2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式学案北师大版必修2

PAGEPAGE11.5平面直角坐标系中的距离公式[学习目标]1.驾驭两点间的距离公式并会应用．2.了解点到直线的距离公式的推导方法．3.驾驭点到直线的距离公式，并能敏捷应用于求平行线间的距离等问题．4.初步驾驭用解析法探讨几何问题的方法.【主干自填】1．两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公式|AB|＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\r(x1－x22＋y1－y22).2．点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两条平行线间的距离两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A、B不同时为0，C1≠C2)间的距离为eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【即时小测】1．思索下列问题(1)当P1，P2的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式是否适用？提示：适用．(2)点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特殊状况是否还适用？提示：仍旧适用．①当A＝0时，B≠0，直线l的方程为By＋C＝0，即y＝－eq\f(C,B)，d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(C,B)))＝eq\f(|By0＋C|,|B|)，适合公式；②当B＝0时，A≠0，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－eq\f(C,A)，d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(C,A)))＝eq\f(|Ax0＋C|,|A|)，适合公式；③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))＝0，适合公式．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于()A．－3B．5C．－3或5D．－1或－3提示：C|AB|＝eq\r(2＋12＋1－b2)＝5，解得b＝5或b＝－3.3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值等于()A.eq\r(2)B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(2)＋1提示：C由点到直线的距离公式得eq\f(|a－2＋3|,\r(12＋－12))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))＝1⇒|a＋1|＝eq\r(2).因为a>0，所以a＋1＝eq\r(2)，即a＝eq\r(2)－1.4．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上随意一点，则|PQ|的最小值为________．提示：3直线6x＋8y＋6＝0可变为3x＋4y＋3＝0，由此可知两直线平行．它们的距离d＝eq\f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3，|PQ|最小值为d＝3.例1(1)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离；(2)已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，求a的值；(3)求直线l：y＝x被两条平行直线x＋y－2＝0和x＋y－4＝0所截得的线段的长度．[解](1)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,m)))，∴两交点之间的距离为d＝eq\r(－1－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(2,m)))2)＝eq\r(1＋\f(4,m2)).(2)由两点间的距离公式可得d2＝a2＋152＝172，∴a＝±8.(3)先求两直线的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0))解得交点为(1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0))解得交点为(2,2)．∴所求线段的长度为d＝eq\r(2－12＋2－12)＝eq\r(2).类题通法应用距离公式的留意事项(1)运用两点间距离公式要留意结构特点，公式与两点的先后依次无关，运用于随意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊状况结合图形求解会更便捷．2两点间的距离公式是利用代数法探讨几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最终都要转化为此公式解决.eq\a\vs4\al([变式训练1])已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，(1)试推断△ABC的形态；(2)求AB边上的中线CM的长．解(1)|AB|＝eq\r(1－52＋4－52)＝eq\r(17)，|AC|＝eq\r(4－52＋1－52)＝eq\r(17)，|BC|＝eq\r(4－12＋1－42)＝eq\r(18)，∵|AB|＝|AC|≠|BC|，∴△ABC为等腰三角形．(2)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(9,2)))，|CM|＝eq\r(4－32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,2)))2)＝eq\f(\r(53),2).例2求点P(1,2)到下列直线的距离：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．[解](1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，由点到直线的距离公式得d1＝eq\f(|1－2－3|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2).(2)解法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d2＝eq\f(|2＋1|,\r(02＋12))＝3.解法二：如图，∵y＝－1平行于x轴，∴d2＝|－1－2|＝3.(3)解法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式得d3＝eq\f(|1＋0＋0|,\r(12＋02))＝1.解法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.类题通法点到直线距离公式的留意点求点到直线的距离，要留意公式的条件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采纳数形结合的思想方法求解．eq\a\vs4\al([变式训练2])P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，求P点的坐标．解设点P的坐标为(x0，y0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0＋y0－5＝0，,\f(|x0－y0－1|,\r(2))＝\r(2)，))解得x0＝2，y0＝－1或x0＝1，y0＝2.所以点P的坐标为(2，－1)或(1,2).例3已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，求直线l的方程．[解]设P(x，y)为l上任一点．则d1＝eq\f(|7x＋8y＋9|,\r(72＋82))，d2＝eq\f(|7x＋8y－3|,\r(72＋82)).由eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，即d2＝2d1，得|7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|，∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9)或7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)．化简得l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.类题通法求两条平行直线间距离的两种思想(1)转化为其中一条直线上随意一点到另一条直线的距离；(2)利用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))求解，但需留意两直线方程都化为一般式，且x，y的系数对应相等．eq\a\vs4\al([变式训练3])已知直线l过点A(2,4)，被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得线段的中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．解解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴可设点M坐标为(t,3－t)．由题意知点M到l1，l2的距离相等，即eq\f(|t－3－t＋1|,\r(2))＝eq\f(|t－3－t－1|,\r(2))，解得t＝eq\f(3,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).又l过点A(2,4)，由两点式得eq\f(y－\f(3,2),4－\f(3,2))＝eq\f(x－\f(3,2),2－\f(3,2))，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0.解法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得eq\f(|C－1|,\r(2))＝eq\f(|C＋1|,\r(2))，解得C＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(3,2).))∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).又l过点A(2,4)，故由两点式eq\f(y－\f(3,2),4－\f(3,2))＝eq\f(x－\f(3,2),2－\f(3,2))，得直线l的方程为5x－y－6＝0.易错点⊳对斜率是否存在考虑不全面致误[典例]求经过点(1,2)且到原点距离为1的直线方程．[错解]∵所求直线过点A(1,2)，∴可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.∵原点到此直线的距离为1，∴eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，∴所求直线方程为y－2＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0.[错因分析]本题出错的根本缘由在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，肯定要对斜率是否存在的状况进行探讨，否则简单犯解析不全的错误．[正解]①当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满意题意．②当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时，由题意可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，又由原点到此直线距离等于1，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直线方程为y－2＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.课堂小结1.应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))的前提是直线方程为一般式．特殊地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解.2.两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想.二是干脆套用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，(C1≠C2)需留意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同.1．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为()A．10B．5C．8D．6答案A解析设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)，所以|AB|＝eq\r(6－02＋0－82)＝eq\r(36＋64)＝10.2．若点(1,2)到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，则实数a的值为()A．－2或2 B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0 D．－2或0答案C解析由点到直线的距离公式，得eq\f(|1－2＋a|,\r(12＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，即|a－1|＝1，解得a＝2或0.3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()A．－6或eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)或1C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2)答案A解析eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12))