1.1.2 等腰三角形的判定 同步练习

第一章三角形的证明第一节等腰三角形第二课时等腰三角形的判定基础过关全练知识点4等腰三角形的判定定理1.如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则△ABD的周长为()A.a+2b B.2a-b C.2a+b D.a-2b2.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点D，连接BD，则△ABD的周长为.

第2题图 第3题图3.如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC交AB于点D，如果AB=10，AE=3，那么△ADE的周长等于.

4.小明在一块如图所示的三角形纸板上，测得∠ACB=2∠B，折叠△ABC使点C与AB边上的点E重合，折痕AD交BC于点D，连接EC，ED，小明猜测△BED是等腰三角形，他的猜测正确吗?若正确，请证明；若不正确，请说明理由.知识点5反证法5.利用反证法求证：在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°.知识点6等边三角形的判定6.(2022山东菏泽期中)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=10，BD=5，则△ADE的周长为()A.5 B.10 C.15 D.207.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，点D，E在AB上，且AD=AC，BE=BC，若∠A=60°，则∠DCE=.

第7题图 第8题图8.(2021山西太原迎泽月考)由于木质衣架不易变形，在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图①，OA=OB=16cm，当衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是cm.

9.已知：如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，连接AD，BE，AD交BE于点F，在BF的延长线上取点G，使得FG=AF，连接AG.求证：△AFG为等边三角形.知识点7含30°角的直角三角形的性质定理10.(2022安徽安庆期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于点P，如果AP=3，则AC的长为.

11.已知等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数为.

22.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点B恰好落在AC边上的点B'处，且DB'⊥AC，若B'C=6cm，求AE的长.能力提升全练12.(2022四川成都中考)如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DE B.AE=DB C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D13.(2022四川自贡中考)等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为()A.30° B.40° C.50° D.60°14.(2022甘肃兰州教育局第四片区期中)如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，则△DEF是()A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形15.(2022河北中考)题目：“如图，∠B=45°，BC=2，在射线BM上取一点A，设AC=d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围.”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d=1.6，丙答：d=2，则正确的是()A.只有甲答得对 B.甲、丙答案合在一起才完整C.甲、乙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整16.(2022浙江嘉兴中考)小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号里填上一个适当的条件.17.(2022福建漳州漳浦期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=15°，∠ADB=30°，AB=3，则CD=.

18.(2022广东佛山月考)如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为.

19.(2022山东青岛胶州期中)如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=.

20.(2021江西中考)如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD=BD.21.(2022山西运城实验中学期中)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=40°，求∠BAD的度数；(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE=FE.素养探究全练22.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形?(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形? 备用图23.(2022广东清远清城期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长交y轴于点E.(1)求证：△OBC≌△ABD.(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化?如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由.(3)以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标和CD的长度.

第一章三角形的证明第一节等腰三角形第二课时等腰三角形的判定答案全解全析基础过关全练1.A∵在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=2∠ABD=12×(180°-36°)=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴AD=BD=BC，∵AB=AC=a，BC=b，∴△ABD的周长为AD+BD+AB=b+b+a=2b+a，故选A2.答案2b+a解析∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，由画图知BC=BD=b，∴∠BDC=∠C=72°，∴∠CBD=180°-72°-72°=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°-36°=36°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD=BC=b，∴△ABD的周长为AD+BD+AB=b+b+a=2b+a.3.答案13解析∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵ED∥BC，∴∠BED=∠CBE，∴∠ABE=∠BED，∴BD=DE，∵AB=10，AE=3，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+AE=AB+AE=10+3=13，故答案为13.4.解析小明的猜测是正确的.证明：由折叠可知，△AED≌△ACD，∴∠AED=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴BE=DE，∴△BED是等腰三角形.5.解析已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角小于或等于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.这与三角形内角和定理相矛盾，∴在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°.6.C∵△ABC是等边三角形，∴∠C=∠B=60°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE=AE，∵AB=10，BD=5，∴AD=AB-BD=10-5=5，∴△ADE的周长为AD+DE+AE=5+5+5=15，故选C.7.答案45°解析∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AD=AC，∴△ACD是等边三角形，∠B=30°，∵∠BCD=∠ADC-∠B，∴∠BCD=30°，∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=(180°-30°)÷2=75°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=75°-30°=45°，故答案为45°.8.答案16解析连接AB(图略)，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=16cm，故答案为16.9.证明∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°.又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠AFG=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°.又∵AF=FG，∴△AFG为等边三角形.10.答案9解析∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠DBP=30°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∴∠PAB=∠PBA，∴BP=AP=3，又∵在Rt△PBD中，∠DBP=30°，∴PD=12PB=32，∴AD=AP+PD=92，又∵在Rt△ADC中，∠C=30°，∴AC=2故答案为9.11.答案30°或150°解析分两种情况讨论：①如图1，当BD在三角形内部时，∵BD=12AB，∠ADB=90°，∴∠A=30°②如图2，当BD在三角形外部时，∵BD=12AB，∠ADB=90°，∴∠DAB=30°，∴∠BAC=180°-∠DAB=180°-30°=150故答案为30°或150°.图1 图212.解析∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=BC，∵DB'⊥AC，∴∠B'DC=30°，∵B'C=6cm，∴CD=2B'C=12cm，∴DB'=CD2−B'由折叠可知∠B=∠DB'E=60°，DB'=BD=63cm，∴∠AB'E=30°，AC=BC=DC+BD=(12+63)cm，∴∠B'EA=180°-∠A-∠AB'E=90°，AB'=AC-B'C=(6+63)cm，∴AE=12AB'=(3+33)cm能力提升全练13.B∵AC∥DF，∴∠A=∠D.A.添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF，故该选项不符合题意；B.添加AE=DB，可得AB=DE，利用SAS可以判定△ABC≌△DEF，故该选项符合题意；C.添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF，故该选项不符合题意；D.添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故该选项不符合题意.故选B.14.B设这个底角的度数为x，则顶角的度数为2x+20°，根据题意得2x+2x+20°=180°，解得x=40°，即这个底角的度数为40°.故选B.15.A∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵AD=BE=CF，∴AB-AD=AC-CF=BC-BE，∴BD=AF=CE，在△BDE和△AFD中，BD=AF,∠B=∠A,BE=AD,∴△BDE≌△AFD(SAS)，同理△BDE≌△CEF，则△BDE≌△AFD≌△CEF，∴16.B如图，过点C作CA'⊥BM于A'，在A'M上取A'A″=BA'.∵∠B=45°，BC=2，CA'⊥BM，∴△BA'C是等腰直角三角形，∴A'C=BA'=BC2=2.∵A'A″=BA'，∴A″C=A'A″2+CA'2=2通过观察可知：点A与A'点重合时，只能作出唯一一个△ABC，此时d=2，即丙的答案；点A在射线A″M上时，只能作出唯一一个△ABC，此时d≥2，即甲的答案；点A在线段BA″(不包括A'点、B点和A″点)上时，可作出两个△ABC.故选B.17.答案∠A=60°(答案不唯一)解析这种按定义填写条件的题比较新颖，可添加∠A=60°，理由如下：∵△ABC为等腰三角形，∠A=60°，∴∠B=∠C=180°−∠A2=60°，∴△ABC为等边三角形，故答案为∠A=60°18.答案6解析∵在△ABD中，∠B=90°，∠ADB=30°，∴AD=2AB=2×3=6，∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ADB-∠ACB=15°，∴∠ACB=∠DAC，∴CD=AD=6，故答案为6.19.答案32a解析如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推A6B6=32B1A2=32a.故答案是32a.20.答案40°或70°或100°解析要使△OAB为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当OB=AB时，∠OAB=∠α=40°；②当OA=AB时，∠OAB=180°-2×40°=100°；③当OA=OB时，∠OAB=∠OBA=12×(180°-40°)=70故答案为40°或70°或100°.31.证明∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABE=12∠ABC=12×80°=40°，∵∠A=40°，∴∠A=∠∴△ABE为等腰三角形，∵ED⊥AB，∴AD=BD.21.解析(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴∠B=∠C，∠ADC=90°，又∠C=40°，∴∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°.(2)证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD，∴∠BAD=∠F，∴AE=FE.素养探究全练22.解析(1)由题意可知AP=tcm，BQ=2tcm，∵AB=16cm，∴BP=AB-AP=(16-t)cm，当△PQB为等腰三角形时，BP=BQ，∴16-t=2t，解得t=163∴出发163秒后，△PQB是等腰三角形(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，CQ=BQ，如图1所示，图1则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠A