩形空地上修建三条同样宽的小路，其中两条与宽平行，一条与长平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570平方米，求小路的宽。答案：设小路的宽为x米，将小路平移到一边可得方程(32-x)(20-2x)=570，展开得640-64x-20x+2x²=570，整理得2x²-84x+70=0，即x²-42x+35=0，因式分解得(x-1)(x-35)=0，解得x₁=1，x₂=35（舍去，因为路宽不可能大于矩形的宽），所以小路的宽是1米。36.某工厂生产一种产品，今年的产量是200件，计划通过技术改进，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产量达到950件，求这个百分数。答案：设这个百分数为x，则明年的产量为200(1+x)件，后年的产量为200(1+x)²件。可列方程200+200(1+x)+200(1+x)²=950，化简得1+(1+x)+(1+x)²=4.75，展开得1+1+x+1+2x+x²=4.75，整理得x²+3x-1.75=0，利用求根公式可得x=[-3±√(3²-4×1×(-1.75))]÷(2×1)=[-3±√(9+7)]÷2=[-3±√16]÷2，解得x₁=0.5=50%，x₂=-3.5（舍去），所以这个百分数是50%。37.有一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数。答案：设十位数字为x，则个位数字为(x+3)，这个两位数为10x+(x+3)=11x+3。可列方程(x+3)²=11x+3，展开得x²+6x+9=11x+3，整理得x²-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x₁=2，x₂=3。当x=2时，个位数字为5，这个两位数是25；当x=3时，个位数字为6，这个两位数是36。38.某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出300张，每张盈利0.5元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利180元，每张贺年卡应降价多少元？答案：设每张贺年卡应降价x元，则每张盈利(0.5-x)元，每天可售出(300+100×(x÷0.1))张，可列方程(0.5-x)(300+100×(x÷0.1))=180，化简得(0.5-x)(300+1000x)=180，展开得150+500x-300x-1000x²=180，整理得1000x²-200x+30=0，即100x²-20x+3=0，因式分解得(10x-1)(10x-3)=0，解得x₁=0.1，x₂=0.3，所以每张贺年卡应降价0.1元或0.3元。39.一个容器盛满纯酒精25升，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯酒精16升，每次倒出的液体是多少升？答案：设每次倒出x升，第一次倒出后剩下纯酒精(25-x)升，此时容器内酒精浓度为(25-x)÷25，第二次倒出纯酒精[(25-x)÷25]×x升，可列方程25-x-[(25-x)÷25]×x=16，整理得x²-50x+225=0，因式分解得(x-5)(x-45)=0，解得x₁=5，x₂=45（因为倒出的液体不能大于25升，舍去），所以每次倒出的液体是5升。40.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为a元，则可卖出(320-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的25%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？答案：每件商品的利润为(a-18)元，可列方程(a-18)(320-10a)=400，展开得320a-10a²-5760+180a=400，整理得10a²-500a+6160=0，即a²-50a+616=0，因式分解得(a-22)(a-28)=0，解得a₁=22，a₂=28。因为物价局限定每件商品加价不能超过进价的25%，18×(1+25%)=22.5，所以a=28舍去。当a=22时，320-10a=320-10×22=100件。所以需要卖出100件商品，每件商品应售价22元。41.参加一次篮球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？答案：设共有x个队参加比赛，每个队都要和其他（x-1）个队比赛一次，可列方程x(x-1)÷2=45，即x²-x-90=0，因式分解得(x-10)(x+9)=0，解得x₁=10，x₂=-9（舍去），所以共有10个队参加比赛。42.某旅行社有80张床位，每床每晚收费12元，床位可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出。以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高多少元？答案：设每床每晚提高2x元，则减