1.4 角平分线 同步练习

第一章三角形的证明第四节角平分线基础过关全练知识点1角平分线的性质定理1.(2022辽宁本溪期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是()A.24 B.12 C.15 D.102.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BA，BC于M，N两点，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CA于点F.求CF的长知识点2角平分线的判定定理3.(2022福建漳州期中)小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA，并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是()A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形的三条高交于一点D.以上均不正确4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上的动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.当点D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC?请说明理由.知识点3三角形中角平分线的性质5.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为1224，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=()A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶56.(2022湖北鄂州期中)我国古代数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积S=p(p−a)(p−b)(p−c(1)利用秦九韶公式求△ABC的面积；(2)△ABC的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O到边AB的距离.能力提升全练7.(2021青海中考)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为()A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定8.(2021湖北黄冈中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，则CD与BD的数量关系是9.(2021山东德州中考)在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧在y轴右侧相交于点P，连接OP，若OP=22，则点P的坐标为10.(2022河南郑州外国语中学期中)在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是.

11.(2022江西萍乡湘东期中)已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，OP=32，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD.(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是.

(2)如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，当PC⊥PD时，PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.(3)在(2)中，四边形ODPC的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值；若发生变化，请说明理由.12.(2022北京西城二模)在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'=∠ACB(点B'与点B在直线AC的异侧)，点D是射线CB'上一动点(不与点C重合)，点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°.(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是，若BC=a，则CD的长为.(用含a的式子表示)

(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE.①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明. 图1 图2素养探究全练13.如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法解答下列问题：(1)如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请直接写出FE与FD之间的数量关系.(2)如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问：你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 图① 图②

第一章三角形的证明第四节角平分线答案全解全析基础过关全练1.B过点D作DE⊥AB于点E，如图.∵∠C=90°，∴DC⊥AC.∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是∠BAC的平分线，∴CD=DE=3.∵S△ABD=12AB·DE，∴S△ABD=12×8×3=12.2.解析如图，作FE⊥AB，垂足为E，由题意得BF平分∠CBA，又∵∠C=90°，∴EF=CF，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BF=BF,CF=EF,∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，∴BE=BC=4，∵在Rt△ABC中，AB=BC2+AC2=42，∴AE=42-4，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠AFE=∠A3.A利用直尺考查角平分线的判定定理.如图所示，过点P作PF⊥BO于点F，由题意得PE⊥AO，∵两把长方形直尺完全相同，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB(在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，故选A.4.解析当点D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：当D是BC的中点时，BD=CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.∵∠B=∠C，BD=CD，∴△DEB≌△DFC(AAS)，∴DE=DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.5.C∵O是△ABC三条角平分线的交点，∴O到AB，BC，AC的距离相等，∵AB，BC，AC的长分别为1224，∴S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=AB∶BC∶AC=12∶18∶24=2∶3∶4.故选C.6.解析(1)由题意可知，p=5+6+72=9∴S△ABC=9×(9−6)×(9−7)×(9−5)=9×3×2×4=66.(2)∵AD，BE是△ABC的角平分线，∴根据角平分线上的点到角两边的距离是相等的，设O到△ABC三边的距离为h，则12×5×h+12×6×h+12×7×h=66，解得h∴点O到边AB的距离为26能力提升全练7.B过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE=DA=3，∴△BCD的面积=12×5×3=7.5故选B.8.答案CD=12解析在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°-∠B=60°，由题意可知，AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°，∴∠B=∠BAD∴AD=BD，∵在Rt△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，∴CD=12AD，∴CD=12故答案为CD=129.答案(2，2)或(2，-2)解析如图，由作图知点P在第一象限或第四象限的角平分线上，∴设点P的坐标为(m，±m)(m>0)，则P1(m，m)，P2(m，-m)，∵OP=22，∴m2+m2=(22)2，∴m=2，∴P1(2，2)，P2(2，-2)，故答案为(2，2)或(2，-2).10.答案①②解析如图，连接AP，∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP=∠ASP=90°，在Rt△ASP和Rt△ARP中，PA=PA,PR=PS,∴Rt△ASP≌Rt△ARP，∴AS=AR，故①正确；∵AQ=PQ，∴∠QAP=∠QPA，∵Rt△ASP≌Rt△∴∠RAP=∠QPA，∴PQ∥AR，故②正确；由已知无法判定△BRP≌△CSP，故③错误.故答案为①②.11.解析(1)PC=PD.(2)成立.理由：如图，过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF，∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，∴∠PCE+∠PDO=360°-∠AOB-∠CPD=180°.∵∠PDO+∠PDF=180°，∴∠PCE=∠PDF，∴△PCE≌△PDF(AAS)，∴PC=PD.(3)不会发生变化，理由：∵OP平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠POF=45°，∴∠OPF=∠POF=45°，∴PF=OF=3，由(2)可知△PCE≌△PDF，∴四边形OCPD的面积=四边形OEPF的面积=PF2=9.素养探究全练12.解析(1)∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB'，如图，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，∴CF=BF=12BC=a2，∵∠ACB'=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB'，∴AF=AD，又∵AC=∴Rt△ADC≌Rt△AFC(HL)，∴CD=CF=a2，故答案为AD⊥CB'；a(2)①∠BAC=2∠DAE，证明如下：设∠ACB'=∠ACB=α=∠B，∵∠ACB+∠B=180°-∠BAC，∴α=90°-12∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-12∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC②BE=CD+DE，证明如下：如图，在BC上取一点G，使BG=CD，连接AG，在△ABG和△ACD中，AB∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，AG=AD,∠GAE=∠DAE,AE=AE,∴△GAE≌△DAE(SAS)，∴GE=13.解析所作的全等三角形如下：(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.(2)(1)中的结论FE=FD仍