北师大版八年级下册全册数学教案

教

案

第一章三角形的证明

课题§1.1等腰三角形（1）

1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理；

2.了解分析的思考方法，掌握用综合法证明的格式；

教学目标3.感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是认识事物的途径.

3.感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是认识事物的途径.

3.感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是认识事物的途径.

教学重点等腰三角形的性质定理和判定定理.

教学难点等腰三角形的性质定理和判定定理.

教学过程复备

一.【预习指导】

1用._______________________________的过程，叫做证明.

经过_________________________________称为定理.

2.证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？

3.我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：

4.什么叫做等腰三角形？：等腰三角形的定义）

5.我们曾经利用等腰三角形的对称性，发现了等腰三角形的哪些性质？

6.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发、对它们进行证明？

二.【效果检测】

1.证明：等腰三角形的两个底角相等.

点拨：要证明两个角相等，可以构造一对全等三角形.图中的NB.N

C,AB.AC要分别是这两个三角形的角与边.如果用“SAS”证明，如何作辅

助线？

讨论；还有不同的证明方法吗？

2.“等边对等角”用符号语言如何表示？

三.【布置任务】师生互动探究

思考与探索

问题L证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高

互相重合.

点拨：上面的证明你作的辅助性是等腰三角形的什么浅？接着刚才的证明，

你一定能发现“三线合一”的真相。请按照证明题的三个步骤，进行证

明.

思考：“三线合一”用符号语言如何表示？

问题2.如何证明”等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？

①写出它的逆命题：_____________________________________________

②画出图形，写出已知、求证，并进行证明.

思考：“等角对等边”一符号语言如何表示？

问题3.已知：如图NEAC是△ABC的外角,AD平分NEAC,且AD〃BC.

求证：AB=AC.

分析：要证AB=AC,只需证NB=NC,已知NEAD=NDAC,

只需证NEAD=NB,ZDAC=ZC.

证明：

四.【小组交流】学生展示

已知：如图，在aABC中，/ABC.NACB的平分线相交于点O,

MN过点0,且MN〃BC,交ABAC于点M、N.

(1)求证：MN=BM+CN.

(2)如果AB=20,BC=12,AC=18,求AAMN的周长.

五.【课堂训练】拓展延伸

1.在问题3中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分NEAC吗？如果结论

成立，你能证明这个结论吗？

2.在问题3中，如果AB=AC,AD平分NEAC,那么AD〃BC吗？如果结论成

你能证明这个结论吗？

六.【课堂小结】

本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑惑？

随堂练习

课外作业

下一节课

预习要求

教后记

课题§1.1等腰三角形（2）

1.能证明等边三角形的性质定理和判定定理。

教学目标2.能证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。

3.进一步了解分析法和综合法。

教学重点等边三角形的性质定理和判定定理

教学难点等边二角形的性质定理和判定定理

教学过程复备

一•【预习指导】

1.等腰三角形性质定理:

2.等腰三角形判定定理：__________________________________________

3.等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊在哪里？

4.线段垂直平分线的性质定理o

二.【效果检测】

1证明：等边三角形的每个内角都是60°.

分析：要证等边三角形的每个内角都是60°,就要先根据等边对等角证明

三个角相等。

2.证明：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

三.【布置任务】师生互动挨究

问题1.三个角都相等的三角形是等边三角形。

分析：由等边三角形的的定义可知，三边相等的三角形是等边三角形。

根据”等角对等边”可以证得。

问题2.证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

四.【小组交流】学生展示

1.证明：如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是

等边三角形。

2.己知：如图，△ABC是等边三角形,DE〃BC,分别交AB.AC于

点D、Eo求证：Z\ADE是等边三角形。

五.【课堂训练】拓展延伸

已知：如图，△ABC.Z\CDE是等边三角形，B.C.D在同一条直线上，AC.BE

交于点M,AD.CE交于点N。证明：△BCEgZ\ACD,AMCE^ANCD

拓展：^MNC是什么形状？证明你的想法。

六.【课堂小结】

本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑

惑？

随堂练习

课外作业

下一节课

预习要求

教后记

课题§1.2直角三角形（1）

1.能证明并会应用直角三角形全等的“HL”判定定理。

2.体会转化的数学思想。

教学目标

3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。

3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。

教学重点证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用

教学难点证明直角三隹形全等的“HL”判定定理及其应用

教学过程复备

•.【预习指导】

1.直角三角形全等的条件有哪些？

2.你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？

思考：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”

判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据

“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以

根据“SAS”判定它们全等.

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是

否可能全等呢？

二.【效果检测】

1.如图1（1）,在△ABC与AA'B'C'中，若AB—A，B',AC—A'C'，Z

C=ZCf=90°,这时RlZxABC与RtZ\A'B'C'是否全等？

导学：把Rtz^ABC与RlZXA'B'C'拼合在一起,如图1(2),因为

/ACB=NA'CrB'=90°,所以B.C(C')、B'三点在一条直线上，

因此，^ABB'是一个等腰三角形，可以知道NB=NB'.根据AAS公理可知

RtAAzB'C'^RtAABCo

请你按照上面的分析，尝试着完成本题的证明过程。

证明：

反思：1.为什么要说明B.C(C,)、Br三点在一条直线上呢？

2.前面我们曾用画图剪拼的方法，比较感性的获得“斜边和一条直角边对应相等

两个直角三角形的全等。"但是，由于观察并不一定可靠，通过今天严谨的逻帽

明，我们确信这是一条数学真理。

3.根据勾股定理、SAS公理你还有其他证明方法吗？

三.【布置任务】师生互动探究

问题1.证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜山的一半。

点拨：1.我们可以构造如图1(2)的图形中，在等边三角形ABB'中，如果

ZBAC=30°,那么AABC是一个直角三角形，且BC=AB。

四.【小组交流】学生展示

问题2.如图，在aABC中，已知D是BC中点，DE1AB,DF1AC,垂足分别

是E、F,DE=DF.求证：AB=AC

点拨：要证AB=AC,只要分别证AE=AF,BE=CF,因而只要A用"HL”

证明

RtAAED^RtAAFD,RtABED^RtACFDo

六.【课堂训练】拓展延伸

问题3如图,CD_LAB,BEJ_AC,垂足分别是D.E,

BE、CD相交于点0,如果AB=AC,哪么图中有几对全

等的直角三角形？取其中的一对予以证明。

拓展：直线AO与线段BC有何关系？请说明理由。

七.【课堂小结】

1.图形的“拆（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）”和“拼把

两个直角三角形拼成一个等腰三角形”两种方法体现了同一种思想一一转

化思想，即把待证的问题转化为可证的问题。

2.本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定

理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例

子吗？

2.本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定

理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例

子吗？

2.本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定

理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例

子吗？

2.本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定

理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例

子吗？

随堂练习

课外作业

下一节课

预习要求

教后记

课题§1.2直角三角形（2）

1.能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；

2.从简单的数学例子中了解反证法的含义

教学目标

3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力

3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力

教学重点角平分线的性质定理和逆定理

教学难点角平分线的性质定理和逆定理

教学过程复备

一.【预习指导】

1.直角三角形全等的判定方法:_________________________________。

2.角平分线的性质定理：_______________________________________o

3.你能用什么方法作出NAOB的平分线OC?

二.【效果检测】

1证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

己知：

求证：

证明：

思考：上述定理用符号语言如何让表示？

2、证明：角的内部到角的两边距离相等的点，

在这个角的平分线上。

己知：

求证：

证明：

思考：上述定理用符号语言如何让表示？

三.【布置任务】师生互动探究

问题1.“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角

的平分线上J你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？

点拨：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离,

这与已知条件”这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。所以

链接：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是：

否定结论一推导出矛盾一结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛

盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

牛顿曾经说：“反证法是数学家最精当的武器之一，一般来讲，

反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或

“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题。

问题2.如图，^ABC的角平分线AD.BE相交于点0,点0到4ABC各边的距离

相等吗？点0在NC的平分线上吗？为什么？

点拨：先运用角平分线性质定理，然后应用其逆定理。

思考：你能用一个命题概括这一题吗？

四.【小组交流】学生展示

问题3.如图，已知aABC的外角NCBD和NBCE的平分线相交于点

F,

求证：点F在NDAE的平分线上

2.如图，在aABC中，/O90度，点D在BC上，DE垂直平分AB,

且DE=DC。求NB的度数。

点拨：应用角平分线判定定理和相等垂直平分线性质定理。%-nc

五.【课堂训练】拓展延伸破、〕

问题3.如图，己知NB=NC=90°,M是BC中点，MN1AD,/

若/1=N2,求证N3=N4o

拓展：你还有什么发现？-----d

AR

六.【课堂小结】

1.角平分线性质定理及其逆定理的内容是什么？我便是如何证明的？

2.三角形的三条角平分线交于一点吗？我是然后证明的？

3.反证法的一般步骤有哪些？

4.你还有哪些困惑？

4.你还有哪些困惑？

随堂练习

课外作业

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

2.1不等关系

教学目的和要求：

理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系

教学重点和难点：

重点：

对不等式概念的理解

难点：

怎样建立量与量之间的不等关系。

1.从问题中来，到问题中去。

如图1-1,用用根长度均为1cm的绳子，分别围成一个E方形和圆。

(1)如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长1应满足怎样的关系式?

(2)如果要使圆的面积大于100cm2,那么绳长1应满足怎样的关系式？

(3)当1=8时,正方形和圆的面积哪个大？1=12呢?

(4)改变1的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？

(1)分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为，圆的面积可以

表示为。

要使正方形的面积不大于25cm2,就是

,即。

要使圆的面积大于100cm2,就是

>100,

I2

即——>100

47r

当1=8时，干方形的面积为，圆的面积为，

4<5.1,此时圆的面积大。

当1=12时，正方形的面积为，圆的面积为，

9Vli.5,此时还是圆的面积大。

不论怎样改变1的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增

色为1cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论1取何值，圆的面积总大于正方形的面

积，即

/2/2

——>—

4〃16

(1)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面

1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约3cm,这棵树

至少要生长多少年其树围才能超过2.4m?(只列关系式)

(2)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的

安全区域。己知导火线的燃烧速度为0.2m/s,人离开的速度为4m/s,导火线的长度x(m)

应满足怎样的关系式？

答案：(1)设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m,则5+3x>240。

(2)人离开10m以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人

的安全：V

分析巩固练习：

(1)用不等式表示：

(2)a的相反数是正数；

2

(3)m与2的差小于一；

3

（4）x的，与4的和不是正数；

3

（5）y的一半与x的2倍的利不小于3o

解答：（1）a的相反数是-a,正数是比零大的数，所以“a的相反数是正数”就是-a

>0；

（2）“m与2的差”就是m-2,“差小于”即是m-2V；

（3）“x的”就是x,"x的与4的和不是正数”就是X+4W0；

（4）“y的一半”不是y,“x的2倍”就是2x,“不小于3”即指大于或等于3,故“y的

一半与x的2倍的和不小于”就是y+2x23。

下列各数：，4,0,5.2,3其中使不等式>1,成立是（）

A.-4,,5.2B.,5.2,3C.,0.3D.,5.2

2.答案:D

有理数a,b在数轴上的位置如图1—2所示，所的值（）

,111■.

-1a01b

A.>0B.<0C.=0D.20

答案:B

1.小结提问，快速回答：

2.表示不等式关系的符号有哪些？

3.用适当的符号表示下列关系：

（1）x的5倍与3的差比我的4倍大；

（2）。的，的相反数是非负数；

4

（3）x的3倍不小于y的8倍。

下列不等式中，总能成立的是（）

A.>0B.C.2a>aD.>a

作业要求：作业本

2.2不等式的基本性质

一、教学目标

1.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

2.掌握不等式的基本性质。

二、教学重难点

不等式的基本性质的掌握与应用。

三、教学过程设计

1.比较归纳，产生新知

我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。

请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几

例试一试，并与同伴交流C

类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如3V7,3+1=4,

7+1=8,4<8,所以3+1V7+1；3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5〈7-5;3+a<7+a;3<

7,3-aV7-a等。都能说明猜想的正确性。

2,探索交流，概括性质

完成下列填空。

2V3,2X53X5；

2<3,2x13

2----------------2

2<3,2X(-1)3X(-1)；

2<3,2X(-5)3X(-5)；

1

2<3,2X(--)3义

2、2

你发现r什么？请冉举几例试试，与同伴交流。

通过计算结果不难发现：前两个空填“v”，后三个空填“>二

得出不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不

变。

不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改

变。

(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象)

3.练习巩固，促进迁移

1.(1)用号或“V”号填空，并简说理由。

①6+2________=3+2；②6X(-2)_________-3X(-2)；

③64-2________-3+2；④64-(-2)________-3+(-2)

(2)如果a>b,则

①a+b__________+C②a-b_________________b-c。

-a

③acbe(c>0)@--(c<0)

2.利用不等式的基本性质，填“〉”或“V”：

(1)若a>b,贝ij2a+l2b+l;

(2)若V10,则y-8；

(3)若aVb,且c>0,ROac+cbc+c；

(4)若a>O,bVO,c<0,(a-b)c0。

4.巩固应用，拓展研究.

1.按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。

(1)两边都加上-4；(2)-3〃V〃两边都除以-3；

(3)a23b两边都乘以2；(4)aW2b两边都加上c；

2.根据不等式的性质，把下列不等式化为x>a或x<a的形式(a为常数)：

(1)—X>--x-2；(2)—x<—(6-x)；

3322

⑶-3x>2；⑷-3x+2<2x+3

5.课内深化，提升能力

比较下列各题两式的大小：

a2-b2+2-2b2+1

(1)—3与一；(2)a+6与a-b；(z3)x----------与----------

3323

6.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？

(通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络,

完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解.)

7.课外作业与拓展

课外作业：课本第9页“习题1.2”

2.3不等式的解集

一、教学目标

1.理解不等式解与解集的意义。

2.了解不等式解集的数轴表示。

二、教学重难点

重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。

三、教学过程设计

1.创设情景，导出问题

（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前10m

以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02m/s,人离开的速度为4m/s,那么导火

线的长度应为多少厘米？

（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题力量与量之间的关系：为了使人有足

够的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。）

设导火线的长度应为xcm,根据题意，得

x、10

0.02xWT

即x>5

2.探索交流，得出概念

1.想一想：（1）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？

（2）x=5,6,8能使不等式x>5成立吗？

（字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母x,它能够取任意数吗？如果不

能，它能取哪些数呢？启发学生动手脸证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义

及不等式解与方程解的不同之处。）

能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。例如,6是不等式x>5一个解，

7,8,9,……也是不等式x>5的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式X-5W-1的

解集为xW4；不等式x2>0的解集是所有非零实数。

求不等式解集的过程同做解不等式。

2.议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和X-5W-1的解集分别表示在数轴上，

并与同伴交流。

（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比

较大小的，让学生用具体实数对应的点加以说明）

3.练习巩固，促进迁移

1.判断下列说法是否正确：

(1)x=2是不等式x+3<4的解；

(2)x=2是不等式3xV7的解集；

(3)不等式3xV7的解是x=2；

(4)x=3是不等式3x29的解。

答案：(1)不正确；(2)不正确；(3)不正确；(4)正确。

2.在数轴上表示出下列不等式的解集：

(1)x>-l；(2)x^-1；(3)x<-l；(4)xW・l

答案：

(1)数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包

括这一点。

(2)数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。

4.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？

(通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完

善学生的认知结构，加深对所学知识的理解.)

5.课外作业与拓展

课外作业：课本第12页“习题1.3”

2.4一元一次不等式⑴

教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。

教学重点和难点：

重点：一元一次不等式的解法

1.难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。

2.教学过程：

观察下列不等式：

(1)2x-2.5>15；(2)x<8.75(3)x<4(4)5+3x>240

这些不等式有哪些共同特点？

这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,象这样

的不等式，叫做一元一次不等式。

先阅读每(1)题的解法，然后仿做第(2)题，最后谈谈自己读题、做题的体会。

(1)解不等式，并把它的解集表示在数轴上。

解去分母，得

去括号，得

移项、合并同类项，得

5x>20

两边都除以5,得

x>4

这个不等式的解集在数釉上表示如下(图1-13)

2345678

(2)解不等式，并把它的解集表示的数轴上。

答案：

其解集在数轴上表示如下匿1-40

—7—6—5—4—3—2—10

解小等式，并把它的解集在数轴上表示出来。

解答：去括号，得，

移项，得。

合并同类项，得24

系数化为1,得。得。

在数轴上表示不等式解集如图

______I_______I1t1-

-2-I012345

解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。

解答：去分母，得

答案：

这个不等式的解集数轴上表示如图

-4-3-2-101234

、取何正整数时,代数式的值不大于10-4(y-3)的值。

解答：根据题意列出不等式：

2(y-l)<10-4(y-3)

3.答案：解这个不等式，得，解集中的正整数解是：1,2,3,4。

解关于x的不等式：k(x+3)>x+4;

解答：去括号，得kx+3k>x+4;

4.答案：若k・l=0,即k=l时,0>1不成立，，不等式无解。

5.若k-l>(),即k>l时，。

若k-1V0,即kVl时，o

m取何值时，关于x的方程的解大于lo

解答：解这个方程：

x-2(6机-1)=6x-3(5m-1)

.3m-1

••X-

5

根据题意，得

解得m>2

是否存在整数m,使关于x的不等式与是同解不等式？如果存在，求出整数m和不等

式的解集；如果不存在，请说明理由。

答案:x>-8

因此，存在符合题意的m,当m=-U时，两个不等式同解，解集为x>-8。

小结：本节课我们学了什么？

作业布置

一元一次不等式（2）

目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法

及用数轴表示不等式的解集

了解不等式在生活中的应用

重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法

一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用

例。解下列不等式。并把它们的解集

S在数轴上表示出来

3(y+l)

2+-^~~^<3yT

8~4~

2x-l2x+510x-17

------------>--------+11

234

工也©<等一*7）

36

解：在不等式的两边同时解乘以8得；即

化简得；

8X[2+3（）'+D]<[3_T]X8

84

3y+6y<24+6-16-3

11

y<—

.9

例一教师师范板演。其他学生模仿联系

解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来

x-lx+1C

----<------2

711XI

0.5x?1.4>-(045——)——

524

例3.一次环保知识竞赛，共有25道题，规定答对一题得4分，答错一或不答扣一分。

小明得了85分，他答对了多少题？

小立在这次竞赛中被评为优秀（85分或85分以上），小立可能答对了多少题？她

至少答对了多少题？

解：设小明答对了x道题，那么答错或不答（25-x）道题。

根据题意、得4x~（25-x）=85

解这个方程、得x=22

所以小明答对了22道题。

设小立可能答对了x道题，那么答错或不答（25-x）道题。

根据提意，得4x-(25-x)>=85

解这个不等式，得x>=22

因为x答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有25道题，因此小立可

能答对了22,23,24,25道题。她至少答对了22道题。

说明：第一小题是列一元一次方程解应用题，第二小题是列一元一次不等式解应用题,

目的是让学生认识两者的区别与联系。

二、出示投影片2:例四、小颖准备用21元钱买笔和笔记本。己知每支笔3元，每

个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，请你帮她算一算她还可能买几支笔。

解：设小颖还可能买n支笔。

根据题意，得3n+2.2三21

解这个不等式，得nW16.6/3

因为n表示笔的支数，所以应取不等式的正整数解。因此小颖还可能买1支,

2支，3支，4支或5支笔。

三、让学生交流对列不等式解应用题的认识，归纳列不等式解应用题的基本步

骤。

四、做17页随堂练习第二题

五、课下作业，习题L5,1题，2题

六、课后小结；列不等式解应用题的一般步骤：1、分析题意，清楚已知量与未

知量之间的关系，找到题中适当的不等关系。2、正确的设未知数，根据不等关系列出不

等式。

3.解不等式。4、在不等式的解集中选取符合题意的解。5、做出正确的结论。

随堂练习

作业布置

2.5一元一次不等式与一次函数

一、教学目标

1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次

不等式与一次函数的内在联系。

2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。

3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。

二、教学重难点

教学重点初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次

函数图象求一元一次不等式的解集。教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关

系。

三、教学过程设计

1.创设情景，导出问题

小明听了爸爸的字如其人的一番教诲，想到自己龙飞凤舞的“草书”作品连自己

都认不出来的笑话，下决心练字，在第一周的前3天每天练字6页。设每周计划练字x

页。你能写出x与y之间的关系式吗？这是一个什么函数？

若周计划为y=38页，则x取怎样的值，小明才能超额完成计划？

（由实际问题出发引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系。

回顾所学知识作好新知识的衔接。）

回顾：①一次函数的定义。②一次函数的图象。③直线y=kx+b与方程的联系。

2,探索交流，发现规律

我们来看下面这个问题。

作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：

（1）、x取何值时,y=0?［提示：

（此题摘自励

耘精品系列

丛书《课时导

航》北师大版

八年级（下）

P9第8题）

（让学生认真观察图象，分析图象，初步学会用分段函数的思想去考虑问题，初步建立

“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系。使学生初步体会函数、方程、

不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之

间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。）

2.6一元一次不等式组

第一课时

一、教学目标：

1.知识目标：

①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法.

②会利用数轴较简单的一元一次不等式组

③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况.

2.能力目标：

①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力，

②社当胃M隹灯中或现本普式俎解集的四种情况，”楮木学々旧时总给怩力.

3.精威日希：

将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的

学习习惯和转变一种观念一一将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。

二、教学重难点：

教学重点：在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。教学难点：借助数形结

合的方法找出不等式的解集。

三、教学过程设计：

1.回顾旧知，探索发展

回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。

(1)2x+3>5(2)6x—5W1

(让学生上台演示，注意指导其解题的规范性)

探索：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存

的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？

分析：设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量应为30x吨.由题意，积

存的污水在1200吨到1500吨之间，因此，应有

1200^30x^1500

(通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念。学生在研究这一具体问题时，自然

感知到要解决的问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。这样引入不

等式组比较自然)

上式实际上包括了两个不等式

30x2120()和30xW1500

它说明要这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。

我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：

pOx>1200

[30x<1500

(你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流。学生可以通

过列表、画数轴图的方法，寻求不等式组的解。要让学生在充分交流的基础上体会寻找不

等式的公共解的方法。)

分别求这两个小等式的解集，得

fx>40

[x<50

同时满足①②的未知数X应是个不等式的解集的公共部分。

在数轴上表示出来

4050

・・・x应取4()WxW50

这就是所列不等式组的解集。即答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。

概括：

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

解一元一次不等式组，其步骤通常为：

(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；

(2)在数轴上把它们的解集表示出来；

(3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。

2.练习巩固，促进迁移

(1)例题：解不等式组

px-l)2x+l

[2x)8

解：解不等式①，得x>2

解不等式②，得x>4

在数轴上表示出①②的解集

24

・・・原不等式组的解集为x>4

(要让学生认识到准确、熟练得解不等式是解不等式组的基础，而运用数轴表示(找公共

部分)是关键。让学生再次体会数形结合思想的魅力。)

(2)练习：

[2x-5<1,②

_

f2x1>0,f2x+l<-1>

),^4—x>0.④“3一xW1.

(3)问题探讨:

从练习的情况来看，请同学们认真观察它与下面几种图示的关系：

①当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即：

对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图).

h•*

x>aMbbaX

②当不等号的方向相反时（称异向不等式），即：

代：或吆（»b）

|x>bj|x<b.

则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分（如

图）；

ba

b<i<a

③若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共

部分（如图3）.

b<

空集

（先让学生通过练习，从感性上了解不等式组解集的基本情况；其次引导学生通过“练习

解答的形式与所给图示”的对比，引发出不等式组解集的四种基本情况；从而加深学生对

不等式组解集的理解，更重要的是学生区分出这四种不同的情况后，在结合图形能更快

更准地找出不等式组的解集。）

3.巩固应用，拓展研究

（1）找出下列不关x的公共部分。

<

{d4{X75{X5

、7<

①/7②X6③X6

X<

X5<2X3

{{X<

④X/-⑤X<0⑥4

X6?

乙{X3

X75>

⑦⑧X2

（2）解不等式组

r七4（XJ>I

:4x+6v3x+5

23

2x+3>3x—1

二^之0

（3）求不等式组3的整数解

（巩固应用的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的同学的需要。其中第1题主要训

练学生的定向思维，巩固不等式组解集的四种情况；第2题则是以训练学生解不等式组的

方法。第3题则以发散思维为主，其目的是让优生吃得饱。在挑战难题的过程中.培养学

生学习的意志力。）

4,回顾联系，形成结构

通过本节课的学习，你有哪些收获？

（学生小结，教师对学生小结内容作肯定或补充。启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识,

从而培养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力。通过学生自我总结使之进一步

理解一元一次不等式组的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的

内在联系c促进学生对教学知识的记忆，并把所学知识结构化系统化C）

5.课外作业与拓展

课外作业:课本第26页“习题1.8”

第二课时

一、教学目标：

1.一元一次不等式组的解集的表示，尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。

2.让学生理解一元一次不等式组及其解的意义。利用不等式来解决实际问题,让学生

进一步感受数形结合的作用。

3.让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。

二、教学重难点：

教学重点：掌握一元一次不等式组的解法；会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情

况.教学难点：不等式组解集几种情况的灵活应用。

三、教学过程设计：

1.基础运用，

例1.解不等式组，并将解集标在数轴上.

（解不等式组的基本思路是求组成这个步骤：

不等式组的各个不等式的解集的公共部

分，在解的过程中各个不等式彼此之间无

关系，是独立的，在每一个不等式的解集

都求出之后，才从“组”的角度去求“组”

的解集，在此可借助于数轴用数形结合的

思想去分析和解决问题。）

解：解不等式⑴得X>

（1）分别解不等式组的每

一个不等式

解不等式（2）得xW4

...代b,（2）求组的解集

（借助数轴找公共部分）

（利用数轴确定不等式组的解集）

,」」（3）写出不等式组解集

-1012534

T

（4）将解集标在数轴上

5

・,・原不等式组的解集为2vxW4

-1012534

T

4+2QE.........(1)

7*2/2♦6......(2)

................>5”{3......................(3)

解：解小等式(1)得X>-1,

解不等式(2)得xWl,

解不等式(3)得x<2,

"“IJ

-1012

图⑴

・・・・・・在数轴上表示出各个解为:

・•・原不等式组解集为-KxWl

C主意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大

排列，解集不包括7而包括1在内，找公共解的图为图(1),若标出解集应按图(2)来

画。)

3.巩固应用，拓展研究

(3xj2>4区…5

A

3

例3.求不等式组的正整数解。

步骤：

解：解不等式3x-2>4x-5得:x<3,

解不等式W1得xW2,

1.先求出不等式组的解集。

0123

・•・原不等式组解集为xW2,

二这个不等式组的正整数解为x=l

或x=2

2、在解集中找出它所要求

的特殊解，正整数解。

2.在解集中找出它所要求

的特殊解，正整数解。

2、在解集中找出它所要求

的特殊解，正整数解。

例4.m为何整数时，方程组的解是非负数？

（本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的

代数式表示x,y,再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组

寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。）

解：解方程组得

•・•方程组